headline
Error processing SSI file




חוקי תורת הגבול


חוק הגבול הראשון

אם ערכה של פונקציה f(x) שווה לערכה של הפונקציה g(x) עבור כל ערך של x, פרט אולי עבור x=a, אזי מתקיים ששתי הפונקציות שואפות לאותו גבול עבור x=a. ננסח זאת גם כך,

lim f(x) = lim g(x)
x→a         x→a        

דוגמה 1
נתונות שתי הפונקציות הבאות,

┌                                        
│            x≠1: (x2 – 4)       
│f(x) =                               
│            x=1: 0                 
└                                       
┌                                         
│            x≠1: (x2 – 4)         
│g(x) =                               
│            x=1: 4                   
└                                         

שתי הפונקציות שוות בערכיהן עבור כל ערך של x, למעט x=1. לכן, הגבול אליו שואפות הפונקציות עבור x=1 הוא זהה.

דוגמה 2

נתונות שתי הפונקציות הבאות,

f(x) = (√x)2
g(x) = |x|

שתי הפונקציות שוות בערכיהן עבור כל ערך של x, ואף גם עבור x=1. לכן, הגבול אליו שואפות הפונקציות עבור x=1 הוא זהה.

חוק הגבול השני

ניתן להעביר את כל הפעולות המתמטיות השונות לתוך ומחוץ לתחום פעולת הגבול כל עוד חלק הביטוי המכיל את הנעלם x נשאר תחום בפעולת הגבול וכל עוד לא מבוצעת פעולת חלוקה באפס. באופן כללי ניתן בפשטות לומר שלפעולת הגבול "אין גבולות".

א. ניתן להוציא הכפלה בקבוע k אל מחוץ לפעולת הגבול,

lim (k•f(x)) = k•lim(f(x))
x→a                  x→a       

דוגמה 3

לדוגמה נחשב את הגבול הבא,

lim (5•(x2 – 1)/(x – 1)) =
x→1                                  
5•lim (x2 – 1)/(x – 1) =
x→1                         
5•lim (x – 1)•(x + 1)/(x – 1) =
x→1                                 
5•lim (x + 1) =
x→1           
5•2 = 10

ב. ניתן לפרק פעולת גבול על חיבור/חיסור/כפל או חילוק של שתי פונקציות לשתי פעולות גבול נפרדות,

lim (f(x) + g(x)) = lim (f(x)) + lim (g(x))
x→a                      x→a            x→a        

lim (f(x) – g(x)) = lim (f(x)) – lim (g(x))
x→a                      x→a            x→a        

lim (f(x) • g(x)) = lim (f(x)) • lim (g(x))
x→a                      x→a          x→a          

lim (f(x) / g(x)) = lim (f(x)) / lim (g(x))
x→a                      x→a          x→a          
פיצול פעולת החילוק היא חוקית בתנאי שהגבול אליו שואפת הפונקציה g(x) בנקודה x=a הוא שונה מאפס.

דוגמה 4

לדוגמה נחשב את הגבול הבא,

lim (1/x + x/(1 – x)) =
x→0                            
lim (1/x) + lim (x/(1 – x)) =
x→0           x→0                   
∞ + 0 =


ג. ניתן להוציא פעולות העלאה בחזקה והוצאת שורש אל מחוץ לפעולת הגבול,

lim (f(x))n = [lim (f(x))]n
x→a              x→a           

lim n√(f(x)) = n√[lim (f(x))]
x→a                    x→a        

הוצאת פעולת השורש היא חוקית בתנאי שעבור n זוגי הגבול אליו שואפת הפונקציה f(x) בנקודה x=a הוא אי-שלילי.

דוגמה 5

לדוגמה נחשב את הגבול הבא,

lim ((4x2 – 4)/(x + 1))3 =
x→-1                                
[lim 4•(x2 – 1)/(x + 1)]3 =
x→-1                               
[4•(lim (x – 1)•(x + 1)/(x + 1))]3 =
x→-1                                  
[4•(lim (x – 1))]3 =
x→-1            
[4•(-2)]3 =

(-8)3 =

-512

ד. ניתן להוציא פעולת לוגריתם אל מחוץ לפעולת הגבול,

lim (logb(f(x))) = logb([lim (f(x))]
x→a                              x→a         

דוגמה 6

לדוגמה נחשב את הגבול הבא,

lim (log4(x6/(5 – x2))) =
x→2                                 
log4(lim (x6/(5 – x2))) =
x→2                
log4(lim (64/1)) =
x→2       
log4(64) =

3

חוק הגבול השלישי
לא לכל פונקציה קיים גבול עבור הנעלם x השואף לערך מסוים. הגבול קיים אם ורק אם הפונקציה שואפת לאותו ערך גם כאשר מתקרבים לערך x מלמעלה וגם כאשר מתקרבים לערך x מלמטה. התקרבות לערך x מלמעלה משמעה התקרבות לערך x מתחום הערכים הגבוה מ- x, כאשר הערכים הולכים וקטנים לקראת הערך x. ההתקרבות לערך x מלמעלה מסומנת כ- x+. התקרבות לערך x מלמטה משמעה התקרבות לערך x מתחום הערכים הנמוך מ- x, כאשר הערכים הולכים וגדלים לקראת הערך x. ההתקרבות לערך x מלמטה מסומנת כ- x-. נגדיר חוק זה כך,

lim f(x) = lim f(x)
x→n+       x→n-      

כלומר, במקרה בו לפונקציה מוגדרת התנהגות שונה בין התקרבות לערך ההצבה של x מהצד העליון להתקרבות מהצד התחתון יש למצוא את הערך אליו שואפת הפונקציה להגיע מכל צד ולדרוש שוויון ביניהם כדי שיתקיים גבול מוגדר.

דוגמה 7

נמצא את הגבול עבור x=0 של הפונקציה הבאה,

f(x) = x + 1/x

נמצא את הגבול אליו שואפת הפונקציה כאשר x שואף לאפס מהצד העליון,

lim (x + 1/x) = ∞
x→0+                  

נמצא את הגבול אליו שואפת הפונקציה כאשר x שואף לאפס מהצד התחתון,

lim (x + 1/x) = -∞
x→0-                    

קיבלנו אי-שוויון בין שתי הגבולות, לכן לא מוגדר ערך גבול לפונקציה עבור x=0.

דוגמה 8

נמצא את הגבול עבור x=3 של הפונקציה הבאה,

┌                                
│              x>3: x2 + 2
│f(x) =      x=3: 10     
│                x<3: x2     
└                                

כאן, לפי הגדרת הפונקציה שלעיל, שונה התנהגות הפונקציה כאשר היא מתקרבת למספר 3 מהצד העליון מהתנהגות הפונקציה כאשר היא מתקרבת למספר 3 מהצד התחתון.

נחשב את הערך או הגבול אליו שואפת הפונקציה עבור x=3+ (כלומר כאשר x מתקרב לערך 3 מהצד העליון),

lim f(x) = x2 + 2 = 9 + 2 = 11
x→3+                                     

נחשב את הערך או הגבול אליו שואפת הפונקציה עבור x=3- (כלומר כאשר x מתקרב לערך 3 מהצד התחתון),

lim f(x) = x2 = 9
x→3-                 

מכיוון שעבור הפונקציה שלעיל התקבלו שני ערכים שונים אזי אין הפונקציה מתכנסת לערך מסוים אחד. לכן אין לפונקציה גבול מוגדר עבור x השואף לערך 3.

דוגמה 9

נמצא את הגבול עבור x=2 של הפונקציה הבאה,

┌                             
│           x≥2: x2 + 1
│f(x) =                     
│           x<2: 2x + 1
└                             


נמצא את הגבול אליו שואפת הפונקציה כאשר x שואף ל- 2 מהצד העליון,

lim (x2 + 1) = 5
x→2+                 

נמצא את הגבול אליו שואפת הפונקציה כאשר x שואף ל- 2 מהצד התחתון,

lim (2x + 1) = 5
x→2-                 

קיבלנו שוויון בין שתי הגבולות, לכן קיים ערך גבול לפונקציה עבור x=2 והוא שווה לערך הגבולות שנמצאו, כלומר 5.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי : מבוא לתורת הגבול | תורת הגבול | חוקי תורת הגבול | הדיפרנציאל - שיפוע הפונקציה | הנגזרת - נקודות קיצון מקומיות | הנגזרת - נקודת פיתול | הנגזרת - חוק השרשרת | הנגזרת - חוק המכפלה | הנגזרת - חוק המנה | הנגזרת - פונקציות טריגונומטריות | הנגזרת - פונקציה סתומה | אינטגרל - מבוא | אינטגרל - כללי הסכימה | אינטגרל - סכימה בעזרת משתנה ביניים | אינטגרל - סכימה בהחלפה | אינטגרל - סכימה בחלקים | אינטגרל - חישוב שטחים כלואים | אינטגרל - חישוב נפחים כלואים | אינטגרל - פתרון משוואות דיפרנציאליות | אינטגרל - שיערוך בעזרת שיטת הטרפז ]