בעיות עם שברים

החלק היחסי מייצג את גודלה של קבוצה חלקית בהשוואה לגודל הקבוצה המלאה שמתוכה היא נבחרה. אם ידועים גודלה של הקבוצה החלקית וגודלה של הקבוצה המלאה ניתן לחלק את הערך הראשון בשני ולקבל את החלק היחסי שמהווה הקבוצה החלקית מתוך הקבוצה המלאה.

למשל אם בכיתה ישנם 36 תלמידים ומתוכם בוחרים קבוצה חלקית של 18 תלמידים אזי חלקה היחסי של הקבוצה מתוך כלל הכיתה היא,

18 / 36 = 1/2

כלומר, חלקה היחסי של הקבוצה הוא 1/2 מכלל הכיתה. במילים אחרות הקבוצה שנבחרה מהווה מחצית מתלמידי הכיתה.

דוגמה נוספת, אם בבניין מתגוררים 50 דיירים ומתוכם נבחר וועד-בית הכולל 5 דיירים, אז מהו חלקם היחסי של חברי וועד-הבית מתוך כלל הדיירים בבניין?

חלקם היחסי של חברי וועד-הבית הוא 1/10 (עשירית) מתוך כלל דיירי הבניין. הנה כך,

5/50 = 1/10

החלק היחסי המיוצג בשבר מבטא תמיד יחס בין שתי קבוצות. הקבוצה המלאה הנמצאת במכנה השבר וקבוצה חלקית הנבחרת מתוך הקבוצה המלאה והנמצאת במונה המכנה,

קבוצה חלקית
                      ───────── = החלק היחסי
קבוצה מלאה

מהו חלקן היחסי של 3 פרוסות עוגה מתוך עוגה הנפרסת ל-8 פרוסות בסך הכל?
התשובה היא 3/8.

מהו חלקו היחסי של חצי כיכר לחם (אחד) מתוך כיכר לחם הנחצה לשני חצאים?
התשובה היא 1/2.

הקבוצה החלקית אינה חייבת להיות מספר שלם. למשל, מהו חלקן היחסי של ½4 חפיסות שוקולד מתוך מארז של 18 חפיסות שוקולד?
התשובה היא,

4½     9/2         9           9        1    
── = ── = ──── = ─── = ───
18     18       2•18        36        4    

גם הקבוצה המלאה אינה חייבת להיות מספר שלם. למשל, מהו חלקן היחסי של ½4 חפיסות שוקולד מתוך ½13 חפיסות שוקולד?
התשובה היא,

4½ : 13½ =

9/2 : 27/2 =

נזכיר שפעולת חלוקה של שבר בשבר זהה לפעולת הכפלה של השבר השמאלי בהופכי של השבר הימני. לכן, נקבל,

   9     27  
    ── : ── =
   2      2  

   9     2  
    ── • ── =
   2     27  

     9 • 2         9       1
    ───── = ── = ─
     2 • 27        27    3

את הכלל המשמש לחישוב החלק היחסי ניתן להפעיל גם בכיוון הפוך. למשל, בהינתן החלק היחסי והכמות הכוללת ניתן למצוא את הכמות החלקית. הכפלה של הכמות הכוללת בחלק היחסי תיתן את גודלה המספרי של הקבוצה החלקית.

למשל, בכיתה בה 30 תלמידים נבחר וועד-כיתה. חברי הוועד מהווים 1/6 מכלל תלמידי הכיתה. כמה תלמידים חברים בוועד-הכיתה?
התשובה,

30 • 1/6 =
30/6 = 5

ניתן להפעיל את הכלל המקורי גם בכיוון הפוך אחר. בהינתן החלק היחסי והכמות החלקית ניתן למצוא את הכמות הכוללת. חלוקה של הכמות החלקית בחלק היחסי תיתן את גודלה המספרי של הקבוצה המלאה.

למשל, בבניין מגורים נבחר וועד-בית בו חברים 8 מדיירי הבניין. ידוע שחברי וועד-הבית מהווים 2/15 מדיירי הבניין. כמה דיירים גרים בבניין?
התשובה,

2   
8 : ── = 60
15   

15   
8 • ── = 60
2   

נסכם את שלושת הכללים לחישובים הכוללים חלק יחסי:

כמות חלקית                  
─────── = חלק יחסי
כמות מלאה                  

כמות מלאה • חלק יחסי = כמות חלקית

כמות חלקית                    
─────── = כמות מלאה
חלק יחסי                    

להלן מספר דוגמאות לבעיות הכוללות חישובים עם חלק יחסי.

דוגמה ראשונה

אימא פרסה כיכר לחם ל-20 פרוסות. לצורך הכנת כריכים היא השתמשה ב-4 פרוסות. מהו החלק היחסי מכיכר הלחם בו השתמש אימא להכנת הכריכים?

תשובה: יש למצוא מהו חלקן היחסי של 4 פרוסות מתוך 20 פרוסות. לשם כך נחלק את הכמות החלקית בכמות המלאה. נקבל,

4 / 20 = 1/5

אימא השתמשה ב- 1/5 (חמישית) מכיכר הלחם לצורך הכנת הכריכים.

דוגמה שנייה

ראובן נתן לאחיו רבע מסך 28 הגולות שברשותו. כמה גולות נתן ראובן לאחיו?

תשובה: יש למצוא כמה גולות ישנן בקבוצה החלקית המהווה רבע (1/4) מהכמות המלאה של 28 גולות. נקבל,

28 • 1/4 = 7

ראובן נתן לאחיו 7 גולות.

דוגמה שלישית

גלית פתחה 3 מתנות מאריזתן המהוות שישית מסך כל המתנות שקיבלה ליום-הולדתה. כמה מתנות קיבלה גלית ליום-הולדתה?

תשובה: יש למצוא מהי הכמות המלאה שקבוצה חלקית בת 3 פריטים מהווה שישית (1/6) ממנה. נקבל,

3 : 1/6 = 3 • 6/1 = 18

גלית קיבלה 18 מתנות ליום-הולדתה.

דוגמה רביעית

על המדף התחתון נמצאים 6 ספרים יותר מאשר על המדף העליון. המדף התחתון מכיל 3/5 מכמות הספרים הנמצאת על שני המדפים. כמה ספרים נמצאים על כל מדף?

כדי לפתור בעיות מורכבות יותר רצוי להשתמש בטבלה המציגה באופן ברור את נתוני הבעיה. נבנה את הטבלה הבאה:

-	מספר ספרים	חלק יחסי
מדף עליון
מדף תחתון
סה"כ

נסמן בעזרת הנעלם x את מספר הספרים במדף העליון. נמלא את הטבלה בעזרת הנעלם x,

-	מספר ספרים	חלק יחסי
מדף עליון	x	x/(2x+6)
מדף תחתון	x+6	(x+6)/(2x+6)
סה"כ	2x+6

ידוע שעל המדף התחתון נמצאים 3/5 מהספרים. נקבל את המשוואה הבאה:

(x+6)/(2x+6) = 3/5
5•(x+6) = 3•(2x+6)
5x+30 = 6x+18
12 = x
x = 12

על המדף העליון נמצאים 12 ספרים ועל המדף התחתון נמצאים 18 ספרים.

דוגמה חמישית

בנמל חיפה עוגנות בממוצע שנתי 4/9 מסך ספינות המשא שעוגנות בשלושת נמלי הארץ. בנמל אשדוד עוגנות מידי שנה 600 ספינות משא יותר מאשר בנמל אילת. מספר ספינות המשא שעוגנות בנמל אילת מידי שנה מהווה 2/7 ממספר ספינות המשא שעוגנות באשדוד ובחיפה יחד. מספר ספינות המשא העוגנות בנמל אשדוד מידי שנה הוא 3/4 ממספר ספינות המשא העוגנות בנמל חיפה. כמה ספינות משא עוגנות בשלושת ערי הנמל יחד מידי שנה?

לפתרון הבעיה ניעזר בטבלה הבאה.

-	מספר ספינות	חלק יחסי
חיפה
אשדוד
אילת

נבחר במספר ספינות המשא שעוגנות באילת כנעלם x. נמלא את הטבלה בהתאם,

-	מספר ספינות	חלק יחסי
חיפה		4/9
אשדוד	x+600
אילת	x

ידוע שמספר ספינות המשא שעוגנות באילת מהווה 2/7 מסך ספינות המשא שעוגנות בחיפה ובאשדוד. אם נחלק את הכמות החלקית של מספר הספינות שעוגנות באילת, x, בחלק היחסי שהן מהוות, 2/7, נקבל את הכמות הכוללת של ספינות משא שעוגנות בחיפה ובאשדוד,

x : 2/7 =
x • 7/2 =
7x/2

נחסיר מכמות זו את מספר ספינות המשא שעוגנת באשדוד, שהיא x+600, ונקבל שמספר ספינות המשא העוגנות בחיפה הוא,

7x/2 – (x+600) =
5x/2 – 600

ידוע גם שמספר ספינות המשא העוגנות בנמל אשדוד הוא 3/4 ממספר הספינות העוגנות בנמל חיפה. מתוך יחס כמותי זה נוכל למצוא ביטוי חשבוני נוסף לסך מספר ספינות המשא העוגנות בחיפה מידי שנה,

(x+600) : 3/4 =
(x+600) • 4/3

נשווה בין שני הביטויים החשבוניים שהתקבלו עבור מספר ספינות המשא העוגנות בנמל חיפה ונקבל את המשוואה הבאה,

5x/2 – 600 = (x+600) • 4/3

נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-6 ונקבל,

15x – 3,600 = 8x + 4,800
7x = 8,400
x = 1,200

מכאן נוכל לחשב את מספר ספינות המשא העוגנות מידי שנה בכל נמל-

בנמל אילת = 1,200
בנמל אשדוד = 1,800
בנמל חיפה = 2,400

בסך הכול, בשלושת ערי הנמל עוגנות מידי שנה 5,400 ספינות משא.

דוגמה שישית

לראובן עדר בו מספר הפרות קטן ב- 30 ממספר הכבשים בעדר של שמעון. גנבים פשטו בלילה על עדר הכבשים של שמעון וגנבו לו 4/9 מעדר הכבשים שלו. גם חלק מעדר הפרות של ראובן נגנב והוא איבד 1/6 מעדר הפרות שלו. כמה כבשים היו לשמעון אם ידוע שמספר הפרות שנותרו לראובן שווה למספר הכבשים שנותרו לשמעון?

כדי לפתור את הבעיה ניעזר בטבלה הבאה,

סוג הפריט	מספר הפריטים שנשארו	חלק יחסי
כבשים	x	5/9
פרות	x	5/6

בטבלה מופיעים נתונים המתייחסים למצב אחרי אירועי הגניבות.

מספר הכבשים בעדר של שמעון לפני הגניבה הוא,

x : 5/9 =
9x/5

מספר הפרות בעדר של ראובן לפני הגניבה הוא,

x : 5/6 =
6x/5

ידוע שמספר הפרות שהיו לראובן לפני הגניבה קטן ב- 30 ממספר הכבשים שהיו לשמעון לפני הגניבה. לכן נוכל לבנות את המשוואה הבא,

9x/5 – 6x/5 = 30
9x – 6x = 150
3x = 150
x = 50

נציב את ערכו של x בביטוי החשבוני המייצג את מספר הכבשים של שמעון ונקבל שמספר הכבשים בעדר של שמעון לפני הגניבה הוא,

9x/5 = 9•50/5 = 90

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | בעיות מילוליות : בעיות תערובת | בעיות שברים | בעיות אחוזים | בעיות תנועה | בעיות הספק ]