נגישות
headline
Error processing SSI file




בחינת בגרות

מתמטיקה 5 יח"ל


חלק ראשון - 2016 תשע"ו, קיץ מועד א


הצעה לפתרון שאלה 1


הארה: בבואנו לפתור שאלת תנועה מומלץ קודם להכין שרטוט פשוט המתאר את האירועים הנזכרים בשאלה ומספורם לפי סדר התרחשותם. השרטוט יהווה המחשה בעינינו לגבי האירועים שבשאלה לפי סדר התבצעותם ובכך יעזור לנו בהבנתה.

סעיף א

נשרטט את תרחיש האירועים וגם נרשום את הנתונים כפי שהם מופיעים בשאלה,

תרחיש האירועים


נשים לב שבשאלה זו מצוין סדר אירועים מסוים. שתי המכוניות יצאו לדרך בו-זמנית אמנם, אך הן לא הגיע ליעד יחד, כך שיש קטע זמן בו מכונית אחת (המכונית הראשונה) ממשיכה בנסיעתה בעוד המכונית האחרת (המכונית השנייה) כבר הגיע ליעד ונעצרה. זהו אירוע אחד – האירוע השמאלי מבין השניים. לאירוע זה קדם אירוע אחר (האירוע המסומן בצד ימין) שבו מהירות המכונית הראשונה ירדה בחצי ממהירותה בהת
חלה.

לאחר שיש לנו הבנה של סדר האירועים המתרחש ומשמעותם נוכל לפנות ולמלא טבלה פשוטה שבעזרתה נשלים את הנתונים המספריים החסרים. משוואת התנועה שבה יש להיעזר במילוי הטבלה היא המשוואה:

מהירות כפול זמן = דרך

הארה: ניתן לזכור משוואה זו בעל-פה בעזרת ראשי-התיבות מז"ד - כמו שם המכונית מזדה. עוד על בעיות תנועה ניתן לקרוא בפרק באתר זה הדן בפתרון בעיות תנועה.

נבנה כעת טבלה לחישוב דרכי הנסיעה של המכוניות בהתאם לנתונים ולשרטוט שהכנו לפי המקטעים השונים המופרדים על-ידי שני האירועים שציינו. תחילה נרשום רק את מה שידענו לנו ללא חישובים,

מקטע
אמצעי-תחבורה
מהירות
זמן
דרך
1
מכונית ראשונה
x+25
1.5
1
מכונית שנייה
x 1.5
2
מכונית ראשונה
(x+25)/2
2
מכונית שנייה
x
3
מכונית ראשונה
(x+25)/2
0.5
3
מכונית שנייה
0
0.5
1-3
שתי המכוניות
-
-
300

טבלת לחישוב דרכי הנסיעה של המכוניות


כעת נמלא בטבלה את כל מה שניתן לחישוב מהיר בעזרת משוואת התנועה,

מקטע
אמצעי-תחבורה
מהירות
זמן
דרך
1
מכונית ראשונה
x+25
1.5
1.5•(x+25)
1
מכונית שנייה
x
1.5
1.5x
2
מכונית ראשונה
(x+25)/2
2
מכונית שנייה
x
3
מכונית ראשונה
(x+25)/2
0.5
0.5•(x+25)/2
3
מכונית שנייה
0
0.5
0
1-3
שתי המכוניות
-
-
300

טבלת לחישוב דרכי הנסיעה של המכוניות (השלמה)


נשים לב שבמקטע 2 לא נתון לנו ישירות לא הזמן ולא הדרך שעברה כל מכונית. נוכל למצוא את הדרך בעזרת הנתון שהמרחק שעברה כל מכונית בכל שלושת המקטעים הוא 300 ק"מ (המרחק בין שתי הערים). את הפתרון ניתן להשיג בשתי דרכים. דרך אחת היא על-ידי הגדרת משך הזמן של מקטע 2 בעזרת משתנה y ואז לקבל שתי משוואות עם שני נעלמים (משוואה לכל מכונית). זוהי הדרך המומלצת שכן היא פשוטה ועוזרת במניעת טעויות חישוב.

מקטע
אמצעי-תחבורה
מהירות
זמן
דרך
1
מכונית ראשונה
x+25
1.5
1.5•(x+25)
1
מכונית שנייה
x
1.5
1.5x
2
מכונית ראשונה
(x+25)/2
y
y•(x+25)/2
2
מכונית שנייה
x
y
y•x
3
מכונית ראשונה
(x+25)/2
0.5
0.5•(x+25)/2
3
מכונית שנייה
0
0.5
0
1-3
שתי המכוניות
-
-
300

טבלת לחישוב דרכי הנסיעה של המכוניות (הוספת משתנה)


נקבל שתי משוואות כאשר נשווה את סך הדרכים שכל מכונית עברה למרחק בין שתי הערים שנתון שהוא 300 ק"מ. נקבל את שתי המשוואות,

1.5•(x+25) + y•(x+25)/2 + 0.5•(x+25)/2 = 300
1.5x + y•x = 300

נחלץ את הנעלם y מהמשוואה השנייה,

y = (300 – 1.5x)/x

נציב את y במשוואה הראשונה,

1.5•(x+25) + ((300 – 1.5x)/x)•(x+25)/2 + 0.25•(x+25) = 300
1.75•(x+25) + ((300 – 1.5x)/x)•(x+25)/2 = 300
3.5x•(x+25) + (300 – 1.5x)•(x+25) = 600x
(3.5x2+87.5x) + (300x+7500–1.5x2–37.5x) = 600x
2x2+350x + 7500 = 600x
2x2–250x + 7500 = 0
x2–125x + 3750 = 0

x1,2 = 75, 50

מצאנו שני פתרונות עבור הנעלם x, אך ידוע לנו שמהירות המכונית השנייה גדולה מ- 60 קמ"ש. נבדוק אם שני הפתרונות מקיימים תנאי זה. מהירות המכונית השנייה היא פשוט הנעלם x, לכן ברור שקיים פתרון יחיד המקיים את תנאי השאלה והוא,

x = 75

לסיכום, מהירות המכונית השנייה הוא 75 קמ"ש.

הארה: דרך אחרת להגיע לפתרון, שלא בעזרת הוספת הנעלם y לטבלה, היא להתחיל לחשב כבר בטבלה את המרחק שעברה המכונית השנייה במקטע 2 (300 ק"מ בהפחתת המרחק שהיא עברה במקטע 1) וממנו לחשב את פרק הזמן של מקטע 2. להציב את פרק הזמן של מקטע 2 שחושב עבור מכונית שנייה בשורה של המכונית הראשונה. הכפלת פרק הזמן של מקטע 2 במהירות המכונית הראשונה במקטע 2 תיתן את המרחק שהיא עברה בקטע 2. נקבל משוואה עם נעלם אחת כאשר נשווה את חיבור הדרכים שעברה המכונית הראשונה בשלושת המקטעים למרחק בין הערים שהוא 300 ק"מ. אמנם בדרך זה נקבל בסופו של דבר בנייה של משוואה אחת עם נעלם אחד, אך הביטויים המחושבים הם מורכבים יותר ופותחים פתח מסוכן לטעויות חישוב. לכן, שיטה זו עדיפה פחות.

סעיף ב

בסעיף זה נוסף נתון נוסף הגורם להופעת אירוע נוסף בציר הזמן. אירוע זה הוא הרגע בו המכונית השנייה מתקרבת למכונית הראשונה עד כדי למרחק של 12.5 ק"מ ביניהם. נדרש שאירוע זה יהיה לפני שהמכונית השנייה משיגה את הראשונה.

קודם כל ננסה למצוא כמה אירועים כאלה יש ולסמן את כולם ואז מתוכם לבחור את אלו שמתאימים לתנאי שאירוע זה יקרה לפני שהמכונית השנייה משיגה את הראשונה.

אז כמה אירועים כאלה יש שבהם המרחק בין שתי המכוניות יכול להיות 12.5 ק"מ בדיוק?

לכאורה שאלה פשוטה, אך דורשת חשיבה זהירה.

נתחיל מההתחלה. שתי המכוניות מוזנקות יחד כשהמכונית הראשונה נוסעת במהירות גדולה מהמכונית השנייה (100 קמ"ש לעומת 75 קמ"ש בהתאמה) ולכן פותחת עליה פער. פער זה יכול לגדול עד למעבר ל- 12.5 ק"מ ולכן יש מצב שכאן יש אירוע ראשון בציר הזמן שבו לרגע אחד המרחק ביניהן הוא 12.5 ק"מ בדיוק.

הארה: בגלל שמחפשים מתי הפער בין המכוניות הוא כך וכך אז ניעזר בחישובינו בפער או יותר נכון בהפרש המהירויות שבין שתי המכוניות! זה יקל עלינו מאוד...

אחרי שעה וחצי המהירות של המכונית הראשונה פוחתת לחצי ממהירותה בהתחלה וכעת מהירותה קטנה לעומת המכונית השנייה (50 קמ"ש לעומת 75 קמ"ש בהתאמה). לכן הפער ביניהן לאט לאט מצטמצם עד שהוא קטן לאפס ואז המכונית השנייה עוקפת את המכונית הראשונה. לפני שזה קורה יש אירוע בציר הזמן בו לרגע אחד המרחק ביניהן הוא שוב רק 12.5 ק"מ בדיוק.

אלה הם שני האירועים בהם המרחק בין שתי המכוניות הוא 12.5 ק"מ לפני שהמכונית השנייה משיגה את המכונית הראשונה.

נבנה משוואה לאירוע הראשון,

100x – 75x = 12.5
25x = 12.5
x = 0.5

כלומר, אפשרות ראשונה היא שאחרי חצי שעה מרגע יציאתם המשותפת מעיר א הפער שהמכונית הראשונה צברה על המכונית השנייה הוא 12.5 ק"מ.

פער זה ממשיך לגדול עד להגיעו לגודל מרבי אחרי שעה וחצי של נסיעה במהירויותיהן ההתחלתיות. נמצא מהו גודל פער זה כדי למצוא את האירוע השני בו המרחק ביניהן יהיה שוב 12.5 ק"מ בדיוק,

1.5•(100 – 75) = 37.5

את המשוואה בנינו מהכפלת הזמן בהפרש המהירויות ביניהן. הפרש המהירות ביניהן נותן את גודל הפער שנפתח ביניהן!

כלומר, אחרי שעה וחצי נפתח בין שתי המכוניות פער של 37.5 ק"מ. מעתה פער זה ילך ויצטמצם עד לרדתו ל- 12.5 ק"מ שוב לפני שהמכוניות נפגשות. ההסבר הניתן כאן הוא במלל רב... שימו לב איך ההסבר במלל לאירועים המתרחשים עוזר בהבנתם ובמניעת שגיאות בבניית המשוואות. כדאי במתן התשובה לרשום כחלק ממנה או לפחות בצד את ההסבר לאירועים במלל. כך שגם אם יהיו שגיאות חישוב מיותרות, יתכן ולמרות השגיאות ההסבר הנכון במלל יזכה את התשובה בנקודות כלשהן.

אחרי השגת פער מרבי של 37.5 ק"מ נדרש שפער זה יצטמצם ל- 12.5 ק"מ. כלומר, נדרש שהפרש המהירויות החדש בין שתי המכוניות, שהוא כעת 75-50=25 קמ"ש לטובת המכונית השנייה, יתקיים למשך מרחק של 37.5-12.5=25 ק"מ.

מכאן שפרק-הזמן שבו על המכוניות לנסוע בהפרש מהירויות של 25 קמ"ש ביניהן כדי שהפער יצטמצם ב- 25 ק"מ הוא שעה אחת,

25 / 25 = 1

כלומר, אפשרות שנייה היא שאחרי 1 שעה אחרי שמהירות המכונית הראשונה פחתה בחצי, שזה שעתיים וחצי מתחילת נסיעתן (שעה וחצי ועוד שעה), הפער ביניהן ירד ל- 12.5 ק"מ.

רק כדי להשלים את התמונה נוסיף לסיום את ההערה הבאה: קיימים אגב עוד שני אירועים בציר הזמן בהם המרחק בין שתי המכוניות הוא שוב יכול להיות 12.5 ק"מ בדיוק, אבל הם אחרי העקיפה של המכונית השנייה את הראשונה ולכן אינם מבוקשים. נציין אותם בכל-זאת רק כדי להשלים את התמונה. אירוע שלישי הוא כאשר המכונית השנייה פותחת פער מהמכונית הראשונה, פער שיכול לגדול מעבר ל- 12.5 ק"מ ולכן לרגע אחד יהיה הפער ביניהן 12.5 ק"מ בדיוק. אם הפער ביניהן אכן גדל מעבר ל- 12.5 ק"מ אז מתישהו הוא יהיה שוב 12.5 ק"מ בפעם הרביעית, שהיא אחרי שהמכונית השנייה הגיעה ליעד ועצרה והמכונית הראשונה מתקרבת ליעד לבדה.

[לשאלה הבאה]

[ עמוד ראשי - מבחני בגרות במתמטיקה 5 יחידות-לימוד - 2016 קיץ מועד א', חלק ראשון : שאלה 1 | שאלה 2 | שאלה 3 | שאלה 4 | שאלה 5 | שאלה 6 | שאלה 7 | שאלה 8 ]