קבל חשמלי

קבל חשמלי

בפרק הקודם למדנו כיצד ניתן להגדיל את יכולת הקיבול של גוף מוליך טעון חשמלית רק על-ידי קירוב גוף מוליך ניטראלי ומוארק אליו. נוכל לנצל שיטה זו על-מנת לייצר התקן חשמלי פשוט בעל יכולת אגירה מוגדלת ויעילה של המטען החשמלי. התקן חשמלי זה יכלול שני גופים מוליכים המופרדים ביניהם. גוף מוליך אחד יהיה טעון חשמלית ואילו הגוף המוליך השני יהיה מוארק לאדמה. כפי שכבר ראינו בפרק הקודם על הגוף המוארק נוצר מטען חשמלי הזהה בגודלו, אך בעל סימן הפוך, לזה שבגוף המוליך הטעון.

מבנה של קבל חשמלי (קבל לוחות)

בהתאם להפרש הפוטנציאל החשמלי, הוא המתח החשמלי V, הקיים בין שני הגופים ובהתאם ליכולת הקיבול C של ההתקן תיאגר בו, בכל אחד מהגופים המוליכים, כמות q של מטען חשמלי,

C = q / V

התקן חשמלי זה נקרא קבל חשמלי (או בקיצור קבל).

נשים לב שהכמות הכוללת של המטען החשמלי בקבל היא אפס – חיבור של שני מטענים זהים בגודלם, אך הפוכי סימן. מעתה והלאה כשנציין את הכמות החשמלית האגורה בקבל נתכוון רק לזו האגורה באחד מצידיו.

את שני הגופים המוליכים שבקבל ניתן לבנות ולעצב בצורות שונות ומשונות. קיימות שתי צורות נפוצות ופשוטות יחסית לניתוח ולהבנה, קבל לוחות וקבל כדורי, אותן נציג ונסביר כעת.

קבל לוחות

בפרק על ‎שימושי חוק גאוס מצאנו כבר את השדה החשמלי הנוצר בקרבת לוח גדול אינסופי ואת השדה החשמלי הנוצר בתוך קבל לוחות ומחוצה לו.

בפרק הדן במשטחים שווי פוטנציאל מצאנו שהקשר בין השדה החשמלי האחיד הנוצר בין שני לוחות טעונים ובין הפוטנציאל החשמלי השורר בין שני הלוחות הוא,

E = V / d

נציב במקום E את הערך שלו שמצאנו קודם ונקבל,

σ / ε₀ = V / d

צפיפות המטען החשמלי שבלוח σ היא אחידה על פני כל הלוח ולכן מחושבת לפי כמות המטען החשמלי כשבלוח כולו q מחולק בשטח הלוח הכולל A,

σ = q / A

נציב זאת בנוסחה של חישוב המתח החשמלי ונקבל,

q / A = ε₀ V / d

נחלץ את q ובמקביל נבודד את V באגף השני ונקבל,

q = (ε₀ A / d) ∙ V

קיבלנו משוואה בה המטען החשמלי q הנמצא על הלוחות מחושב לפי המתח החשמלי שבין הלוחות מוכפל במקדם התלוי בגודל הלוחות ובמרחק ביניהם. משוואה זו היא למעשה משוואה מהצורה,

q = C V

והמקדם הינו יכולת הקיבול של קבל הלוחות,

C = ε₀ A / d

קבל כדורי

מבנה של קבל שהוא מעט יותר מורכב מזה של קבל הלוחות הוא קבל כדורי. הקבל הכדורי מורכב מכדור מוליך הטעון חשמלית וממעטפת כדורית דקה ומוארקת העוטפת אותו במרחק קצר מאוד משטח פניו.

מבנה קבל כדורי

גם כאן ננסה למצוא ביטוי של המטען החשמלי q שעל הכדור הפנימי כתלות במתח החשמלי שבין שני חלקי הקבל V ובגדלי הקבל.

כדי למצוא את המתח החשמלי V השורר בין שני חלקי הקבל נמצא את הפוטנציאל החשמלי על כל אחד מהם.

הפוטנציאל החשמלי מחושב לפי הנוסחה,

V = k q / r

על פני הכדור הפנימי מצטבר פוטנציאל חשמלי כתוצאה מהמטען +q הנמצא בו וכתוצאה מהמטען –q הנמצא מסביב לו.

התרומה של המטען +q לפוטנציאל החשמלי על פני הכדור הטעון (ואין זה משנה אם הוא חלול או מלא) היא,

V_A(+q) = k q / R_A

המטען –q שעל הקליפה החיצונית נמצא במרחק R_B ממרכז הכדור לכן תרומתו לפוטנציאל החשמלי שעל פני הכדור הטעון היא,

V_A(–q) = – k q / R_B

נחבר את שתי התרומות ונמצא שהפוטנציאל החשמלי על פני הכדור הטעון הוא,

V_A = V_A(+q) + V_A(–q)

V_A = k q / R_A – k q / R_B

V_A = k q (1/R_A – 1/R_B)

V_A = k q (R_B – R_A) / (R_A R_B)

מכיוון שהקליפה החיצונית מחוברת להארקה הפוטנציאל החשמלי עליה הוא אפס.

מכאן שהמתח החשמלי בין שני חלקי הקבל הכדורי הוא,

V = V_A – V_B

V = k q (R_B – R_A) / (R_A R_B)

נחלץ את q ונבודד את V כך שתתאים למשוואה לחישוב הקיבול C,

q = (R_A R_B) / (k(R_B – R_A)) V

קיבלנו שהקיבול C שווה ל-

C = (R_A R_B) / (k(R_B – R_A))

נזכיר שהקבוע k שווה ל-

k = 1 / (4πε₀)

כמו-כן נשתמש בעובדה שהמרחק בין חלקי הקבל הוא,

d = R_B – R_A

בעזרת שתי החלפות אלו נקבל,

C = 4πε₀ (R_A R_B) / d

ניעזר כעת בהנחה שהמרחק בין חלקי הקבל הכדורי קטן מאוד ביחס לרדיוסים של הכדור ושל הקליפה המרכיבים אותו. מכאן שבבואנו לחשב את R_AR_B נוכל להזניח את ההבדל ביניהם ולהניח ששניהם שווים בגודלם ל- R. מכאן נקבל את המשוואה,

C = 4πR² ε₀ / d

הביטוי אינו אלא שטח הפנים של כדור ברדיוס R ולמעשה שטח הפנים A של הקבל. כך למעשה קיבלנו את אותה משוואה לערך הקיבול C שקיבלנו עבור קבל הלוחות,

C = ε₀ A / d

לסיכום פרק זה נציין שהקבל הינו התקן חשמלי פשוט ונפוץ ביותר המשמש לאגירת מטען חשמלי היכן שנדרש במעגלים חשמליים עליהם עוד נלמד בהמשך, בחלק הבא הדן במעגל החשמלי.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשמל | קבל חשמלי : קיבול גוף מוליך חשמלי | חיבור גופים מוליכים בעלי קיבול שונה | הגדלת יכולת הקיבול של גוף מוליך | קבל חשמלי | חומרים דיאלקטריים | האנרגיה האגורה בקבל חשמלי | חיבור קבלים חשמליים | סיכום ]