מטוטלת מתמטית

דוגמה אחת נפוצה לתנועה הרמונית פשוטה היא המטוטלת המתמטית, הנקראת גם מטוטלת פשוטה.

המטוטלת המתמטית היא משקולת בעלת מסה התלויה בקצהו החופשי של חוט חסר מסה ושאינו נמתח, אשר קשור לנקודה בקצהו האחר. בנקודת שיווי-המשקל של המטוטלת נמצא החוט במצב אנכי. נסיט את המשקולת בזווית קטנה θ מנקודת שיווי-משקל זו.

מטוטלת מתמטית

הסטת הגוף הצידה ומעלה מקנה לו אנרגיה פוטנציאלית. כאשר נשחרר את הגוף המוסט הוא ינוע מטה, מכוח הכבידה, אל עבר נקודת השיווי-משקל. תוך כדי תנועתו אל עבר נקודת השיווי-משקל יאבד הגוף בהדרגה את האנרגיה הפוטנציאלית שקיבל ויצבור במקומה אנרגיה קינטית בדמות מהירות תנועה. בנקודת שיווי-המשקל תאבד כל האנרגיה הפוטנציאלית שהוקנתה לגוף והיא תוחלף באנרגיה קינטית כולה, משמע, בנקודה זו לגוף מהירות מרבית. על אף שהגוף חזר לנקודת השיווי-משקל הוא ימשיך בתנועתו בכיוון ההפוך, זאת מכוח ההתמדה של תנועתו.

מטוטלת מתמטית בתנועה

הגוף ימשיך בתנועתו בכיוון הנגדי. בהזנחת החיכוך וכוח התנגדות האוויר לא יאבד הגוף אנרגיה במהלך תנועתו. כלומר, בתנאים אידיאלים יגיע הגוף לאותו מרחק אופקי ולאותו גובה בצד השני. משהגיע לגובה המרבי והמיר את כל האנרגיה הקינטית באנרגיה פוטנציאלית תיעצר תנועתו והוא יחל לנוע שוב בכיוון ההפוך בחזרה לנקודת המוצא.

נמצא עבור תנועת המטוטלת המתמטית נוסחאות לחישוב גדלים פיסיקליים שונים.

ניתוח תנועה של מטוטלת מתמטית

במשולש A'OB נקבל,

sinθ = x'/L

בהנחה שהתנודה היא קטנה מאוד ביחס לאורך המטוטלת L, נקבל שבקירוב x'=x. לכן,

sinθ = x/L

הקטע BC מקביל לקטע OA. הזווית AOB (המסומנת באות θ) שווה לזווית CBD, שתיהן זוויות מתאימות בשני ישרים מקבילים הנחתכים על-ידי ישר שלישי, OD. הזווית BCF_x שווה לשתי הזוויות הקודמות, כי היא והזווית CBD הן שתי זוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים BF_y ו- CF_x.

הכוח בכיוון התנועה

במשולש BCF_x נקבל,

sinθ = F_x / F

ידוע ש-

F = m g

לכן נקבל,

F_x = m g sinθ

F_x = m g x / L

זהו הכוח המושך את הגוף בתנועתו.

התאוצה בכיוון התנועה

הכוח הפועל בכיוון התנועה שווה גם ל-

F_x = m a

נשווה את שתי המשוואות,

m a = m g x / L

נחלץ את התאוצה,

a = g x / L

מחזור התנודה

נוסחת המחזור של תנועה הרמונית פשוטה היא,

T = 2π √(m / k)

בעזרת חוק הוק נמצא את הביטוי m/k,

F_x = k x
F_x = m g x / L

נשווה ונקבל,

m g x / L = k / x

m / k = L / g

נציב ונקבל שמשוואת המחזור של מטוטלת מתמטית היא,

T = 2π √(L / g)

נשים-לב שהמחזור אינו תלוי לא במסה m ולא במשרעת התנודה x.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - מכניקה | מכניקה - דינמיקה : שלושת חוקי ניוטון | מערכת יחידות SI | חיכוך | תקיפה ותנע | עבודה, נצילות והספק | אנרגיה | מכונות פשוטות | תנועה הרמונית פשוטה | מטוטלת מתמטית | מטוטלת פיזיקלית | תנועת לווינים | חוקי קפלר ]