headline
Error processing SSI file




היסודות של הנדסת המישור


אוקלידס היה מתמטיקאי יווני מפורסם שחי במאה הרביעית לפנה"ס. אוקלידס למד הנדסה (גיאומטריה), כתב וסיכם את כל הידוע במקצוע זה בתקופתו בסדרת כרכים. בין כתביו הוא הגדיר וקבע חמישה יסודות שהן הבסיס להנדסת המישור.

חמישה יסודות אלו, אותן בחר והגדיר אוקלידס, הם חמישה משפטים שאמיתותם מקובלת ללא צורך בהוכחה. משפט שידוע כנכון ללא צורך בהוכחה נקרא בשם אקסיומה. מספר מצומצם זה של אקסיומות מהווה את הבסיס שעל פיו ניתן, כך לפי אוקלידס, להוכיח כל משפט אחר הנדרש להוכחה. חמשת יסודות אלו מהווים את הבסיס שעליו מתקיים עולם שלם של משפטים. חמשת יסודות אלו הכרחיים כולם ולא ניתן להוכיח אף אחד מהם על בסיס קיומם של ארבעת האחרים. חמשת היסודות ההכרחיים הללו נקראים בלעז אלמנטים.

אקסיומת הישר

היסוד הראשון שקבע אוקלידס הוא:

"בין כל שתי נקודות עובר קו ישר אחד (בלבד)"

האלמנט הראשון

האלמנט הראשון



כאמור, לא ניתן להוכיח את נכונות משפט זה ויש לקבל את נכונותו כמובנת מאליה. בין שתי נקודות ניתן להעביר אינספור קווים עקומים שונים, אך ברור לנו, מבלי שנזדקק להוכחה לכך, שניתן להעביר דרכם רק קו ישר אחד.

אקסיומת הרחבת מקטע ישר

היסוד השני שקבע אוקלידס הוא:

"כל קטע ישר ניתן להאריך לקטע ישר ארוך יותר"

למשל, בהינתן קטע קצר AB, ניתן להאריכו בקצהו האחד לקטע AD, להאריכו בקצהו השני לקטע BC או להאריכו בשני קצותיו לקטע CD.

האלמנט השני

האלמנט השני


בכל מקרה, הקטע הקצר יותר AB מתלכד עם הקטע המוארך. אוסף הנקודות האינסופי של קטע AB נכלל באוסף הנקודות האינסופי של הקטע הארוך יותר והכולל את AB.

אקסיומת המעגל

היסוד השלישי שקבע אוקלידס הוא:

"ניתן להגדיר במישור מעגל בכל גודל ושמרכזו בכל נקודה במרחב"

האלמנט השלישי

האלמנט השלישי



בצורת המעגל נתון בהרחבה בהמשך בפרקים מאוחרים יותר.

אקסיומת הזווית הישרה

היסוד הרביעי שקבע אוקלידס הוא:

"כל הזוויות הישרות הן זהות"

האלמנט הרביעי

האלמנט הרביעי



משפט זה נראה כמשפט מובן מאליו שאין צורך בכלל להגדירו. אך הוא הכרחי לצורך השוואות גדלי זוויות בין צורות שונות.

אוקלידס נהג למנות את גודלן של זוויות לפי גודלה של זווית ישרה. למשל, זווית שטוחה כונתה אצל אוקלידס זווית שגודלה כשתי זוויות ישרות. זווית של 45º כונתה אצל אוקלידס כזווית שגודלה כמחצית גודלה של זווית ישרה. לכן, כשאוקלידס קובע שכל הזוויות הישרות הן זהות הוא למעשה בעקיפין קובע גם שכל הזוויות האחרות שלהן גודל יחסי לזווית ישרה גם הן זהות לזוויות אחרות בעלות אותו גודל יחסי לזווית ישרה.

אקסיומת המקבילים

היסוד (האלמנט) החמישי שקבע אוקלידס הוא:

"אם קו ישר החותך שני ישרים יוצר שתי זוויות פנימיות באותו הצד כך שסכומן קטן מ- 180º, אזי שני הישרים, אם יוארכו עד לאינסוף, יחתכו באותו הצד"

האלמנט החמישי

האלמנט החמישי



משפט זה בולט באריכותו ובמורכבותו לעומת ארבעת המשפטים הקודמים לו. מסיבה זו חשבו מתמטיקאים רבים לאחר תקופתו של אוקלידס כי משפט זה אינו אקסיומה וכי ניתן להוכיח אותו בעזרת ארבעת המשפטים הקצרים והברורים שלפניו. ניסיונות להוכיח משפט זה נכשלו כולם והוא מוכר כאלמנט החמישי והאחרון במישור כפי שהוגדר על-ידי אוקלידס – המישור האוקלידי.

הסבר על אקסיומה חמישית זו מופיע מיד בהמשך.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | הנדסת המישור : מבוא | מושגים בסיסיים | היסודות של הנדסת המישור | חיתוך שני ישרים | שני ישרים מקבילים | המצולע | המשולש | משפחת המרובעים | חישובי היקף ושטח | המעגל והעיגול | משולשים חופפים | יחס ופרופורציה של קטעים | משפט תאלס | יחס הזהב | דמיון משולשים | רשימת משפטים בהנדסה ]