נגישות
headline
Error processing SSI file




בחינת בגרות

מתמטיקה 5 יח"ל


חלק שני - 2016, קיץ מועד א


הצעה לפתרון שאלה 2


סעיף א

נזכיר שמכפלה סקלרית בין ווקטור u לווקטור v מחשבים לפי,

u ▫ v = ||u|| • ||v|| • cosα

כאשר α היא הזווית בין שני ווקטורים.

ניתן לקרוא עוד על פעולה זו בין שני ווקטורים בפרק באתר זה הדן במכפלה סקלרית.

מכיוון ש- AD אנך ל- DE נקבל שקוסינוס הזווית ביניהם היא אפס (cos90° = 0) ולכן המכפלה הסקלרית ביניהם היא אפס,

AD ▫ DE = 0

DE, AD ו- AE נמצאים באותו המישור, לכן ניתן לרשום את המשוואה הווקטורית הבאה,

AD + DE = AE
DE = AE - AD

נציב את DE במשוואה הקודמת ונקבל,

AD ▫ (AE – AD) = 0

נציב את v ואת w ונקבל,

v ▫ (w – v) = 0
v ▫ w – v2 = 0
w ▫ v = v2
w ▫ v = 52
w ▫ v = 25

מכיוון שנתון שהבסיס הוא ריבוע נקבל ש-

||AB|| = ||AD||
||u|| = ||v||

נתון גם שהזווית בין u ו- w שווה לזווית בין v ל- w, לכן המכפלה הסקלרית w▫u שווה למכפלה הסקלרית w▫v.

לסיכום, נקבל ש-

w ▫ v = 25
w ▫ u = 25

סעיף ב

מכיוון שנקודה H נמצאת על EC ומיקומה בה נתון ביחס לגודל EC כולו נרצה למצוא קודם כל את אורכו של EC. כדי למצוא את אורכו של EC נתחיל לנוע מנקודה E ונחבר וקטורים עד הגיענו לנקודה C. נשים לב שווקטורים שכיוונם מצביע הפוך לכיוון המסלול שלנו מ- E ל- C יש לקחת עם סימן שלילי לפניהם!

הערה: יכולנו כמובן לבחור מסלול המתחיל בנקודה C ומסתיים בנקודה E.

בבחירת המסלול מנקודה E לנקודה C נבחר כמובן להשתמש בווקטורים שערכם כבר ידוע לנו. נקבל,

EC = -AE + AD + DC
EC = -w + v+ u

כעת נוכל לבטא את ערכו של EH,

EH = (2/5)•EC
EH = (2/5)•(v + u – w)

כעת נרצה לבטא את AH בעזרת EH. לשם כך נתחיל מסלול ווקטורי מנקודה A שמסתיים בנקודה H והעובר דרך ווקטורים שערכם כבר ידוע לנו,

AH = AE + EA
AH = w + (2/5)•(v + u – w)
AH = (3/5)•w + (2/5)•(v + u)

מצד שני אורכו של AH ידוע לנו. נציב ונקבל,

|AH| = |3w/5 + 2v/5 + 2u/5| = 2√17

(3w/5 + 2v/5 + 2u/5)2 = 4•17
(3w/5 + 2v/5 + 2u/5)•(3w/5 + 2v/5 + 2u/5) = 68
9w2/25+6w▫v/25+6w▫u/25+6v▫w/25+4v2/25+4v▫u/25+6u▫w/25+4u▫v/25+4u2/25 = 68

כבר מצאנו בסעיף א את ערכי המכפלות הווקטוריות הבאות,

w ▫ v = 25
w ▫ u = 25

בנוסף, הזווית בין ווקטור u לבין ווקטור v היא זווית ישרה (הבסיס הוא ריבוע), לכן המכפלה הווקטורית ביניהם היא אפס,

v ▫ u = 0

נציב ונקבל,

9||w||2/25+6+6+6+4+0+6+0+4 = 68
9||w||2 = 25•(68-32)
||w||2 = 25•36/9 = 100
|w| = 10

סעיף ג

(1) כדי להראות שהמשולש EDC הוא משולש ישר-זווית נצטרך להוכיח שהזווית ‹DCE היא זווית ישרה. כדי להוכיח שהזווית היא ישרה נראה שהמכפלה הווקטורית בין CE ובין CD היא אפס,

CE▫CD = 0

כדי להראות שהמשוואה שלעיל מתקיימת נבטא את CE ואת CD בעזרת הגדלים הווקטוריים שכבר ידועים לנו. לשם כך ניצור מסלול ווקטורי המתאר ווקטורים אלו,

CE = -DC – AD + AE = -u-v+w
CD = -DC = -u

נבצע את ההכפלה הווקטורית ביניהם ונקבל,

CE▫CD = (-u-v+w)(-u)
CE▫CD = ||u||2 + v▫u – w▫u
CE▫CD = 25 + 0 – 25
CE▫CD = 0

קיבלנו שהמכפלה הווקטורית בין CE ובין CD היא אפס, לכן הזווית ביניהם היא זווית ישרה והמשולש EDC הינו משולש ישר-זווית.

מאחר והמשולש הוא ישר-זווית הנוסחה לחישוב שטחו היא חצי מכפלת שני הניצבים במשולש. נקבל,

S∆EDC = ½ (|CE|•|CD|) = 5|CE|/2

את CE נוכל למצוא בעזרת משפט פיתגורס אם נמצא את DE קודם. את DE נוכל למצוא, שוב בעזרת משפט פיתגורס, מתוך משולש ADE שהינו גם משולש ישר-זווית,

|DE|2 = |AE|2 – |AD|2
|DE|2 = w2 – v2
|DE|2 = 100 – 25 = 75

נחזור למשולש EDC ונקבל,

|CE|2 = |DE|2 – |DC|2
|CE|2 = 75 – 25 = 50
CE = √50

ולכן שטח המשולש EDC הוא,

S∆EDC = 5√50/2

(2) נשים-לב שניתן לראות את AEDC כפירמידה ניצבת שבסיסה הוא המשולש ADC או כפירמידה שוכבת שבסיסה הוא המשולש EDC. מכיוון שאת שטח המשולש EDC כבר חישבנו קודם והוא ידוע לנו אז נבחר לראות את הפירמידה כפירמידה שוכבת.

הארה: סעיף קודם חישבנו שטח של משולש המופיע בפירמידה הנתונה, לכן הגיוני יהיה לרוב שחישוב נפח הפירמידה המסתמך על שטח משולש בסיס הפירמידה ישתמש בחישוב זה.

נזכיר שהנוסחה לחישוב פירמידה היא,

V = ⅓ • (S•h)

כאשר S הוא שטח הבסיס ו- h הוא הגובה.

כפי שנראה מייד קל לנו למצוא את הגובה h קל עם הבחירה של משולש EDC כבסיס. נתון לנו ש- AD אנכית ל- DE וגם ל- DC, לכן הוא אנכי לכל המישור בו נמצא המשולש EDC ואז מהווה בעצמו כגובה של הפירמידה השוכבת.

נקבל שנפח הפירמידה הוא,

V = ⅓ • (5√50/2 • 5)
V = 25√50/6

[לשאלה הקודמת | לשאלה הבאה]

[ עמוד ראשי - מבחני בגרות במתמטיקה 5 יחידות-לימוד - 2016 קיץ מועד א', חלק שני : שאלה 1 | שאלה 2 | שאלה 3 | שאלה 4 | שאלה 5 ]