headline
Error processing SSI file




ייצוג עשרוני


משקל עשרוני


בפרקים קודמים הכרנו את עשר הספרות שבשימוש בשיטה העשרונית. הכרנו גם את שיטת הייצוג של מספרים לפי בסיס עשרוני. כעת נרצה לחדד ולהבהיר שיטת ייצוג זו.

בשיטת הייצוג לפי בסיס עשרוני יש משקל שונה לכל ספרה במספר לפי מיקומה במספר. הספרה הראשונה היא במשקל ספרת האחדות. הספרה השנייה היא במשקל ספרת העשרות. הספרה השלישית היא במשקל ספרת המאות וכך הלאה.

כל מספר הוא רצף של ספרות שכל אחת בעלת משקל שונה. כדי לקבל את ערכו של מספר יש להכפיל את הספרה הראשונה במשקלה שהוא אחד, לתוצאת ההכפלה יש לחבר את מכפלת הספרה השנייה במשקלה שהוא עשר, את מכפלת הספרה השלישית במשקלה שהוא מאה וכו'.

לדוגמה נבדוק את המספר 5762. פרוק מספר זה לספרותיו לפי משקליהן ייתן את הייצוג הבא:

1x2 + 10x6 + 100x7 + 1000x5

כל מספר שלם המיוצג על-ידי הספרות …D3D2D1D0 ניתן לייצג בדרך זו לפי הנוסחה הכללית הבאה:

1xD0 + 10xD1 + 100xD2 + 1000xD3 + …

נקודה עשרונית


הכרנו כבר את השברים ואת אופן כתיבתם בצורת מונה חלקי מכנה. כעת נלמד כיצד ניתן לייצג את השברים בשיטת הייצוג העשרונית לפי משקלים.

כל מספר שלם וסופי ניתן לייצג בשיטת הייצוג העשרונית בעזרת עשר הספרות. ייצוג המספר יהיה:

…D3D2D1D0
משקל D0 הוא 1
משקל D1 הוא 10
משקל D2 הוא 100
וכן הלאה.

נוסיף למספר נקודה מימינו ונאפשר הוספה של רצף ספרות גם מימין לנקודה והלאה. כעת יראה ייצוג כללי של מספר בשיטה העשרונית בצורה הבאה:

…D3D2D1D0.d0d1d2d3

נגדיר שמשקלה של הספרה d0 הוא 1/10,
משקלה של הספרה d1 הוא 1/100
משקלה של הספרה d2 הוא 1/1000
וכך הלאה...

ערכו של המספר הכללי שלעיל הוא:

… + d2/1000 + d1/100 + d0/10 + 1xD0 + 10xD1 + 100xD2 + 1000xD3 + …

נבחן לדוגמה את המספר 12.3, ערכו של מספר זה הוא:

3/10 + 2x1 + 1x10

בעזרת משקלים נוספים אלו נוכל לייצג גם שברים ברצף של ספרות. למשל בדוגמה הנ"ל הוספנו למספר השלם 32 את השבר 1/10.

כיצד מעבירים שבר לייצוג העשרוני שלו?

כדי להעביר שבר לייצוג העשרוני שלו יש לפעול לפי הצעדים הבאים:

   1. נמצא את המשקל העשרוני הנמוך ביותר (החל מ-10 והלאה) המתחלק במכנה השבר ללא שארית.

   2. את המנה (תוצאת החלוקה) מצעד 1 יש להכפיל במונה השבר.

   3. בתוצאת המכפלה המתקבלת מצעד 2 נזיז את הנקודה העשרונית מספר ספרות לצד שמאל כמספר האפסים במשקל העשרוני שמצאנו בצעד 1.

לדוגמה אם נרצה לייצג את השבר 1/2 בצורת משקל עשרוני נחפש את המשקל העשרוני הנמוך ביותר בו מתחלק המכנה של השבר שערכו 2 ללא שארית. נתחיל בחיפוש החל מהמשקל 10 שהוא הנמוך ביותר לייצוג מימין לנקודה העשרונית. 10 מתחלק ב-2 ללא שארית ומתקבלת המנה 5. נכפיל את המנה 5 במונה השבר שערכו 1 ועדיין נקבל 5. על המספר 5 נזיז את הנקודה העשרונית ממקומה בצד ימין מקום של ספרה אחת שמאלה כמספר האפסים במשקל שמצאנו שהיה 10, כך נקבל את הייצוג 0.5.

לכן הייצוג של השבר 1/2 בבסיס עשרוני הוא:

1/2 = 0.5

עבור חישוב ייצוג של השבר 3/4 נחפש שוב את המשקל העשרוני הנמוך ביותר המתחלק במכנה השבר ללא שארית. נתחיל בחיפוש עם המשקל 10. המשקל 10 אינו מתחלק במכנה 4 ללא שארית. לכן נמשיך לחפש ונבדוק את המשקל הבא שהוא 100. נחלק 100 ב-4 ונקבל מהחלוקה את המנה 25 ללא שארית. את המספר 25 נכפיל כעת במונה שערכו 3 ונקבל שתוצאת המכפלה היא 75. במספר 75 שקבלנו נזיז את הנקודה העשרונית שתי מקומות לצד שמאל כמספר האפסים במשקל 100 שמצאנו ונקבל:

3/4 = 0.75

לשם דוגמה נוספת נחפש את הייצוג העשרוני לשבר 2/25. המשקל המתאים במקרה זה הוא 100 ותוצאת החלוקה ללא שארית של 100 במכנה 25 היא המנה 4. נכפיל 4 במונה שערכו 2 ונקבל 8. במספר 8 נזיז את הנקודה העשרונית שתי מקומות שמאלה כמספר האפסים במשקל 100 שמצאנו ונקבל:

2/25 = 0.08

נשים לב לאפס שמשמאל לתוצאה 8 שקבלנו. מכיוון שהזזנו את הנקודה העשרונית שתי מקומות/ספרות שמאלה היה עלינו להשלים 0 במקום החסר. לולא הוספנו את האפס היינו מקבלים תוצאה שגויה של 0.8.

לא תמיד נמצא משקל המתחלק במכנה ללא שארית. למשל את השבר 1/3 לא ניתן לייצג בבסיס עשרוני באופן סופי. למה הכוונה באופן סופי? נראה את זה כדוגמה בשבר 1/3.

עבור חישוב הייצוג של השבר 1/3 נחפש שוב את המשקל העשרוני הנמוך ביותר ונתחיל את החיפוש שוב מהמשקל 10. 10 אינו מתחלק ב-3 ללא שארית וכך גם המשקל הבא שהוא 100. למעשה אף משקל (1000 10000 וכו') אינו מתחלק ב-3 ללא שארית. במקרה זה ייצוג השבר לפי משקל עשרוני יצטרך אינספור ספרות מימין לנקודה העשרונית. לכן, במקרה זה עלינו להחליט מהו הדיוק שברצוננו להגיע אליו או במילים אחרות כמה ספרות מימין לנקודה יספקו אותנו בייצוג של השבר. אם נחליט, לשם הדוגמה, כי מספיק לנו דיוק של שתי ספרות מימין לנקודה העשרונית אזי נבחר את המשקל בו יש שני אפסים והוא המשקל 100. המשקל 100 אינו מתחלק כמובן ב-3 ללא שארית, המנה המתקבלת היא 33 והשארית היא 1. נזניח את השארית 1 כי הדיוק בו בחרנו הוא של שתי ספרות מימין לנקודה העשרונית בלבד. מכאן נמשיך כרגיל בתהליך מציאת הייצוג העשרוני כמו מקודם. נכפיל את המנה 33 במונה השבר שערכו 1 ועדיין נקבל 33. על המספר 33 נזיז את הנקודה העשרונית שני מקומות שמאלה כמספר האפסים במשקל 100 שאותו בחרנו ונקבל:

1/3 = 0.33…

מכיוון שהמשקל בו השתמשנו אינו מתחלק במכנה השבר ללא שארית לא כל הספרות מימין לנקודה העשרונית מוצגות. מכיוון שלא כל הספרות מוצגות נוסיף שלוש נקודות אחרי הספרה האחרונה המוצגת כדי לציין שיש עוד ספרות בהמשך.

אם היינו רוצים דיוק של 4 ספרות אחרי הנקודה היינו בוחרים להשתמש במשקל 10000 שבו יש 4 אפסים. במקרה זה היינו מקבלים את הייצוג הבא:

1/3 = 0.3333…

שוב, נוסיף שלוש נקודות אחרי הספרה האחרונה מימין כדי לציין שישנן עוד ספרות בייצוג העשרוני שלא נמצאות.

במקרה של 1/3 אנחנו יכולים לדעת בקלות מהם שאר הספרות שיש להוסיף. המשקלים כולם, ולא משנה איזה משקל נבחר 10, 100, 1000 וכן הלאה, תמיד נותנים את אותה שארית בחלוקתם במכנה השבר. השארית שתמיד נקבל היא 1. עד כה השתמשנו תמיד רק במנת החלוקה בשביל הייצוג העשרוני. במקרים בהם אין שארית נותנת תוצאת המנה ייצוג עשרוני מדויק ומלא לשבר. אך במקרים בהם השארית אינה אפס אזי יש להוסיף גם את השארית לייצוג.

הוספת השארית לייצוג העשרוני של השבר תתבצע באופן הבא:

   1. נבנה שבר חדש המורכב מתוצאת השארית ומהמכנה של השבר המקורי.
   2. על השבר החדש נפעיל שוב את אותה השיטה על-מנת לקבל את הייצוג העשרוני שלו.
   3. את הספרות החדשות שהתקבלו בייצוג של השארית (כולל אפסים מימין לנקודה העשרונית אם ישנם כאלה) נוסיף לייצוג העשרוני הקיים של המונה.

אם נחזור לדוגמה של השבר 1/3 הרי שלא משנה איזה משקל נבחר השארית היא תמיד 1. נבנה שבר חדש המורכב מתוצאת השארית ומהמכנה של השבר המקורי וקיבלנו שוב את השבר 1/3. אין לנו צורך להפעיל שוב את אותה השיטה למציאת ייצוג עשרוני של שבר על השבר הזה. אנחנו כבר יודעים שהפעלת השיטה על שבר זה נותנת את התוצאה 0.3333… עבור המונה ושארית של 1.

כלומר, כל דיוק של ספרה נוספת שנוסיף לייצוג העשרוני של השבר 1/3 היא 3. לכן כל הספרות מימין לנקודה העשרונית של שבר זה הן 3.

מחזוריות של ספרה אחת או של רצף סופי של ספרות נהוג לסמן בקו עליון מעל לספרה או רצף הספרות החוזר על עצמו. למשל, ייצוג עשרוני מלא של השבר 1/3 הוא:

_  
0.3

פסיק לאלפים


כדי שמספר גדול המיוצג על-ידי מספר רב של ספרות יהיה קריא מקובל להפריד כל שלושה ספרות שמשמאל לנקודה העשרונית בפסיק. הפסיק יוצר ספרות ברצף של שלשות. הפסיק הראשון מפריד בין האלפים, הפסיק השני מפריד בין המיליונים, הפסיק השלישי מפריד בין המיליארדים וכך הלאה.

למשל,

"המרחק בין כדור-הארץ לירח הוא בקירוב 384403 קילומטרים"

מספר זה יהיה קריא יותר אם נשים פסיק המפריד את האלפים. כך:

"המרחק בין כדור-הארץ לירח הוא בקירוב 384,403 קילומטרים"

כעת ניתן לקרוא בבירור שהמרחק הוא 384 אלפים ו- 403 קילומטרים.

דוגמה נוספת:

"אוכלוסיית העולם המשוערכת נכון לשנת 2010 היא בקירוב 6800000000"

או בצורת כתיבה ברורה יותר:

"6,800,000,000 שהם 6 מיליארד ושמונה מאות מליון"

ניתן להשתמש בפסיקים גם במספר שאינו שלם ושמופיע בו נקודה עשרונית. למשל, ראובן הרוויח החודש משכורת של 5,218.35 שקלים.

לא נשתמש בפסיק כדי להפריד ספרות לשלשות מימין לנקודה. למשל, ערכו של פאי (π) הוא בקירוב 3.14159265359….

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשבון | חשבון בסיסי II : שברים | ייצוג עשרוני | אחוז | השוואות | עיגול מספרים ]