headline
Error processing SSI file




השדה החשמלי


שימושי חוק גאוס


נזכיר שהשטף החשמלי ΦE מוגדר כמכפלה של עוצמת השדה החשמלי E היוצא מתוך משטח A הניצב לו. זאת לפי משוואה הניתנת לרישום גם בצורה הבאה,

ΦE = Σ Ei Ai cosαi

זוהי דרך אחת המספקת משוואה ראשונה לחישוב השטף החשמלי.

בפרק הקודם השתמשנו במשוואה זו כדי למצוא את השטף החשמלי היוצא מתוך מעטפת כדורית העוטפת מטען חשמלי נקודתי q,

ΦE = 4πk q

כדי להגיע למשוואה זו השתמשנו בעובדה שהשדה החשמלי הנוצר ממטען נקודתי q הוא,

E = kq/r2

לאחר-מכן הרחבנו משוואה זו עד להגדרה של חוק גאוס הטוען שהשטף החשמלי ΦE העובר דרך משטח סגור שווה לסכום המטענים החשמליים הכלואים בו כשהם מוכפלים בקבוע 4πk,

ΦE = 4πk Σqi

לסיכום, חוק גאוס מקנה לנו דרך נוספת ומשוואה שנייה לחישוב השטף החשמלי מתוך ידיעת כמות המטען החשמלי.

נוכל להשתמש בשתי המשוואות לחישוב השטף החשמלי, להשוות ביניהן, כדי למצוא, למשל, את השדה החשמלי E.

Σ EiAicosαi = 4πk Σqi

נשים לב שאם נבנה את המעטפת הסגורה כך שתהיה מורכבת רק ממשטחים שבהם כיוון השדה החשמלי הוא או ניצב להם (cosα=1) או מקביל להם (cosα=0), אז חישוב הסכום באגף הימני שבמשוואה שלעיל יהיה קל יותר.

בדוגמאות הבאות נחתור תמיד למצוא משטחי מעטפת שכאלו המקלים על החישוב.

שים לב, עד כה חישבנו את השדה החשמלי הנוצר ממטען חשמלי נקודתי בודד או ממערכת של מספר מטענים חשמליים נקודתיים בודדים בדרך של הרכבה (סופרפוזיציה). המושג של השטף החשמלי וחוק גאוס מאפשרים לנו, כפי שנראה בדוגמאות הבאות, לחשב את השדה החשמלי הנוצר על-ידי גופים שונים (לא נקודתיים) בעלי צורה שונה ולא סימטרית הטעונים במטען חשמלי.

השדה החשמלי שיוצרת קליפה כדורית הטעונה בצפיפות אחידה

לפנינו קליפה כדורית הטעונה במטען חשמלי המפוזר על פניה בצפיפות אחידה.

כדי לחשב את השדה החשמלי שמחוץ לקליפה נבחר, לשם פשטות החישוב, משטח גאוסי כדורי ברדיוס R כלשהו, שמרכזו מתלכד עם מרכז הקליפה הכדורית.

השדה החשמלי הנוצר ע"י קליפה כדורית


לפי חוק גאוס השטף החשמלי היוצא מהמעטפת הכדורית הוא פונקציה של כמות המטען החשמלי הכולל Q ושווה ל-

ΦE = 4πk Σqi = 4πkQ

מצד שני, נחשב את השטף החשמלי כסכום המכפלות של השדה החשמלי בשטחי המשטחים מהם הוא יוצא.

מכיוון שהמטען הכולל שבקליפה הכדורית מפוזר עליה באופן אחיד וסימטרי נקבל שגם השדה החשמלי הנוצר מהם במעטפות כדוריות הוא אחיד וכמובן ניצב למעטפת הכדורית בכל נקודה בה. בפרק הקודם ראינו שהשטף החשמלי היוצא ממעטפת כדורית ברדיוס R הוא,

ΦE = E 4πR2

נשווה את שתי המשוואות ונקבל,

4πkQ = E 4πR2

נחלץ את השדה החשמלי ונקבל,

E = kQ / R2

זהו השדה החשמלי המתקבל מחוץ לקליפה כדורית, במרחק R ממרכזה, הטעונה במטען כולל Q המפוזר על פניה בצפיפות אחידה.

אגב, בכל נקודה בחלל הכלוא בתוך הקליפה הכדורית השדה החשמלי הוא אפס מכיוון שסך המטען החשמלי הכלוא על-ידי כל משטח עקום בתוך הקליפה הוא אפס!

השדה החשמלי שיוצר משטח גדול הטעון בצפיפות אחידה

מכיוון שהמשטח גדול אז השדה החשמלי הנוצר בסמוך לו, במרחק קצר ממנו, הוא בקירוב טוב שדה חשמלי אחיד הניצב למשטח. משטח כזה נחשב משטח "אינסופי".

השדה החשמלי שיוצר משטח גדול


הפעם נבחר משטח גאוסי בצורת מלבן החוצה את המשטח הטעון בצורה אנכית. צורה הנדסית זו נוחה לשימוש במקרה זה. קווי השדה החשמלי הם קווים ישרים ומקבילים ויהיו גם מקבילים לשטח המעטפת של המלבן. מכאן שהתרומה של שטח המעטפת של המלבן לסך השטף החשמלי היוצא מהמלבן היא אפס. השטף החשמלי יוצא מהמלבן רק משני הבסיסים של המלבן. השדה החשמלי בשני הבסיסים של המלבן הוא זהה, מכיוון שהם במרחק שווה מהלוח הטעון. נקבל ש-

ΦE = EsideAsidecos90° + 2EbaseAbasecos0°
ΦE = 0 + 2EAbase
ΦE = 2EAbase

מצד שני, נחשב בעזרת חוק גאוס את השטף החשמלי היוצא מהמעטפת הזו כתלות במטען החשמלי שהיא כולאת בתוכה. סך גודל המטען החשמלי הכלוא בלוח במקטע שצורתו כצורת שטח הבסיס תלוי בצפיפות המטען החשמלי σ של הלוח ובגודל שטח הבסיס,

Q = σ Abase

ומכאן לפי חוק גאוס,

ΦE = 4πk Σqi = 4πk σ Abase

נשווה בין שתי המשוואות של השטף החשמלי ונחלץ את השדה החשמלי,

2EAbase = 4πk σ Abase
E = 2πkσ = ½ σ/ε0

נשים לב לעובדה המעניינת שעוצמת השדה החשמלי אינה תלויה במרחק מהלוח, אלא רק בצפיפות המטען החשמלי עליו.

השדה החשמלי שיוצר קבל לוחות

קבל לוחות מורכב משני לוחות טעונים במטענים זהים אבל הפוכי סימן. אנחנו נניח שהלוחות הם גדולים ("אינסופיים") ושהמטען החשמלי על כל אחד מהם מפוזר בו באופן אחיד.

כבר ראינו שלוח גדול טעון בודד יוצר משני צידיו שדה חשמלי אחיד בעוצמה,

E = 2πkσ

אך כיוון השדה החשמלי הנוצר סביב כל לוח הוא שונה ותלוי בסימן המטען בו הוא טעון, כפי שמראה האיור הבא,

השדה החשמלי הנוצר ע"י קבל לוחות


לוח אחד של הקבל טעון במטען חיובי ואילו לוח שני של הקבל טעון במטען חשמלי זהה בגודלו אך הפוך בסימנו, כלומר במטען שלילי!

בתוך הקבל, בחלל שבין שני הלוחות השדה החשמלי שכל לוח מייצר נע באותו הכיוון, לכן יש לחבר את תרומותיהם לשדה הכולל,

E = Eq+ + Eq- = 4πkσ = σ/ε0

מחוץ לקבל, משני צידיו, השדות החשמליים ששני הלוחות מייצרים הם בכיוונים מנוגדים, לכן יש להחסיר ביניהם כדי לקבל את השדה הכולל. מכיוון שהם שווים בעוצמתם השדה החשמלי הכולל מחוץ לקבל הוא אפס!

השדה החשמלי שיוצר מוליך טעון

מוליך חשמלי מכיל בתוכו אלקטרוניים חופשיים היכולים לנוע בו בחופשיות. במוליך הטעון במטען חשמלי אין תנועה מסודרת של האלקטרוניים החופשיים, הללו עדיין נעים בתוכו בתנועה אקראית. משמע, אין כוח חשמלי הפועל עליהם בכיוון מסוים ומסדיר את תנועתם. אם אין כוח חשמלי שפועל על מטען חשמלי, אז גם אין שדה חשמלי. כלומר, בתוך מוליך טעון אין שדה חשמלי.

מאחר ובתוך המוליך השדה החשמלי הוא אפס נקבל, מתוך הגדרת מושג השטף החשמלי, שגם השטף החשמלי היוצא מתוך כל עקום סגור בתוך המוליך שווה לאפס,

ΦE = Σ Ei Ai cosαi = 0

אם השטף החשמלי הוא אפס אז לפי חוק גאוס סך המטען החשמלי הכלוא בתוך כל משטח עקום סגור בתוך המוליך הוא אפס.

כלומר, כל מטען חיובי עודף או שלילי עודף לא יכול להימצא בתוך המוליך. המטען החשמלי העודף אמנם לא נמצא בתוך המוליך, אך הוא חייב להיות בו במקום כלשהו. מכאן שהמטען החשמלי נמצא ממש על שטח הפנים של המוליך.

המטען החשמלי נמצא, אם כן, על שטח הפנים החיצוני של המוליך. בשטח זה המטען החשמלי מתפזר באופן אחיד ויוצר צפיפות מטען אחידה σ. נחשב כעת את השדה החשמלי שיוצר המוליך בנקודה קרובה אליו.

נחתוך עיגול קטן משטח פני המוליך ונעטוף אותו משני צידיו בגליל אנכי לו. בתוך המוליך השדה החשמלי הוא אפס ולכן התרומה של חלק הגליל השקוע בתוך המוליך לחישוב השטף החשמלי היא אפס גם כן. שטח המעטפת של הגליל מקבילה לשדה החשמלי, לכן גם התרומה של המעטפת לחישוב השדה החשמלי היא אפס.

השדה החשמלי שיוצר מוליך


התרומה היחידה לשטף החשמלי היא דרך הבסיס החיצוני של הגליל. לכן, לפי הגדרת השטף החשמלי נקבל שערכו הוא,

ΦE = E ΔA

מצד שני, ניתן לחשב את השטף החשמלי, לפי חוק גאוס, בעזרת המטען החשמלי הכלוא בו.

ΦE = 4πkσ ΔA

נשווה את שתי המשוואות ונחלץ את השדה החשמלי,

E ΔA = 4πkσ ΔA
E = 4πkσ = σ / ε0

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשמל | השדה החשמלי : קיומו של השדה החשמלי | עוצמתו של השדה החשמלי | קווי השדה החשמלי | חיבור שדות חשמליים | שטף חשמלי | חוק גאוס | שימושי חוק גאוס | סיכום ]