נגישות
headline
Error processing SSI file




בחינת בגרות

מתמטיקה 5 יח"ל


חלק שני - 2016, קיץ מועד א


הצעה לפתרון שאלה 5


סעיף א

(1) במקרה של הפונקציה הנתונה בשאלה תחום הקיום מתקבל מתחום חוקיות הביטוי שבתוך פונקצית ה- ln. לכן, נקבל שתחום הקיום הוא,

x > 0

(2) חיתוך עם ציר y יתקבל מהבת x=0, אבל ערך זה חורג מתחום ההגדרה של הפונקציה. לכן אין לפונקציה חיתוך עם ציר y.
חיתוך עם ציר x יתקבל מהשוואת הפונקציה לאפס,

x2/2•(½ – ln(x)) = 0

פתרון אחד הוא x=0, אבל שוב אין זה פתרון חוקי בהתאם לתחום ההגדרה.
פתרון שני הוא,

½ - ln(x) = 0
ln(x) = ½
eln(x)/ = ½
x = e½ = √e

לסיכום, קיבלנו נקודת חיתוך אחת עם הצירים והיא עם ציר x בנקודה,

(√e, 0)

(3) את נקודות הקיצון של הפונקציה נמצא בעזרת השוואת הנגזרת שלה לאפס. קודם נמצא את הנגזרת. לשם כך נעזר בכלל הגזירה של חוק המכפלה,

f’(x) = 2x/2•(½ – ln(x)) + x2/2•(-1/x) =
x/2 – x•ln(x) – x/2 =
-x•(ln(x))

נשווה את הנגזרת לאפס ונקבל את שני הפתרונות הבאים עבור ערכי הקיצון,

x = 0
x = 1

כזכור הערך x שווה לאפס חורג מתחום ההגדרה של הפונקציה. לכן נקבל ערך קיצון יחיד והוא,

x = 1

נמצא גם את ערך הפונקציה בנקודת קיצון זו,

f(x=1) = ½•(½ - ln(1)) = ¼

לסיכום, קיבלנו שלפונקציה יש ערך קיצון יחיד בנקודה,

(1, ¼)

כדי לקבוע את סוג נקודת הקיצון נבצע גזירה שנייה לפונקציה (גזירה של הנגזרת) ונקבל,

f’’(x) = -1•(ln(x)) – x•(1/x) =
= -ln(x) -1

f’’(x=1) = -ln(1) – 1 = 0 – 1 = -1

ערך הנגזרת השנייה הוא שלילי, לכן זוהי נקודת מקסימום של הפונקציה.

סעיף ב

נשווה את הנגזרת השנייה, שמצאנו בסעיף קודם, לאפס כדי לקבל נקודות קיצון של פונקצית הנגזרת הראשונה,

f’’(x) = -ln(x) -1 = 0
ln(x) = -1
eln(x) = e-1
x = 1/e

נציב את x כדי לקבל גם את שיעור y בנקודת קיצון זו,

f’(x=1/e) = (-1/e)•ln(1/e) =
(-1/e)•ln(e-1) =
(-1/e)•(-1) =
1/e

קיבלנו עבור פונקצית הנגזרת נקודת קיצון אחרת והיא,

(1/e, 1/e)

כדי לקבוע את סוגה נבצע גזירה שלישית לפונקציה (זוהי נגזרת שנייה לפונקצית הנגזרת) ונבדוק את ערכה בנקודת הקיצון,

f’’’(x) = -1/x
f’’’(x=1/e) = -1/(1/e) = -e

ערך שלילי בנגזרת השנייה של פונקצית הנגזרת משמעו ערך מקסימאלי לפונקצית הנגזרת בנקודה זו.

(2) נקודת פיתול מתקבלת כשהנגזרת השנייה שווה לאפס,

f’’(x) = -ln(x) – 1 = 0
ln(x) = -1
eln(x) = e-1
x = 1/e

נציב 1/e עבור x בפונקציה ונקבל,

f(x=1/e) = e-2/2•(½ - ln(1/e)) = 0.75/e2

כלומר, נקודת הפיתול של f(x) היא,

(1/e, 0.75/e2)

סעיף ג

(1)

גרפים של הפונקציות


(2) הארה: נשים לב שמבקשים את מיקום x של נקודה החיתוך רק "בערך", לכן הגיוני שניעזר בערכי נקודות הקיצון והחיתוך עם ציר x שכבר מצאנו וידועים לנו.

מהגרף עולה שנקודת החיתוך נמצאת לפני x=1 ואחרי x=1/e. כלומר,

1/e < x < 1

סעיף ד

הארה: זהו סעיף אחרון בשאלה מרובת סעיפים, לכן נצפה לפחות חישובים וליותר מחשבה בפיתרון.

נתון ש- f(x) הוא הנגזרת של g(x). לכן g(x) הוא בעצם האינטגרל של f(x).

בתחום 1<x<e הפונקציה f(x) נמצאת מעל ציר x בתחום 1<x<√e ומתחת לציר x בתחום √e<x<e. לכן חישוב השטח הכלוא יחולק לשני אינטגרלים בהתחשב בסימן המקדים (חיובי או שלילי) את גודל השטח שהם תורמים לסך השטח הכלוא. שטח מעל ציר x יהיה בעל סימן מקדים חיובי בעוד ששטח מתחת לציר x יהיה בעל סימן מקדים שלילי. נקבל,

1→ef(x) =
-∫√e→ef(x) + ∫1→√ef(x) =
-[g(e) – g(√e)] + [g(√e) – g(1)] =
-(c-b) + ( b-a) =
2b – a – c

[לשאלה הקודמת]

[ עמוד ראשי - מבחני בגרות במתמטיקה 5 יחידות-לימוד - 2016 קיץ מועד א', חלק שני : שאלה 1 | שאלה 2 | שאלה 3 | שאלה 4 | שאלה 5 ]