בחינת בגרות

מתמטיקה 5 יח"ל

חלק שני - 2016, קיץ מועד א

הצעה לפתרון שאלה 1

הארה: בבואנו לפתור שאלות מסוג זה נזכור את הכללים החשובים הבאים:

    • לישרים מקבילים שיפוע זהה
    • מכפלת ישרים המאונכים זה לזה היא מינוס אחד
    • כדי למצוא שיעורי נקודה יתכן ונצטרך למצוא קודם את משוואת הישר/המעגל עליה היא נמצאת
    • כדי למצוא את משוואת הישר/המעגל יתכן ונצטרך למצוא קודם את שיעוריה של נקודה המונחת עליו

סעיף א

נמצא את השיפוע של הישר שעליו מונח הבסיס AB,

AB: 4y = 3x – 15
y = ¾x – 15/4

השיפוע של AB הוא¾ וזהו גם השיפוע של CD מאחר והם מקבילים זה לזה.

המשוואה הכללית של CD היא,

CD: y = ¾x + n

נרצה כעת למצוא את הערך של n. לשם-כך נוריד אנך מנקודה B אל המשך הישר שעליו מונח CD והוא יחתוך אותו בנקודה E.
אם נמצא ערכים לשיעורים של נקודה E נוכל למצוא את ערכו של n, כי זו נמצאת על משוואת הישר שעליו מונח CD. את שיעורי נקודה E נמצא בעזרת משפט פיתגורס והנתון לגבי הגובה במקבילית שהוא באורך 6.

נבנה את המשוואה הבאה,

(B_x-E_x)² + Ey² = 6²

את שיעור x של B קל למצוא ממשוואת הישר AB בנקודת חיתוך ציר y,

3x – 4y -15 = 0
3B_x – 0 = 15
B_x = 5

כדי למצוא את שיעור y של נקודה E נבנה את משוואת הישר שעליו מונח BE בהסתמך על כך שישר זה אנכי ל- AB ולכן מכפלת שיפועי השניים היא מינוס אחד. כלומר, השיפוע של BE הוא,

m_BE • m_AB = -1
m_BE = -1/m_AB
m_BE = -4/3

משוואת הישר עליו מונח BE היא לכן,

BE: y = -4x/3 + m

נציב את השיעורים הידועים של נקודה B כדי למצוא את ערכו של m במשוואה שלעיל ונקבל,

0 = -4•5/3 + m
m = 20/3

משיש בידנו את m יש בידינו את משוואת הישר BE ונוכל בעזרתו לבטא את שיעור y של נקודה E המונחת עליו בעזרת שיעור x שלה,

E: y = -4x/3 + 20/3

נציב את שיעור x של B ואת שיעור y של E במשוואת פיתגורס שרשמנו קודם ונקבל משוואה עם נעלם אחד – שיעור x של נקודה E,

E: (5 – x)² + (20/3 – 4x/3)² = 36
9•(25-10x+x²)+(400-160x+16x²)=324
225-90x+9x²+400-160x+16x²=324
25x²-250x+301=0
x_1,2 = 8.6, 1.4

קיבלנו שתי אפשרויות לשיעור x של נקודה E. נציב את שתיהן כדי לקבל גם את שיעור y של נקודה E ונקבל את שתי האפשרויות הבאות לשיעורי נקודה E,

(8.6, -4.8)
(1.4, 4.8)

בעזרת שיעורי נקודה E נוכל למצוא את n במשוואת הישר שעליו מונח CD (ושגם נקודה E נמצאת על המשכו),

y = 3x/4 + n
n = y – 3x/4
n_1,2 = -11.25, 3.75

נבדוק אם שתי האפשרויות שלעיל הן חוקיות לפי נתוני השאלה.
כלומר, נרצה לוודא שנקודה C אכן נמצאת על החלק החיובי של ציר x.

שיעור x של נקודה C מתקבל כאשר הישר חותך את ציר x,

C: 0 = 3x/4 + n
x = -4n/3

x_1,2 = 15, -5

רק האפשרות הראשונה היא חוקית ולכן משוואת CD היא,

CD: y = 3x/4 – 11.25
או
4y -3x + 45 = 0

סעיף ב

(1) רדיוס המעגל הוא המרחק בין מרכזו שבנקודה B לנקודה כלשהי על היקפו, למשל נקודה C. הנקודות B ו- C נמצאות על חלקו החיובי של ציר x, לכן רדיוס המעגל שווה למרחק ביניהן על פני ציר x. את שיעורי x של B ושל C כבר מצאנו בסעיף קודם. נציב ונקבל,

R = |Bx – Cx| = |5 – 15| = 10

רדיוס המעגל הוא 10.

(2) את השיעורים של נקודה D נוכל למצוא מחיתוך של שני הישרים CD ו- AD. את משוואת הישר CD מצאנו בסעיף א, כך שנותר לנו כעת למצוא רק את משוואת הישר AD.

לשם מציאת משוואת הישר AD נמצא קודם את שיעורי הנקודה A בעזרת מערכת של שתי משוואות. משוואה אחת היא משוואת הישר AB ומשוואה שנייה היא משוואת רדיוס המעגל שמרכזו בנקודה B ושנקודה A היא על היקפו.

חיתוך משוואת המעגל עם משוואת הישר ייתן את שיעורי נקודה A (נשים-לב מראש שצפויות להיות שתי תוצאות חשבוניות, כי משוואת המעגל היא בחזקה ריבועית ועלינו לבחור במתאימה מהן בהתאם לנתוני השאלה – זו המקיימת ש- A נמצא ברביע השלישי).

מערכת שתי המשוואות היא,

3x – 4y – 15 = 0
(x-5)² + y² = 10²

נפתור ונקבל,

y = ¼ • (3x-15)

(x-5)² + [¼•(3x-15)]² = 100
x²-10x+25+(1/16)•(9x²-90x+225) = 100
16x²-160x-1200+9x²-90x+225 = 0
25x²-250x-975 = 0
x² – 10x – 39 = 0
x_1,2 = -3, 13

רק הפתרון הראשון של x מתאים לתנאי השאלה, שכן רק הוא נמצא ברביע השלישי.

השיעורים של נקודה A הם,

x = -3
y = ¼ [3•(-3) – 15] = -6

משוואת הישר AD עוברת דרך ראשית הצירים, לכן היא מהצורה הכללית הבאה,

AD: y = mx

משיעורי נקודה A נמצא את השיפוע m,

-6 = -3m
m = 2

כעת נמצא את שיעורי נקודה D מחיתוך של הישר AD עם הישר CD,

y = 2x
4y – 3x + 45 = 0

4•(2x) – 3x + 45 = 0
5x = -45
x = -9
y = -18

[לשאלה הבאה]

[ עמוד ראשי - מבחני בגרות במתמטיקה 5 יחידות-לימוד - 2016 קיץ מועד א', חלק שני : שאלה 1 | שאלה 2 | שאלה 3 | שאלה 4 | שאלה 5 ]