נגישות
headline
Error processing SSI file




מודל אטום מימן של בוהר


קוונטיזיציה במבנה האטום

תורת הקוונטים נולדה בתחילת המאה ה-20 עם גילויו של פלאנק שקרינת גוף שחור מתבצעת בקוונטות – הלוא הן מנות אנרגיה בדידות. איינשטיין נשען על עבודתו של פלאנק והשליך את ההתנהגות הקוונטית של הקרינה אל יחס הפעולה והתגובה של האור הנראה (ושל כל גל אלקטרומגנטי) עם האלקטרונים החופשיים שבמתכת במסגרת התופעה האלקטרומגנטית. אחריהם הגיע תורו של מדען דני בשם נילס בוהר להשתמש במושג כמויות האנרגיות הבדידות בהגדרת מבנה האטום.

בוהר אימץ את מודל האטום הפלאנטרי של רת'רפורד ובהשפעת תורת הקוונטית, שהחלה להתהוות בתקופתו, הוא השכיל להוסיף לו את ההנחה שהאלקטרונים, כמו הפוטונים והקרינה האלקטרומגנטית מתנהלים בקוונטות.

אם האלקטרונים מתנהלים בצורה קוונטית, אז הרי שהם יכולים לנוע סביב גרעין האטום רק במסלולים בדידים ולא בכל ערך מתוך תחום ערכים רציף שסברו עד כה. הצורך בהוספת הנחה זו נבע מן העובדה הפשוטה שבלעדיה יכולים האלקטרונים לנוע בכל מסלול אפשרי בתחום רציף של אפשרויות עבור רדיוס ההקפה ועובדה זו הייתה מאפשרת להם פשוט לפלוט את כל האנרגיה שלהם בצורת קרינה אלקטרומגנטית וליפול בחופשיות אל תוך הגרעין בתנועה לוליינית.

הגבלת האלקטרונים לפלוט (או לקלוט כפי שנראה בהמשך) רק מנות אנרגיה בדידות היא זו שמאלצת אותם לנוע במסלולי הקפה בדידים סביב הגרעין.

אלקטרונים הנעים סביב הגרעין במסלולי הקפה בדידים


כלומר, מושג מנות האנרגיה עזר לבוהר להגדיר את קיומם של מעגלים בדידים סביב הגרעין, שרק בהם אפשרי לאלקטרון להימצא.

אותם מסלולים בדידים מתקבלים מהשוואת המכפלה של היקף המעגל בתנע הזוויתי של האלקטרון עם המכפלה של קבוע פלאנק במספר שלם כלשהו. כלומר, מתקבלת המשוואה הבאה המתארת כיצד ניתן למצוא את רדיוסי מסלולי ההקפה המותרים לאלקטרונים,

2 π r • mv = n h
כאשר,
r – רדיוס ההקפה סביב הגרעין
m – מסת האלקטרון
v – מהירות האלקטרון
n – מספר טבעי
h – קבוע פלאנק

הערה: במקום הקבוע h ניתן להשתמש בסימון ℏ (נהגה “h bar”) השווה לחלוקה של h במכפלה ואז נקבל,

r • mv = n ℏ

אותם מסלולי הקפה אפשריים מהווים סדרה של מצבי אנרגיה קבועה, שבהם האלקטרון נע מסביב לגרעין מבלי לפלוט את האנרגיה שלו בצורת קרינה. האלקטרונים מוגבלים לנוע במסלולים אלה בלבד ומעבר בין מסלול למסלול אינו אפשרי באופן ספונטאני עצמאי. מעבר של אלקטרון בין המסלולים אפשרי אם הוא קיבל אנרגיה חיצונית ועל כך עוד נלמד.

מסלולי הקפה אלו ממוספרים במספר קוונטי לפי מרחקם מהגרעין. המסלול הקרוב ביותר לגרעין ממוספר n=1, המסלול הבא אחריו ממוספר n=2 וכן הלאה.

מספור מסלולי ההקפה סביב הגרעין


נוכל למצוא את ערכי הרדיוסים של מסלולי ההקפה האפשריים עבור האלקטרון בעזרת ניתוח הכוחות הפועלים על האלקטרון. בעזרת השוואת הכוח הנובע מחוק קולון לכוח הצנטריפטאלי המופעל על האלקטרון הנע בתנועה מעגלית נקבל (כפי שקיבלנו בפרק על מודל האטום של רת'רפורד) את המשוואה,

k e2 / r2 = m v2 / r

נציב במשוואה זו את v אחרי שחולץ מהמשוואה הקודמת ונקבל,

k e2 / r = m [n ℏ / (r m)]2
k e2 / r = n22 / (r2 m)
k e2 = n2 ℏ2 / (r m)
r = n22 / (m k e2)

בהצבת של סדרת המספרים השלמים 1, 2, 3, 4, ... במקום המספר הקוונטי n נקבל שערכי רדיוסי ההקפה האפשריים הם בהתאמה,

r(n=1) = ℏ2 / (m k e2)
r(n=2) = 4ℏ2 / (m k e2)
r(n=3) = 9ℏ2 / (m k e2)
r(n=4) = 16ℏ2 / (m k e2)

נשים לב ש-
1. מסלולי ההקפה האפשריים הם ערכים בדידים בלבד המתקבלים מהצבת ערכים שלמים במקום n.
2. ההפרש בין רדיוס במספר קוונטי n לרדיוס במספר קוונטי n+1 הוא 2n+1 פעמים הרדיוס במספר קוונטי 1.

המסלול הקרוב ביותר לגרעין (n=1) הוא בעל האנרגיה הנמוכה ביותר. ככל שרדיוס המסלול הוא גדול יותר והאלקטרון לכן רחוק יותר מהגרעין נקבל רמת אנרגיה גבוהה יותר של המסלול.

בפרק זה מצאנו את המשוואה לחישוב רדיוסי ההקפה האפשריים של האלקטרון סביב הגרעין. בפרק הבא נמצא בעזרת רדיוס ההקפה את רמת האנרגיה של כל מסלול הקפה סביב הגרעין.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קרינה וחומר | קרינה וחומר - מודל אטום המימן של בוהר : קוונטיזציה במבנה האטום | רמות האנרגיה באטום | ספקטרום פליטה וספקטרום בליעה | הצלחת מודל האטום של בוהר | ניסוי פרנק-הרץ | ספין | עיקרון האיסור של פאולי | סיכום ]