נגישות
headline
Error processing SSI file




בחינת בגרות

מתמטיקה 5 יח"ל


חלק שני - 2016, חורף מועד א


הצעה לפתרון שאלה 1


סעיף א

משוואת המעגל שמרכזו בנקודה (m, n) כלשהי היא,

(x – m)2 + (y – n)2 = R2

מרכז המעגל מונח על ציר x, לכן נוכל להציב n=0 ולקבל את משוואת המעגל,

(x – m)2 + y2 = R2

ידוע עוד שהמעגל עובר דרך הנקודה (1, 4) והנקודה (-6, 3).
נציב ערכי נקודות אלו במשוואת המעגל ונקבל סט של שתי משוואות עם שני נעלמים,

(1 – m)2 + 42 = R2
(-6 – m)2 + 32 = R2

נפתור את שתי המשוואות ונקבל,

(1 – m)2 + 42 = (-6 – m)2 + 32
(1 – 2m + m2) + 16 = (36 + 12m + m2) + 9
-28 = 14m
m = -2
R = 5

משוואת המעגל היא לכן,

(x + 2)2 + y2 = 25

מעגל זה חותך את ציר x כאשר y=0, נציב ונקבל את שתי הנקודות הבאות,

x2 + 4x + 4 + 0 = 25
x2 + 4x – 21 = 0
x1,2 = 3, -7

קיבלנו שהמעגל הנתון חותר את ציר x בנקודות: (3, 0) ו- (-7, 0).

הארה: את החישוב האחרון ניתן היה לחסוך. הרי ידוע שמרכז המעגל מונחת ב- x=-2. מכיוון שרדיוסו R=5 יהיו שתי נקודות החיתוך עם ציר x מונחות במרחק של 5 יחידות מהמרכז, הראשונה בתוספת 5 (-2+5=3) והשנייה בהפחתה של 5 (-2-5=-7) כשערך y עבור שתיהן הוא כמובן אפס.

סעיף ב

כדי למצוא את שטח המלבן נצטרך למצוא קודם את אורכו ואת רוחבו ואז להכפיל ביניהם.
כדי למצוא את אורך המלבן ואת רוחבו נצטרך למצוא את מיקומי שלושה מקודקודיו.

נשתמש בכל הנתונים הידועים.

נתחיל בכך שהצלע AB עוברת דרך שתי הנקודות (1, 4) ו- (-6, 3) ונבנה את משוואת הישר עבור AB,

y = [(y1-y2)/(x1-x2)]•(x-x1)+y1
y = [(4-3)/(1+6)]•(x-1)+4

פתרון המשוואה ייתן לנו את האפשרות לבטא את מיקום x של שתי הנקודות A ו- B כתלות במיקום y שלהן (או להיפך).

y – 4 = (1/7)•(x-1)
7y – 28 = x – 1
x = 7y – 27
y = (1/7)•x + 27/7

כעת נשתמש בנתון שהמשך הצלע BC עובר דרך נקודת החיתוך הראשונה שמצאנו בסעיף הקודם (3, 0). עבור הנקודה השנייה הנדרשת למשוואת הישר נציב את הקשר בין x ו- y שמצאנו כבר עבור הצלע AB (הרי קודקוד B מקיים קשר זה והוא מונח גם על הצלע BC). נבנה את משוואת הישר הבאה עבור הצלע BC,

y = [(0-yB)/(3-xB)]•(x-3)+0
y = [-yB/(3-(7yB – 27))]•(x-3)
y = [-yB/(3 – 7yB + 27)]•(x-3)
y = [-yB/(30 – 7yB)]•(x-3)

באופן דומה נבנה את משוואת הישר עבור הצלע AD החותכת את ציר x בנקודה השנייה (-7, 0) בה המעגל חותך אותו. כנקודה השנייה של משוואת הישר ניקח את הקודקוד A. נקבל את המשוואה,

y = [(0-yA)/(-7-xA)]•(x+7)+0
y = [-yA/(-7-(7yA – 27))]•(x+7)
y = [yA/(7 + 7yA – 27)]•(x+7)
y = [yA/(7yA – 20)]•(x+7)

מכיוון שמדובר במלבן הצלעות BC ו- AD מקבילות אחת לשנייה. מכאן שהמשוואות המתארות אותן הן בעלות שיפוע זהה. נשווה את השיפועים של שתי משוואות הישרים שמצאנו ונקבל,

-yB/(30 – 7yB) = yA/(7yA – 20)

בנוסף, הצלע AB היא אנכית לשתי הצלעות האחרות במלבן. לכן הכפלה של כל אחד מהשיפועים שמצאנו בשיפוע הצלע AB נותן תוצאה של מינוס אחד. לכן, נוכל להוסיף ולרשום גם את המשוואות,

-yB/(30 – 7yB) • (1/7) = -1
yA/(7yA – 20) • (1/7) = -1

אלו בעצם שתי משוואות עם שני נעלמים שפתרונן,

-yB/(30 – 7yB) = -7
yB = 7•(30 – 7yB)
yB = 210 – 49yB
yB = 21/5

yA/(7yA – 20) = -7
yA = -7•(7yA – 20)
yA = –49yA + 140
yA = 14/5

בעזרת משוואת הישר שמצאנו עבור הצלע AB נוכל למצוא את מיקומי הנקודות A ו- B,

xA = 7yA – 27 = -37/5
xB = 7yB – 27 = 12/5

כעת נוכל לחשב את אורך הצלע AB,

AB = √[(xA-xB)2 + (yA-yB)2] =
√[(-37/5-12/5)2 + (14/5-21/5)2] =
√[(49/5)2 + (-7/5)2] =
√[(2401+49]/5 =
(35•√2)/5 =
7√2

את אורך הצלע BC נמצא על-ידי הפחתה של המרחק של הצלע DC מראשית הצירים, זהו נתון נוסף המסופק בשאלה, מהמרחק של הצלע AB מראשית הצירים, שאותו נחשב כעת.

את המרחק של הצלע AB מראשית הצירים נמצא בעזרת המשוואה למציאת המרחק של נקודה P0 כלשהי מישר,

d = |(ax0 + by0 + c) / √(a2 + b2)|

משוואת הישר שלנו (הצלע AB) היא,

y = (1/7)•x + 27/7

ואחרי סידור איברים נעביר אותה למשוואת הישר הבאה,

(1/7)•x – y + 27/7 = 0

והנקודה P0 היא ראשית הצירים.
נציב ונקבל,

d = |(0 + 0 + 27/7) / √((1/7)2 + (-1)2)| =
|(27/7) / √(50/49)| =
(27/7) / (5√2/7) =
(27) / (5√2) =
27 / (5√2)

נחסיר מערך זה את המרחק של DC מהראשית שהוא נתון להיות √2 ונקבל שאורך הצלע BC הוא,

27 / (5√2) – √2 =
(27 – 10) / (5√2) =
17 / (5√2) =
1.7•√2

נכפיל את אורכי שתי הצלעות שמצאנו ונקבל ששטח המלבן הוא,

S = (7√2)•(1.7•√2) = 23.8

[לשאלה הבאה]

[ עמוד ראשי - מבחני בגרות במתמטיקה 5 יחידות-לימוד - 2016 חורף מועד א', חלק שני : שאלה 1 | שאלה 2 | שאלה 3 | שאלה 4 | שאלה 5 ]