headline
Error processing SSI file




מעגל RLC טורי


בפרקים הקודמים למדנו על התנהגות הזרם לעומת המתח במעגלים בסיסיים הכוללים נגד בלבד, קבל טהור בלבד וסליל טהור בלבד, כל אחד מהם במעגל בנפרד.

במעגל הכולל קבל טהור בלבד למדנו שהקבל מייצר היגב קיבולי שגודלו,

XC = 1 / (ωC)

ההיגב הקיבולי מאפשר לנו לחשב את תנופת הזרם המרבית. בנוסף לכך מצאנו גם שהזרם במעגל זה מקדים את המתח ב- 90 מעלות,

I(t) = Vmax / Xc sin(ωt + π/2)

במעגל הכולל סליל טהור בלבד למדנו שהסליל מייצר היגב השראותי שגודלו,

XL = ωL

ההיגב ההשראותי מאפשר לנו לחשב את תנופת הזרם המרבית. בנוסף לכך מצאנו גם שהזרם במעגל זה מאחר אחרי המתח ב- 90 מעלות,

I(t) = Vmax / XL sin(ωt – π/2)

בפרק זה נלמד כיצד מתנהג הזרם החשמלי במעגל זרם חילופין הכולל את שלושתם כאשר הם מחוברים בטור. מעגל מסוג זה נקרא מעגל RLC טורי ותרשים כללי שלו נראה כך,

מעגל RLC טורי


מכיוון שכל הרכיבים מחוברים בטור נקבל שאותו זרם חשמלי I(t) זורם דרך שלושתם. כלומר, אותו זרם חשמלי I(t) זורם דרך הקבל והסליל. אך ידוע לנו שבקבל הזרם מקדים את המתח עליו ובסליל הזרם מאחר את המתח עליו. כדי ששני התנאים הללו יוכלו להתקיים בעת ובעונה אחת נגדיר אותם בצורה הפוכה. במקום לדרוש שבקבל הזרם יקדים את המתח נדרוש שהמתח עליו יאחר אחרי הזרם. באופן דומה, נדרוש שבסליל המתח המתפתח עליו יקדים את הזרם.

נקבל את שלושת המשוואות הבאות,

I(t) = Imax sin(ωt)
VC(t) = VC,max sin(ωt – π/2)
VL(t) = VL,max sin(ωt + π/2)

ניתן לראות שעל הקבל יתפתח מתח חשמלי המאחר אחרי הזרם החשמלי בעוד שעל הסליל יתפתח מתח חשמלי המקדים את הזרם במעגל.

המתח המתפתח על הנגד הוא בתיאום פאזה לזרם, כמו במעגל עם נגד טהור בלבד,

VR(t) = VR,max sin(ωt)

כלל קירכהוף השני (כלל הלולאה) מתקיים גם במעגל זרם חילופין. מכאן שבמעגל RLC טורי סכום מפלי המתחים על שלושת הרכיבים בו יהיה שווה בכל רגע נתון למתח המקור. נקבל את המשוואה,

V(t) = VR(t) + VC(t) + VL(t)

נצייר את שלושת המתחים המתפתחים על הנגד, הקבל והסליל כגדלים ווקטוריים ונמצא בעזרת חישוב ווקטורי את המתח השקול המתפתח על שלושתם.

חיבור ווקטורי של המתחים


מכאן יוצא שמשרעות המתחים המרביות מקיימות את התנאי הבא,

Vmax2 = VR,max2 + (VL,max – VC,max)2

משרעת המתח המרבית על כל רכיב במעגל שווה גם למכפלה של הזרם הזורם דרכו בהתנגדות החשמלי או בהיגב שהוא מייצר. מכאן נקבל את שלושת המשוואות הבאות,

VR,max = Imax R
VC,max = Imax XC
VL,max = Imax XL

נציב את שלושת המשוואות במשוואה הקודמת שמצאנו ונקבל,

Vmax2 = Imax2 R2 + (Imax XL – Imax XC)2
Vmax2 = Imax2 (R2 + (XL – XC)2)
Vmax / Imax = √(R2 + (XL – XC)2)

קיבלנו באגף שמאל של המשוואה ביטוי המייצג התנגדות חשמלית (חלוקה של מתח בזרם). מכאן שנוכל להגדיר את הביטוי שקיבלנו באגף ימין של המשוואה כהתנגדות החשמלית הכוללת שמקור המתח המחובר למעגל "רואה" או צריך להתגבר עליו כדי להזרים את הזרם החשמלי במעגל. נגדיר התנגדות כוללת זו בשם עכבה ונסמנה באות Z,

Z = √(R2 + (XL – XC)2)

מכאן שמשרעת הזרם החשמלי במעגל RLC טורי שווה ל-

Imax = Vmax / Z

נחזור רגע אחורה לחישוב הווקטורי שביצענו קודם.

מתוך השרטוט מצאנו את הביטוי עבור משרעת המתח השקול על שלושת הרכיבים. מתוך אותו שרטוט נוכל למצוא גם את זווית המופע שבין המתח לזרם במעגל,

tan ϕ = (VL,max – VC,max) / VR,max

כזכור, המתח על הקבל יאחר אחרי הזרם בגודל זווית מופע זו, שזו הגדרה השווה לכך שהזרם בקבל מקדים את המתח לפי זווית מופע זו. המתח על הסליל יקדים את הזרם בגודל זווית מופע זו, שזו הגדרה השווה לכך שהזרם בסליל מאחר את המתח לפי זווית מופע זו.

נוכל להציב במקום המתחים את שלושת המשוואות שמצאנו קודם ולקבל את זווית המופע גם כך,

tan ϕ = (VL,max – VC,max) / VR,max

tan ϕ = (Imax XL – Imax XC) / Imax R

tan ϕ = (XL – XC) / R

אחרי שמצאנו גם את הביטוי עבור משרעת הזרם במעגל, את הביטוי עבור העכבה הכוללת במעגל וגם את זווית המופע שבין הזרם למתח נוכל לשרטט את הזרם במעגל ואת שלושת המתחים המתפתחים על שלושת הרכיבים בו,

הזרם והמתחים במעגל RLC טורי


בהסתמך על הניתוח ופתרון מעגל RLC טורי שביצענו נוכל לנתח כל מעגל טורי פשוט יותר, אחת מתוך שלושת הסוגים הבאים:

• מעגל RC המכיל קבל ונגד בלבד
• מעגל RL המכיל משרן ונגד בלבד
• מעגל LC המכיל קבל ומשרן בלבד

בכל מעגל נציב אפס במשוואות במקום ההתנגדות R או ההיגב X של הרכיב החסר.

נוכל גם לוודא את התוצאות שקיבלנו עבור מעגל זרם חילופין המכיל נגד בלבד או קבל טהור בלבד או סליל טהור בלבד, אם נציב אפס במקום ההתנגדות או ההיגב של שני הרכיבים החסרים.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - מגנטיות | חשמל ומגנטיות - מעגל זרם חילופין : מבוא | האות הסינוסואידלי | הנגד במעגל זרם חילופין | הקבל במעגל זרם חילופין | המשרן במעגל זרם חילופין | חיבור משרנים | מעגל RLC טורי | מעגל RLC מקבילי | סיכום ]