בחינת בגרות
מתמטיקה 5 יח"ל
חלק שני - 2016, קיץ מועד א
הצעה לפתרון שאלה 1
הארה: בבואנו לפתור שאלות מסוג זה נזכור את הכללים החשובים הבאים:
    • לישרים מקבילים שיפוע זהה
    • מכפלת ישרים המאונכים זה לזה היא מינוס אחד
    • כדי למצוא שיעורי נקודה יתכן ונצטרך למצוא קודם את משוואת הישר/המעגל עליה היא נמצאת
    • כדי למצוא את משוואת הישר/המעגל יתכן ונצטרך למצוא קודם את שיעוריה של נקודה המונחת עליו
סעיף א
נמצא את השיפוע של הישר שעליו מונח הבסיס AB,
y = ¾x – 15/4
השיפוע של AB הוא¾ וזהו גם השיפוע של CD מאחר והם מקבילים זה לזה.
המשוואה הכללית של CD היא,
נרצה כעת למצוא את הערך של n. לשם-כך נוריד אנך מנקודה B אל המשך הישר שעליו מונח CD והוא יחתוך אותו בנקודה E.
אם נמצא ערכים לשיעורים של נקודה E נוכל למצוא את ערכו של n, כי זו נמצאת על משוואת הישר שעליו מונח CD. את שיעורי נקודה E נמצא בעזרת משפט פיתגורס והנתון לגבי הגובה במקבילית שהוא באורך 6.
נבנה את המשוואה הבאה,
את שיעור x של B קל למצוא ממשוואת הישר AB בנקודת חיתוך ציר y,
3Bx – 0 = 15
Bx = 5
כדי למצוא את שיעור y של נקודה E נבנה את משוואת הישר שעליו מונח BE בהסתמך על כך שישר זה אנכי ל- AB ולכן מכפלת שיפועי השניים היא מינוס אחד. כלומר, השיפוע של BE הוא,
mBE = -1/mAB
mBE = -4/3
משוואת הישר עליו מונח BE היא לכן,
נציב את השיעורים הידועים של נקודה B כדי למצוא את ערכו של m במשוואה שלעיל ונקבל,
m = 20/3
משיש בידנו את m יש בידינו את משוואת הישר BE ונוכל בעזרתו לבטא את שיעור y של נקודה E המונחת עליו בעזרת שיעור x שלה,
נציב את שיעור x של B ואת שיעור y של E במשוואת פיתגורס שרשמנו קודם ונקבל משוואה עם נעלם אחד – שיעור x של נקודה E,
9•(25-10x+x2)+(400-160x+16x2)=324
225-90x+9x2+400-160x+16x2=324
25x2-250x+301=0
x1,2 = 8.6, 1.4
קיבלנו שתי אפשרויות לשיעור x של נקודה E. נציב את שתיהן כדי לקבל גם את שיעור y של נקודה E ונקבל את שתי האפשרויות הבאות לשיעורי נקודה E,
(1.4, 4.8)
בעזרת שיעורי נקודה E נוכל למצוא את n במשוואת הישר שעליו מונח CD (ושגם נקודה E נמצאת על המשכו),
n = y – 3x/4
n1,2 = -11.25, 3.75
נבדוק אם שתי האפשרויות שלעיל הן חוקיות לפי נתוני השאלה.
כלומר, נרצה לוודא שנקודה C אכן נמצאת על החלק החיובי של ציר x.
שיעור x של נקודה C מתקבל כאשר הישר חותך את ציר x,
x = -4n/3
x1,2 = 15, -5
רק האפשרות הראשונה היא חוקית ולכן משוואת CD היא,
או
4y -3x + 45 = 0
סעיף ב
(1) רדיוס המעגל הוא המרחק בין מרכזו שבנקודה B לנקודה כלשהי על היקפו, למשל נקודה C. הנקודות B ו- C נמצאות על חלקו החיובי של ציר x, לכן רדיוס המעגל שווה למרחק ביניהן על פני ציר x. את שיעורי x של B ושל C כבר מצאנו בסעיף קודם. נציב ונקבל,
רדיוס המעגל הוא 10.
(2) את השיעורים של נקודה D נוכל למצוא מחיתוך של שני הישרים CD ו- AD. את משוואת הישר CD מצאנו בסעיף א, כך שנותר לנו כעת למצוא רק את משוואת הישר AD.
לשם מציאת משוואת הישר AD נמצא קודם את שיעורי הנקודה A בעזרת מערכת של שתי משוואות. משוואה אחת היא משוואת הישר AB ומשוואה שנייה היא משוואת רדיוס המעגל שמרכזו בנקודה B ושנקודה A היא על היקפו.
חיתוך משוואת המעגל עם משוואת הישר ייתן את שיעורי נקודה A (נשים-לב מראש שצפויות להיות שתי תוצאות חשבוניות, כי משוואת המעגל היא בחזקה ריבועית ועלינו לבחור במתאימה מהן בהתאם לנתוני השאלה – זו המקיימת ש- A נמצא ברביע השלישי).
מערכת שתי המשוואות היא,
(x-5)2 + y2 = 102
נפתור ונקבל,
(x-5)2 + [¼•(3x-15)]2 = 100
x2-10x+25+(1/16)•(9x2-90x+225) = 100
16x2-160x-1200+9x2-90x+225 = 0
25x2-250x-975 = 0
x2 – 10x – 39 = 0
x1,2 = -3, 13
רק הפתרון הראשון של x מתאים לתנאי השאלה, שכן רק הוא נמצא ברביע השלישי.
השיעורים של נקודה A הם,
y = ¼ [3•(-3) – 15] = -6
משוואת הישר AD עוברת דרך ראשית הצירים, לכן היא מהצורה הכללית הבאה,
משיעורי נקודה A נמצא את השיפוע m,
m = 2
כעת נמצא את שיעורי נקודה D מחיתוך של הישר AD עם הישר CD,
4y – 3x + 45 = 0
4•(2x) – 3x + 45 = 0
5x = -45
x = -9
y = -18
[ עמוד ראשי - מבחני בגרות במתמטיקה 5 יחידות-לימוד - 2016 קיץ מועד א', חלק שני : שאלה 1 | שאלה 2 | שאלה 3 | שאלה 4 | שאלה 5 ]

[  עמוד הבית  |  אודות  |  זכויות יוצרים  |  מפת האתר  ]