headline
Error processing SSI file




בחירה עם חשיבות לסדר ועם החזרות


בדוגמה הקודמת חילק שמעון שני כדורים, אחד לכל בן. חלוקה זו הייתה חלוקה ללא החזרות. כלומר, הבן הבכור קיבל את הכדור שחולק ראשון ולא החזיר אותו בחזרה לשמעון לפני שזה בחר איזה כדור שני לתת לבנו הצעיר. בבחירה ללא החזרות כל עצם יכול להיבחר רק פעם אחת.

קיימת אפשרות חלוקה ובחירה מסוג אחר – בחירה עם החזרות. בבחירה עם החזרות מוחזר העצם הנבחר לקבוצה הכללית לפני עריכת הבחירה הבאה. כך יכול כל עצם להיבחר כל פעם מחדש, גם אם נבחר כבר באחת הבחירות הקודמות.

שמעון לא רצה שבנו הצעיר ירגיש מקופח. לכן הוא החליט להציג בפני בנו הבכור את חמשת הכדורים כדי שיוכל לבחור אחד מהם, אך מבלי לקחת אותו בפועל. לאחר-מכן הציג שמעון את כל חמשת הכדורים גם לבנו הצעיר כדי שדם הוא יוכל לבחור אחד מהם ללא הגבלה וללא תלות במה שבחר אחיו. רק במקרה ששניהם ירצו את אותו הכדור יצטרך שמעון להחליט כיצד לפעול. מהן אפשרויות החלוקה של חמשת הכדורים בין שני הבנים בסוג חלוקה זה?

הפתרון הוא פשוט מאוד.

הבן הבכור רואה לפניו את כל חמשת הכדורים. לכן, מספר אפשרויות הבחירה שלו הוא חמש.
גם הבן הצעיר רואה לפניו את כל חמשת הכדורים. לכן, גם מספר אפשרויות הבחירה שלו הוא חמש.

סך מספר מגוון אפשרויות הבחירה של שני הבנים יחד הוא,

5 • 5 = 52 = 25

למעשה, אם לשמעון היו יותר משני בנים, הרי שכל בן היה מכפיל את מספר האפשרויות במספר העצמים לחלוקה. גם כאן כל אפשרות חלוקה נקראת בשם חליפה.

ננסח משפט באופן כללי. לבחירה עם חשיבות לסדר ועם החזרות של k עצמים מתוך n עצמים יש nk חליפות שונות.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | הסתברות וקומבינטוריקה : ייצוג הסתברות בעזרת שברים | חיבור הסתברויות | הכפלת הסתברויות | עץ הסתברויות | עצרת | סידור n עצמים | בחירה עם חשיבות לסדר וללא החזרות | בחירה עם חשיבות לסדר ועם החזרות | בחירה ללא חשיבות לסדר וללא החזרות | סיכום כללי הקומבינטוריקה | מקדם הבינום | משולש פסקל | הבינום של ניוטון ]