נגישות
headline
Error processing SSI file




הנדסה אנליטית - האליפסה


מעגל הוא אוסף של הנקודות הנמצאות במרחק שווה מנקודה אחת, נקודת מרכז המעגל.

אליפסה, לעומת זאת, היא אוסף של הנקודות הנמצאות בסכום מרחקים שווה משתי נקודות. שתי נקודות אלו הם המוקדים של האליפסה. כל מוקד (focus) של האליפסה נהוג לסמן בעזרת האות F או f.

איור של אליפסה עם שני מוקדים ונקודה P על היקפה


באליפסה יש ציר ראשי וציר משני. הציר הראשי עובר דרך שני מרכזי האליפסה בקו ישר. את אורכו של הציר הראשי נסמן מטעמי נוחות כפעמיים הגודל a, כלומר 2a. הציר המשני הוא אנכי לציר הראשי וגם חוצה אותו. את אורכו של הציר הראשי נסמן מטעמי נוחות כפעמיים הגודל b, כלומר 2b.

איור של אליפסה שלעיל עם שני הצירים


ניתן לקבל את האליפסה גם מחתך של חרוט (נקרא גם חתך קוני). למשל, אם נחתוך את החרוט הבא בעזרת מישור המוטה ביחס לציר החרוט בזווית הגדולה מזווית ההטיה של קו היוצר של החרוט נקבל גדלי אליפסות שונים.

איור של אליפסה בעזרת חתך קוני


צורת מעגל תתקבל מחתך אופקי של חרוט, כלומר כאשר הזווית בין המישור החותך לציר החרוט היא זווית ישרה.

איור של מעגל בעזרת חתך קוני


כל נקודה על היקף האליפסה מקיימת את המשווה הבאה,

PF1 + PF2 = 2a

כאשר נזכיר ש- 2a הוא אורך הציר הראשי של האליפסה.

נקודת החיתוך של שני הצירים היא מרכז האליפסה.

המרחק, d, של כל מוקד ממרכז האליפסה הוא,

d = √(a2 – b2)

המרחק בין שני המוקדים הוא 2d.

אם נמקם את מרכז האליפסה על נקודת ראשית מערכת הצירים של x ו- y, אזי נקבל שהמשוואה האנליטית לתיאור האליפסה היא,

x2/a2 + y2/b2 = 1

מקרה פרטי של משוואה זו הוא משוואת המעגל. אם מתקיים a=b, אזי תתקבל המשוואה אנליטית לתיאור צורת המעגל שמחוגו a.

באופן כללי המשוואה האנליטית לתיאור אליפסה במישור היא,

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

אבל זאת בתנאי ש-

B2 – 4AC < 0

שטח האליפסה מחושב לפי הנוסחה,

S = 2π / √(4AC – B2)

כעת נציג שני משפטים הקשורים לאליפסה. המשפטים מתייחסים לאליפסה שמרכזה מונח על ראשית הצירים.

● משוואת ישר המשיק בנקודה P1 = (x1, y1) שעל אליפסה שמרכזה בראשית הוא,

(b2x1)x + (a2y1)y = a2b2

● הישר y = mx + n משיק לאליפסה שמרכזה בראשית אם מתקיים,

n2 = a2m2 + b2

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | הנדסה אנליטית : הנקודה, הישר והמשולש | המעגל | האליפסה | ההיפרבולה | הפרבולה ]