נגישות
headline
Error processing SSI file




בחינת בגרות

מתמטיקה 5 יח"ל


חלק ראשון - 2016 תשע"ו, חורף מועד א


הצעה לפתרון שאלה 1


הארה: בבואנו לפתור שאלת תנועה מומלץ קודם להכין שרטוט פשוט המתאר את האירועים הנזכרים בשאלה ומספורם לפי סדר התרחשותם. השרטוט יהווה המחשה בעינינו לגבי האירועים שבשאלה לפי סדר התבצעותם ובכך יעזור לנו בהבנתה.

סעיף א

נשרטט את תרחיש האירועים וגם נרשום את הנתונים כפי שהם מופיעים בשאלה,

שרטוט תרחיש אירועים


נשים לב שבשאלה זו לא מצוין סדר אירועים כלשהו. שני הרוכבים יוצאים לדרך בו-זמנית, במהירות קבועה לאורך כל הדרך שכל אחד מהם עבר... אין חלוקה למקטעי דרך... ואין הפסקות. זוהי שאלה פשוטה יחסית.

עבור כל קטע שהרוכב עבר (יש רק קטע דרך אחד בלבד לכל רוכב) סימנו גם את מה שידוע לנו מבחינת מהירות, זמן ודרך עבור אותו קטע. מכיוון שזמן הרכיבה של רוכב האופנוע מוגדר באופן יחסי לזה של רוכב האופניים נבחר את זמן הרכיבה של רוכב האופניים כמשתנה הנעלם x, אך זו בחירה אקראית ואפשר היה להחליט לבחור אחרת.

לאחר שיש לנו הבנה של סדר האירועים המתרחש ומשמעותם נוכל לפנות ולמלא טבלה פשוטה שבעזרתה נשלים את הנתונים המספריים החסרים. משוואת התנועה שבה יש להיעזר במילוי הטבלה היא המשוואה:

מהירות כפול זמן = דרך

הארה: ניתן לזכור משוואה זו בעל-פה בעזרת ראשי-התיבות מז"ד - כמו שם המכונית מזדה. עוד על בעיות תנועה ניתן לקרוא בפרק באתר זה הדן בפתרון בעיות תנועה.

נשים לב שבשאלה מופיעים שתי קבוצות נתונים שאין לערבב ביניהם ישירות. קבוצת נתונים אחת מוסרת מידע לגבי המהירות של הרוכבים באופן כללי וקבוצת נתונים אחרת מוסרת מידע ספציפי לגבי אירועים שקרו בתרחיש.

נבנה קודם טבלה בהתאם לנתוני השאלה לחישוב המהירויות של שני הרוכבים, תוך שאנו נעזרים גם בשרטוט שהכנו:

אמצעי-תחבורהמהירות זמןדרך
רוכב אופניים
x
¼
רוכב אופנוע
x – 1.25
2/3

טבלה לחישוב מהירויות הרוכבים


נשלים את הטבלה, כל שורה בנפרד, בעזרת משוואת התנועה של "מהירות כפול זמן = דרך" ונקבל,

אמצעי-תחבורהמהירותזמןדרך
רוכב אופניים
¼ / x
x
¼
רוכב אופנוע
⅔ / (x-1.25)
x – 1.25
2/3

טבלה לחישוב מהירויות הרוכבים (השלמה)


מצאנו את מהירות רוכב האופניים ואת מהירות רוכב האופנוע, שניהם כביטוי של הנעלם x.

כעת עלינו להכין טבלה נפרדת אחרת המתארת את התקדמותם של הרוכבים בתרחיש המתואר בשאלה. גם טבלה זו בנויה על משוואת התנועה של "מהירות כפול זמן = דרך".

ידוע לנו שמשך זמן הנסיעה של כל אחד מהרוכבים עד למפגש ביניהם הוא 3 שעות בדיוק. זהו זמן נסיעתם. נכפיל זמן נסיעה זה במהירות שמצאנו בעזרת הטבלה הקודמת ונמלא את הטבלה לחישוב דרכי הנסיעה של הרוכבים,

מקטעאמצעי-תחבורהמהירותזמןדרך
1רוכב אופניים
¼ / x
3
3 • (¼ / x)
1רוכב אופנוע
⅔ / (x-1.25)
3
3 • [⅔ / (x-1.25)]

טבלת לחישוב דרכי הנסיעה של הרוכבים


מכיוון שבחישובינו חושב הדרך שכל אחד עבר כחלק יחסי מהמרחק שבין שני הישובים נקבל שסכום הדרכים ששני הרוכבים עברו צריך להיות שווה לשלם שערכו 1 (ביחד הם עברו 100% מהמרחק שבין שני הישובים). נקבל מכאן את המשוואה,

3 • (¼ / x) + 3 • [⅔ / (x-1.25)] = 1

זוהי משוואה בנעלם אחד שפתרונה הוא,

3 / (4x) + 2 / (x-1.25) = 1
3 + 2•4x / (x-1.25) = 4x
3•(x-1.25) + 8x = 4x•(x-1.25)
3x-3.75 + 8x = 4x2-5x
11x-3.75 = 4x2-5x
0 = 4x2-16x+3.75

x1,2 = 3.75 , 0.25

קיבלנו שני פתרונות אפשריים למשוואה (הריבועית) שבנינו. נבדוק אם שניהם אפשריים גם מבחינה פיזיקאלית.
הנעלם x ייצג עבורנו את זמן הנסיעה של רוכב האופניים כשבאנו לחשב את מהירותו לפי נתוני השאלה. לפי שאר נתוני השאלה זמן הנסיעה של רוכב האופנוע הוא x-1.25. מכיוון שהערך 0.25 עבור x נותן תוצאה של זמן שלילי נוכל להסיק שפתרון חישובי זה אינו תקף ויש לפסול אותו.

מכאן שקיים פתרון אפשרי יחיד בלבד לנעלם x והוא,

x = 3.75

משידוע לנו כעת ערכו של x נוכל להציבו ולמצוא ערכים מספריים למהירויות שני הרוכבים בעזרת הטבלה לחישוב המהירויות שלהם,

אמצעי-תחבורהמהירותזמןדרך
רוכב אופניים
¼ / x = 0.06667
x = 3.75
1/4
רוכב אופנוע
⅔ / (x-1.25) = 0.26667
x – 1.25 = 2.5
2/3

טבלה לחישוב מהירויות הרוכבים (הצבת x)


מתוך נתוני הטבלה נמצא שמהירות רוכב האופנוע גדולה ממהירות רוכב האופניים פי

0.26667 / 0.066667 = 4

סעיף ב

נחזור כעת לטבלה לחישוב הדרכים שעברו שני הרוכבים ונציב גם בה את הנעלם x. נקבל,

אמצעי-תחבורהמהירותזמןדרך
רוכב אופניים
¼ / x = 0.066667
3
3 • (¼ / x) = 0.2
רוכב אופנוע
⅔ / (x-1.25) = 0.26667
3
3 • [⅔ / (x-1.25)] = 0.8

טבלת לחישוב דרכי הנסיעה של הרוכבים (פתרון)


רוכב האופנוע עבר 0.8 (80%) מהדרך בפרק זמן של 3 שעות. כעת נותר לו לעבור רק עוד 0.2 (20%) מהדרך שבין שני הישובים כדי להשלים את כל הדרך ביניהם שהיא השלם 1 (100%). נוסיף קטע זה (2ב) לטבלה לחישוב דרכי הנסיעה ונקבל,

מקטעאמצעי-תחבורהמהירותזמןדרך
1רוכב אופניים
¼ / x = 0.066667
3
3 • (¼ / x) = 0.2
רוכב אופנוע
⅔ / (x-1.25) = 0.26667
3
3 • [⅔ / (x-1.25)] = 0.8
רוכב אופנוע
0.26667
?
0.2

טבלת לחישוב דרכי הנסיעה של הרוכבים (הוספת מקטע)


משך פרק הזמן של המקטע השני (2ב) של רוכב האופנוע הוא,

0.2 / 0.266667 = 0.75

ואת שני המקטעים יחד (2א ו- 2ב) יעבור רוכב האופנוע בפרק זמן כולל של,

3 + 0.75 = 3.75

[לשאלה הבאה]

[ עמוד ראשי - מבחני בגרות במתמטיקה 5 יחידות-לימוד - 2016 חורף מועד א', חלק ראשון : שאלה 1 | שאלה 2 | שאלה 3 | שאלה 4 | שאלה 5 | שאלה 6 | שאלה 7 | שאלה 8 ]