headline
Error processing SSI file




בעיות עם אחוזים


נזכיר שאחוז היא צורת ייצוג נוספת אחרת של חלק יחסי מתוך שלם.

הקבוצה השלימה המיוצגת על-ידי שבר בעזרת המספר 1 (או השבר 1/1) מיוצגת בסולם האחוזים בעזרת המספר 100 המלווה בסימן האחוז. מכאן ש-
• יחידה של אחוז אחד שווה לשבר 1/100
• כדי להמיר חלק יחסי מייצוג של שבר חסר יחידות לייצוג של מספר ביחידות של אחוזים יש להכפיל את השבר ב- 100.
• כדי להמיר חלק יחסי מייצוג של מספר ביחידות של אחוזים לייצוג של שבר חסר יחידות יש לחלק את המספר ב- 100.

לדוגמה,

חצי כיכר לחם = 1/2 כיכר לחם = 50% כיכר לחם
שמינית עוגה = 1/8 עוגה = 12.5% עוגה
שליש מהתלמידים =1/3 מהתלמידים = 33.33% מהתלמידים

בעיות הכוללות ייצוג של חלק יחסי בעזרת סולם של אחוזים דומות מאוד לבעיות הכוללות ייצוג של חלק יחסי בעזרת שברים.

הנה מספר דוגמאות לבעיות הכוללות שימוש באחוזים.

דוגמה ראשונה

בכיתה ישנם 36 תלמידים. אחוז הבנים בכיתה גדול ב-25% מאחוז הבנות בה. כמה בנים יש בכיתה?

כדי לפתור את הבעיה נמלא את הטבלה הבאה,

 מספר בניםמספר בנותסה"כחלק הבניםחלק הבנות
כיתה  36  

נסמן דווקא את מספר הבנות כנעלם x. נוח יותר לבחור במספר הבנות כנעלם x, למרות שמספר הבנים הוא הנעלם המבוקש. נשלים את הטבלה בהתאם ונקבל,

 מספר בניםמספר בנותסה"כחלק הבניםחלק הבנות
כיתה36 – xx36(36-x)/36x/36

(36-x)/36 = (1 + 25%) • x/36
(36-x)/36 = (1 + 25/100) • x/36
(36-x)/36 = 1.25 • x/36
36 – x = 1.25x
36 = 2.25x
x = 16

מספר הבנות בכיתה הוא 16 ומספר הבנים הוא 20.

דוגמה שנייה

37.5% מחברי הכנסת ו- 50% מחברות הכנסת הצביעו נגד הצעת חוק מסוימת. מספר חברי הכנסת המתנגדים לחוק גדול ב- 24 ממספר חברות הכנסת המתנגדות לחוק. מהו מספר חברות הכנסת בכנסת הנוכחית אם ידוע שסך מספר חברי וחברות הכנסת הוא 120?

נסמן בנעלם x את מספר חברות הכנסת שהתנגדו להצעת החוק.

 חברי כנסתחברות כנסתסה"כחלק חברי הכנסתחלק חברות הכנסת
המתנגדיםx+24x2x+24  
סך הכנסת   120 

נוסיף לטבלה את חישוב מספר חברי וחברות הכנסת. מספר החברים בכל קבוצה מתקבל מחלוקת מספר המתנגדים בכל קבוצה בחלקם מתוך כלל הקבוצה,

 חברי כנסתחברות כנסתסה"כחלק חברי הכנסתחלק חברות הכנסת
קבוצת המתנגדיםx+24x2x+24  
סך הכנסת(x+24)/ 37.5%x/50%120  

מתוך הטבלה נוכל לבנות את המשוואה הבאה,

(x+24)/37.5% + x/50% = 120
(x+24) : 37.5/100 + x : 50/100 = 120
(x+24) • 100/37.5 + x • 100/50 = 120
(x+24) • 8/3 + 2x = 120

נכפיל כל אגף במשוואה ב-3 ונקבל,

8x + 192 + 6x = 360
14x = 168
x = 12

12 חברות כנסת התנגדו להצעת החוק מתוך 24 חברות הכנסת המכהנות בה.

דוגמה שלישית

ההנחה שניתנה למחירו של מוצר מהווה 25% ממחירו החדש לאחר ההנחה. מהו אחוז ההנחה?

מחיר חדש = x
הנחה = x/4
מחיר קודם = x + x/4 = 5x/4
הנחה היא = x/4 : 5x/4 = x/4 * 4/5x = 4/20 = 20%

ביום עסקים מוצלח אחד מכר שמעון אחוז גדול מסחורתו. כמות הסחורה שנמכרה שווה ל- 20% מהסחורה שנותרה בחנותו בסוף היום. כמה אחוזים מהסחורה שהייתה בחנותו בתחילת היום מכר שמעון?

כדי לפתור את הבעיה ניעזר בטבלה הבאה. נסמן בנעלם x את כמות הסחורה שנותרה בחנות בסוף היום. נקבל,

 כמות
כמות סחורה בתחילת היום 
כמות הסחורה שנמכרה20% • x
כמות סחורה בסוף היוםx

כמות הסחורה שהייתה בתחילת היום היא כמובן חיבור כמות הסחורה שנמכרה עם כמות הסחורה שנותרה,

 כמות
כמות סחורה בתחילת היום20% • x + x
כמות הסחורה שנמכרה20% • x
כמות סחורה בסוף היוםx

אחוז הסחורה שנמכרה מתוך סך הסחורה שהייתה בחנות בתחילת היום היא,

20% • x / (20% • x + x)

את ערכו של כל ביטוי הכולל ייצוג באחוזים ניתן לחשב בשתי דרכים.

דרך 1

המרת הערכים המיוצגים ביחידות של אחוזים לשברים חסרי יחידות.

20% • x / (20% • x + x) =
0.2 • x / (0.2 • x + x) =
0.2 • x / 1.2 • x = 0.2 / 1.2 =
1/ 6 =
16.67%

דרך 2

שמירה על הייצוג באחוזים.
בדרך זו יש להקפיד ולהיזהר מביצוע פעולות חיבור ואו חיסור בין מספר המיוצג באחוזים לבין מספר שאינו מיוצג באחוזים. במקרים אלו יש להמיר ליחידות של אחוזים (על-ידי הכפלה ב- 100) את המספר או הביטוי שאינו ביחידות של אחוזים. ניתן לראות את המספר או הביטוי שאינו ביחידות של אחוזים כמי שמוכפל בשבר חסר היחידות של 1/1.

20% • x / (20% • x + x) =
20% • x / (20% • x + 1/1 • x) =
20% • x / (20% • x + 100% • x) =
20% • x / (120% • x) =
20% / 120% =
1/6 =
16.67%

הערה: שיטה זו מסוכנת יותר כי היא מהווה מקור לטעויות ולכן פחות מומלצת.

דוגמה רביעית

ירקן קנה סחורה ב- 2,000 שקלים. הירקן מכר 600 ק"ג ירקות בהפסד של 20% ואת שאר הירקות בדוכנו מכר ברווח של 16%. כמה ק"ג ירקות מכר הירקון סך הכול אם סיים את יום העבודה ברווח של 212 שקלים?

נסמן בנעלם x את כמות הירקות בק"ג שמכר הירקן ברווח.

 כמותרווח/הפסד (%)
ירקות שנמכרו בהפסד600-20%
ירקות שנמכרו ברווחx+16%
סך הכול600 + x  

עבור 600+x ק"ג ירקות שילם הירקן 2,000 שקלים. לכן, עבור ק"ג ירקות אחד שילם הסוחר,

2,000 / (600+x)

עבור 600 ק"ג ירקות שילם הסוחר,

600 • 2,000 / (600+x) =
1,200,000 / (600+x)

על קניית חלק זה מהסחורה הפסיד הירקן 20% שערכם בשקלים הוא,

20% • 1,200,000 / (600+x) =
20/100 • 1,200,000 / (600+x) =
240,000 / (600+x)

מנגד, הרוויח הירקן 16% על סחורה במשקל של x ק"ג. רווח זה בשקלים הוא,

16% • x • 2,000 / (600+x) =
16/100 • x • 2,000 / (600+x) =
320x / (600+x)

אם נחסיר מרווח זה את ההפסד נקבל שבסופו של דבר הרוויח הירקן 212 שקלים. מנתון זה נוכל לבנות את המשוואה הבאה,

320x / (600+x) – 240,000 / (600+x) = 212

נכפיל את שני אגפי המשוואה בביטוי 600+x. נקבל,

320x – 240,000 = 212•(600+x)
320x – 240,000 = 127,200 + 212x
108x = 367,200
x = 3,400

סך הכול קנה ומכר הירקן 4,000 ק"ג ירקות.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | בעיות מילוליות : בעיות תערובת | בעיות שברים | בעיות אחוזים | בעיות תנועה | בעיות הספק ]