נגישות
headline
Error processing SSI file




השדה החשמלי


חוק גאוס


בפרק הקודם הכרנו את מושג השטף החשמלי ואת המשוואה הכללית לחישובו,

            
ΦE = ∫ E dA
S

משוואה זו נפתרת בקלות כאשר השטף החשמלי נוצר על-ידי גופים בעלי מבנה סימטרי בהם המטען החשמלי מפוזר באופן אחיד ומתחלק בצורה סימטרית. היתרון המתקבל כאשר ישנה חלוקה סימטרית של המטען החשמלי הוא בכך שהשטף החשמלי העובר דרך כל פיסה קטנה של שטח הוא זהה בגודלו.

למשל, נבחן את השטף החשמלי היוצא מגוף כדורי הטעון במטען חשמלי, כפי שנראה באיור הבא,

שטף חשמלי היוצא מפני גוף כדורי


נחלק את פני המשטח הכדורי לפיסות קטנות. באיור שלמטה חילקנו לדוגמה את שטח המעטפת לשמונה פיסות. מכיוון שהשדה החשמלי היוצא ממטען כדורי הוא רדיאלי (אנכי למעטפת) אזי נקבל שעבור כל פיסה השדה החשמלי היוצא דרכה ניצב לה בקירוב. כלומר זווית ההטיה α היא אפס בקירוב.

חלוקת שטח המעטפת לפיסות קטנות


מכאן שהשטף החשמלי העובר דרך כל פיסה קטנטנה ΔAi במעטפת הכדורית הוא,

ΔΦE = E ΔAi cos α = E ΔAi

ככל שנחלק את שטח המעטפת ליותר פיסות, שקטנות יותר בגודלן, נקבל קירוב טוב יותר ותוצאה מדויקת יותר של השטף החשמלי היוצא מכל פיסה.

אם נסכם את כל השטפים החשמליים העוברים דרך כל הפיסות הקטנטנות, אז הרי שנקבל את השטף החשמלי הכולל העובר דרך סך המעטפת הכדורית.

ΦE = Σ ΔΦE = Σ E ΔAi

ΦE = E (ΔA0 + ΔA1 + ΔA2 + … + ΔAn)

הסכום של הביטוי שבתוך הסוגריים הוא למעשה שטח המעטפת של כדור אשר ערכו ידוע מהמשוואה הבאה,

A = ΔA0 + ΔA1 + ΔA2 + … + ΔAn = 4πr2

מכאן שנקבל שהשטף החשמלי העובר דרך המעטפת הכדורית הוא,

ΦE = E 4πr2

נציב את ערכו של E ונקבל,

ΦE = (k q/r2) ∙ 4πr2

ΦE = 4πk q

קיבלנו שסך השטף החשמלי העובר דרך המעטפת הכדורית אינו תלוי כלל ברדיוסה. תוצאה זו אינה אמורה להפתיע אותנו שכן השטף הוא מכפלה של עוצמת השדה החשמלי בשטח המעטפת והרי העוצמה הולכת וקטנה לפי ריבוע המרחק בעוד שבמקביל לכך שטח המעטפת גדל לפי ריבוע המרחק. תוצאה זו היא גם הגיונית ולו רק מהסיבה שדרך כל מעטפת כדורית שנבנה סביב מרכז המטען החשמלי יעברו דרכה כל קווי השדה החשמלי שנוצרים ותמיד במאונך.

השטף דרך מעטפת כדורית קטנה או גדולה


מכיוון שהשטף החשמלי אינו תלוי ברדיוס המעטפת הכדורית נוכל לטעון, תוך שימוש בטעמי סימטריה, שלמשטחים יחסיים במעטפות כדוריות ברדיוסים שונים יש את אותה תרומה לשטף החשמלי.

מעטפות כדוריות ברדיוסים שונים


השטף החשמלי היוצא דרך המקטע הנמצא במעטפת הכדורית שרדיוסה R שווה לשטף החשמלי היוצא דרך המקטע הנמצא במעטפת הכדורית שרדיוסה r.

בעזרת הבנה זו נוכל לחשב את השטף החשמלי היוצא דרך כל משטח עקום העוטף מטען חשמלי ולאו דווקא משטח כדורי. נחלק את המעטפת העקומה למשטחים קטנים מאוד. מכל משטח במעטפת העקומה יש לקחת בעת חישוב תרומתו לשטף החשמלי רק את היטל שטחו על המישור הניצב לקווי השדה החשמלי. היטל השטח הוא למעשה מקטע במעטפת כדורית בעלת רדיוס R כלשהו.

היטלי מעטפת עקומה על מעטפת כדורית


והרי כבר טענו קודם מטעמי סימטריה שהשטף החשמלי היוצא דרך כל מקטע במעטפת כדורית שרדיוסה R כלשהו שווה לשטף החשמלי היוצא ממקטע במעטפת כדורית שרדיוסה r.

יוצא שסך כל תרומות השטף החשמלי מכל ההיטלים של מקטעים במעטפת העקומה שווה לסך כל תרומות השטף החשמלי מכל המקטעים במעטפת הכדורית שרדיוסה r ושאותה כבר מצאנו,

ΦE = 4πk q

המסקנה הכללית היא שלא משנה מהי צורת המעטפת המקיפה את המטען החשמלי, כל עוד זו מעטפת סגורה נקבל שאותה כמות של שטף חשמלי שמצאנו עבור המעטפת הכדורית תעבור דרכה. לכן הביטוי שקיבלנו עבור השטף החשמלי שחושב עבור מעטפת כדורית נכון בעצם עבור כל צורה של מעטפת סגורה.

מאחר והמשוואה נכונה עבור כל משטח מעטפת סגורה העוטף את המטען החשמלי, אז הרי שמיקום המטען החשמלי הכלוא בתוך המרחב הסגור אינו חשוב. מכאן שאם נמצאים במרחב הסגור מספר מטענים חשמליים נוכל פשוט לסכם את התרומה הנפרדת של כל אחד מהם לחישוב השטף החשמלי הכולל היוצא מהמעטפת,

ΦE = ΦE(1) + ΦE(2) + … + ΦE(n)

ΦE = 4πkq1 + 4πkq2 + … + 4πkqn

או בקיצור,

ΦE = 4πk Σqi

ובחשבון הדיפרנציאלי ואינטגראלי יקבל הביטוי שלעיל את הניסוח הבא,

      
ΦE = ∫ E dA = 4πk Σqi
              S

כלומר, השטף החשמלי ΦE העובר דרך משטח סגור שווה לסכום המטענים החשמליים הכלואים בו כשהם מוכפלים בקבוע 4πk. זהו חוק גאוס!

את ההכפלה בקבוע 4πk נהוג להחליף לפעמים בחלוקה בקבוע הדיאלקטרי בריק, שסימנו הוא ε0,

ε0 = 1 / 4πk

כלומר, ערכו של ε0 הוא,

ε0 = 1 / (4π∙9∙109) = 8.85∙10-12 [C2 / (N∙m2)]

בשימוש בקבוע החדש נקבל את חוק גאוס בצורתו המקוצרת,

      
ΦE = ∫ E dA = Σqi / ε0
              S

חוק גאוס שימושי למציאת ערכו של השדה החשמלי. בעזרת חוק גאוס נוכל למצוא את השטף החשמלי ΦE ומתוך השטף החשמלי נוכל למצוא את השדה החשמלי E.

על כך מייד בפרק הבא.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשמל | השדה החשמלי : קיומו של השדה החשמלי | עוצמתו של השדה החשמלי | קווי השדה החשמלי | חיבור שדות חשמליים | שטף חשמלי | חוק גאוס | שימושי חוק גאוס | סיכום ]