נגישות
headline
Error processing SSI file




בחינת בגרות

מתמטיקה 5 יח"ל


חלק שני - 2016, קיץ מועד א


הצעה לפתרון שאלה 4


סעיף א

(1) כדי למצוא את נקודות הקיצון של הפונקציה נבצע גזירה ראשונה ונשווה אותה לאפס. במקרה זה נשתמש בכלל הגזירה של חוק המכפלה,

f'(x) = (-6x)•(e^x3) + (-3x2)•(e^x3)•(3x2)

הערה: כדי לגזור את e^x3 נשתמש בכלל הגזירה של חוק השרשרת עם הגדרת משתנה ביניים t=x3.

f'(x) = -6x•e^x3 – 9x4•e^x3 =
x(2+3x3)•e^x3

הנגזרת שווה לאפס בהתקיים אחד מהשניים,

x = 0
2+3x3 = 0 → x = –3√(2/3) = –0.873

קיבלנו שתי נקודות קיצון ששיעוריהן הן,

x = 0
y = 0

x = -0.873
y = -3•(0.763)•3-2/3 = -1.175

נקבע את סוגן לפי הערך של הנגזרת השנייה של הפונקציה באותן נקודות קיצון,

f’’(x) = (-6)•e^x3 + (-6x)•e^x3•(3x2) – (36x3)• e^x3 – 9x4•e^x3•(3x2) =
-e^x3•(6+18x3+36x3+27x6) =
-3e^x3•(2+27x3+9x6)

f’’(x=0) = -6
f’’(x=-0.873) = -1.54•(2+27•(-0.666)+9•0.433) = 18.634

עבור נקודת הקיצון הראשונה קיבלנו שהנגזרת השנייה היא בעלת ערך שלילי, לכן זוהי נקודת מקסימום.
עבור נקודת הקיצון השנייה קיבלנו שהנגזרת השנייה היא בעלת ערך חיובי, לכן זוהי נקודת מינימום.

(2) עבור x=0 נקבל שציר y נחתך בנקודה,

f'(x=0) = 0

כלומר, נקודת החיתוך עם ציר y היא נקודת ראשית הצירים. משמע זוהי גם נקודת החיתוך עם ציר x.

קיבלנו שהפונקציה חותך את הצירים בנקודה אחת – נקודת ראשית הצירים. נשים לב שזוהי גם נקודת קיצון מקסימאלית של הפונקציה, כפי שהתקבל בסעיף קודם.

(3) נשרטט את הפונקציה תוך ציון הנקודות המיוחדות שמצאנו עבורה,

גרף הפונקציה


(4) הפונקציה f(x) היא אי-חיובית בכל תחום הגדרתה ונמצאת כולה מתחת לציר x (למעט נקודת החיתוך עם ראשית הצירים), לכן הפונקציה g(x) היא תמונת ראי של הפונקציה f(x) ביחס לציר x ומתלכדת עימה רק בנקודת ראשית הצירים.

גרפים של הפונקציות


סעיף ב

נשים לב ששתי הפונקציות נפגשות בראשית הצירים. נבצע אינטגרל על f(x) ונחשב את השטח הכלוא בינה ובין ציר x והישר x=-1 עד לראשית הצירים. את השטח הזה נכפיל בשניים הרי g(x) היא תמונת ראי של f(x) וכולאת את אותו גודל שטח רק מעל לציר x.

נבצע אינטגרל על הפונקציה f(x),

∫-3x2•e^x3 dx

הארה: כשעלינו לבצע אינטגרל על פונקציה מורכבת כמו זו המכילה הכפלה של כמה ביטויים הכוללים את הנעלם x ננסה לזהות באחד הביטויים את הנגזרת של ביטוי אחר בו. למשל, במקרה שלנו קל לראות שהנגזרת של x3 הוא 3x2. ניאחז בנקודה זו ונגדיר משתנה ביניים t השווה ל- x3.

נגדיר משתנה ביניים t,

t = x3
dt/dx = 3x2

נחליף באינטגרל את x3 ב- t ואת 3x2•dx ב- dt ונקבל את האינטגרל הפשוט הבא,

∫-et dt =
-∫et dt =
-et

בחזרה למשתנה x נקבל שהאינטגרל שווה ל-

-e^x3

נחשב את האינטגרל בין גבולות השטח הכלוא מתחת לציר x ועד לפונקציה f(x) בין הנקודות 0 ו- -1.

-e^x3|0 → -1 = -1 – (-1/e) = 1/e - 1

נשים לב שגודלו של השטח המחושב הוא שלילי, כי הוא מתחת לציר x. לכן נהפוך את סימנו יחד עם הכפלתו בשניים כדי לקבל את גודל כל השטח הכלוא בין שתי הפונקציות בתחום האמור,

S = 2•(1-1/e) = 1.264

סעיף ג

הארה: לרוב הסעיף האחרון בשאלה ארוכה ורבת סעיפים כמו זו הוא טריקי ואינו דורש חישובים מסובכים, אלא רק מחשבה קצרה. הטריק המסתתר כאן הוא בחישוב האינטגרל המסוים בגבולות המוגדרים.

a הוא המשתנה שלנו ונתון שהוא נע מ- -1 והלאה. כלומר, יש לו גבול מיוחד בערך a=-1. אם נציב ערך זה בשתי הפונקציות נגלה שהביטוי של האינטגרל בהן מתאפס (כי הגבול העליון והגבול התחתון של האינטגרל שווים). לכן ערך שתי הפונקציות הוא שווה ושווה לאפס.

מכאן שניתן להסיק שלשתי הפונקציות יש נקודת מפגש וודאית עבור הערך a=-1 וערכן אפס בנקודה זו.

[לשאלה הקודמת | לשאלה הבאה]

[ עמוד ראשי - מבחני בגרות במתמטיקה 5 יחידות-לימוד - 2016 קיץ מועד א', חלק שני : שאלה 1 | שאלה 2 | שאלה 3 | שאלה 4 | שאלה 5 ]