נגישות
headline
Error processing SSI file




בחינת בגרות

מתמטיקה 5 יח"ל


חלק שני - 2016, קיץ מועד א


הצעה לפתרון שאלה 3


סעיף א

נפתור את המשוואה הריבועית,

z = [2Rcisθ ± √(4R2cis2θ + 12R2cis(2θ))]/2

נשתמש בזהות,

cisα + cisβ = cisα • cisβ

ונקבל,

cis(2θ) = cis2θ

נציב ונקבל,

z = [2Rcisθ ± √(4R2cis2θ + 12R2cis2θ)]/2 =
[2Rcisθ ± √(16R2cis2θ)]/2 =
[2Rcisθ ± 4Rcisθ]/2 =
Rcisθ ± 2Rcisθ

מכיוון ש- z1 נמצא ברביע הראשון הפתרונות הן,

z1 = 3Rcisθ
z2 = -Rcisθ = Rcis(180+θ)

סעיף ב

לפי משוואת הישר העובר דרך ראשית הצירים השיפוע של הישר הוא,

m = √3/3

מצד שני את השיפוע של הישר ניתן למצוא בעזרת חישוב tan הזווית. לכן נקבל,

tanθ = √3/3

θ = 30°

סעיף ג

(1) z3 הינו הצמוד הקומפלקסי של z1 ולכן הוא יהיה סימטרי אליו ביחס לציר הממשי.

(2) ערכו המוחלט של z2 הוא R. נמצא את ערכו של R מתוך שטח המשולש הנתון. המשולש Z1OZ3 הינו משולש שווה שוקיים, כי z3 הוא הצמוד הקומפלקסי של z1 ומכאן שמרחקם מראשית הצירים O זהה.

הצלע z1z3 נחצית על-ידי הציר הממשי בנקודה A, לכן AO הוא גם חוצה זווית הראש במשולש z1Oz3. לכן זווית הראש היא 2θ = 60°.

שטח המשולש יהיה חצי מכפלת שתי השוקיים בסינוס הזווית ביניהם.

S = ½•|z1|•|z1*|•sin(60) =
½•[(3Rcos30)2 + (3Rsin30)2]•sin(60) =
(√3/4)•[9R2•(√3/2)2 + 9R2(1/2)2] =
(√3/4)•9R2•(3/4 + 1/4) =
(9√3/4)•R2

נשווה את הערך שקיבלנו לנתון בשאלה ונמצא את ערכו של R,

S = (9√3/4)•R2 = 225√3
9R2 = 900
R = 10

[לשאלה הקודמת | לשאלה הבאה]

[ עמוד ראשי - מבחני בגרות במתמטיקה 5 יחידות-לימוד - 2016 קיץ מועד א', חלק שני : שאלה 1 | שאלה 2 | שאלה 3 | שאלה 4 | שאלה 5 ]