נגישות
headline
Error processing SSI file




הנקודה, הישר והמשולש


הנדסה אנליטית - מבוא

הנדסה אנליטית היא ענף במתמטיקה בו צורות הנדסיות מתוארות בעזרת משוואות אלגבריות. פתרונות הנדסיים, קשרים הנדסיים ועוד – כולם מושגים ומבוטאים בעזרת הפעלת כללים אלגבריים על אותן משוואות.

בהנדסה אנליטית הצורות ההנדסיות תופסות מקום במישור הדו-ממדי הנפרס על-ידי מערכת הצירים הקרטזית. משום כך נקרא ענף זה גם בשם הנדסה קרטזית.

הנקודה

את הנקודה נבטא בעזרת ערכי הציון שלה על ציר x ועל ציר y,

Point = (x, y)

למשל, נקודות p1 ו- p2 נבטא בעזרת ערכי הציון שלהן כך,

p1 = (x1, y1)
p2 = (x2, y2)

תיאור אנליטי לנקודה


המרחק בין שתי נקודות p1 ו- p2, המסומן באות d, מחושב על-ידי המשוואה,

d2 = (x1-x2)2 + (y1-y2)2

תיאור אנליטי למרחק בין שתי נקודות


ערכי הציון של נקודה המחלקת קטע ישר, שקצותיו בנקודות p1 ו- p2, לפי יחס של m ל- n, שנסמנו ב- k (m/n = k), הם,

[(x1n+x2m)/(m+n), (y1n+y2m)/(m+n)]

תיאור אנליטי לנקודה המחלקת קטע ישר


וניתן לבטא את אותן ערכי ציון בעזרת k כך,

[(x1+kx2)/(1+k), (y1+ky2)/(1+k)]

אם שני הקטעים בעלי גודל זהה, אזי הרי שמתקיים m/n=k=1. במקרה זה נקבל שערכי הציון הם,

[½(x1+x2), ½(y1+y2)]

הישר

המשוואה המתארת ישר כללי כלשהו היא משוואה מהצורה,

y = ax + b

כאשר a הוא שיפוע הקו ו- b הוא מידת הזזת הישר על גבי הציר האופקי x.

משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות p1 ו- p2 היא,

y – y1 = ap1→p2x(x – x1)

תיאור אנליטי לישר העובר דרך שתי נקודות


כאשר ap1→p2 הוא שיפוע הקו ומתקבל מ-

ap1→p2 = (y1–y2)/(x1–x2)

בהינתן שני ישרים המבוטאים בעזרת המשוואות,

y1 = a1x1 + b1
y2 = a2x2 + b2

נקודת החיתוך ביניהם היא כאשר,

x1 = x2
y1 = y2

נציב זהויות אלו ונקבל שערכי הציון של נקודת החיתוך של שני הישרים הן,

(-(b1-b2)/(a1-a2), (a1b2-a2b1)/(a1-a2))

כאשר שני ישרים נחתכים נוצרת ביניהם זווית חיתוך התלויה במידת השיפוע היחסית בין שניהם. את זווית החיתוך של שני ישרים, שנסמנה באות α, ניתן למצוא לפי המשוואה הבאה,

tan α = (a1 – a2)/(1 + a1a2)

כאשר שני ישרים מאונכים זה לזה הזווית ביניהם היא 90º. נציב tan 90º = 1 במשוואה שלעיל ונקבל שעבור שני ישרים ניצבים זה לזה מתקיים,

a1a2 = -1

את מרחק הנקודה p0 מישר כלשהו ניתן למצוא בעזרת הנוסחה,

d = |(ax0 + by0 + c) / √(a2 + b2)|

תיאור אנליטי למרחק נקודה מישר


המשולש

ידוע מהנדסה ששטח המשולש שווה למחצית מכפלת הגובה בצלע אליה הוא יורד.

ניתן למצוא את שטח המשולש גם בעזרת ידיעת ערכי הציון של שלושת קודקודיו. הנוסחה לחישוב שטח המשולש בדרך זו היא,

S = ½[x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)]

תיאור אנליטי לשטח משולש


אם מתקבל ששטח המשולש הוא אפס, אזי משמע שכל שלושת הנקודות נמצאות על ישר אחד.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | הנדסה אנליטית : הנקודה, הישר והמשולש | המעגל | האליפסה | ההיפרבולה | הפרבולה ]