headline
Error processing SSI file




שברים



מבוא


עד כה הכרנו את משפחת המספרים השלמים. מספר שלם מייצג כמות שלימה, למשל, שק קמח אחד שלם, שני שקי קמח שלמים, שלושה שקי קמח שלמים וכו'.

הכרנו במשפחה זו את המספרים החיוביים שבעזרתם ניתן, למשל, לייצג כמות קיימת של רכוש שברשות בעליה. הכרנו גם את המספרים השליליים שבעזרתם ניתן, למשל, לייצג את כמות או גודל של חוב. הכרנו גם את המספר אפס שאיננו חיובי ואיננו שלילי ושבעזרתו ניתן, למשל, לייצג את מה שאיננו בנמצא (לא לזכות ולא לחובה).

הכרנו גם את הפעולות הבסיסיות שניתן להפעיל בין כל שני מספרים שלמים: חיבור, חיסור, כפל וחילוק.

כל פעולת חיבור בין שני מספרים שלמים תיתן תוצאה שגם היא מספר שלם.
כל פעולת חיסור בין שני מספרים שלמים תיתן תוצאה שגם היא מספר שלם.
כל פעולת כפל בין שני מספרים שלמים תיתן תוצאה שגם היא מספר שלם.

פעולת חילוק בין שני מספרים שלמים לא בהכרח תיתן תוצאה שגם היא מספר שלם. לפעמים נקבל תוצאה שהיא מספר שלם ולפעמים נקבל תוצאה שהיא אינה מספר שלם.

הנה מספר דוגמאות למספרים שאינם מייצגים כמות שלמה: חצי, רבע, שליש, חמישית, שני-שליש, שלושה-רבעים וכו'.

בעזרת מספרים חלקיים אלו ניתן לייצג כמות שאינה שלמה. למשל, חצי כוס מים, רבע כפית סוכר, שליש בקבוק מיץ וכו'.

נבחן את הדוגמה הבאה:

יבול שדהו של שמעון היה השנה מוצלח ביותר ונותרו לו חמישה שקי קמח עודפים מעבר למה שהיה זקוק לעצמו. שמעון רצה לחלק את השקים העודפים בין שני בניו. כמה שקים יקבל כל בן?

הפתרון הוא פשוט. שמעון יחלק את שקי הקמח שלו אחד אחרי השני בין שני בניו. שמעון יחלק שק אחד לבנו הבכור ומיד אחר-כך יחלק שק אחד לבנו הצעיר. לאחר-מכן שוב יחלק שק אחד לבכור ושק אחד נוסף לבנו הצעיר. כך ימשיך שמעון בחלוקה עד שיאזלו כל השקים מערימת השקים העודפים שלו. נמספר את השקים מ-1 ועד ל-5 ונראה לאיזה בן יגיע כל שק. הנה כך:

   שק מספר 1 יחולק לבן הבכור
   שק מספר 2 יחולק לבן הצעיר
   שק מספר 3 יחולק לבן הבכור
   שק מספר 4 יחולק לבן הצעיר
   שק מספר 5 יחולק לבן הבכור

בסוף תהליך החלוקה מתברר כי הבן הבכור קיבל שלושה שקי קמח (השקים שמספריהם: 1, 3 ו-5) ואילו הבן הצעיר קיבל רק שני שקי קמח (השקים שמספריהם: 2 ו- 4).

הבן הצעיר, המקופח, התלונן בפני אביו על החלוקה שאינה שווה. שמעון האבא הסכים כי החלוקה אינה צודקת אך טען כי אין כל דרך אחרת בה ניתן היה לחלק את שקי הקמח בין שניהם בצורה שווה. אם היו ארבעה שקים עודפים או שישה שקים עודפים או כל מספר זוגי אחר של שקים אז באמת ניתן היה לחלק את השקים באופן שווה. מכיוון שישנם חמישה שקי קמח לא ניתן לחלק אותם בצורה הוגנת ושווה בין שני הבנים. תמיד תסתיים החלוקה בכך שאחד הבנים יקבל שלושה שקים ואילו הבן האחר יקבל רק שניים.

אבל אז הבן הבכור של שמעון חשב לרגע והציע חלוקה חדשה. במקום לחלק את שקי הקמח כך שכל בן יקבל מספר שלם אבל לא זהה של שקים ניתן לבצע חלוקה בה כל בן יקבל מספר לא שלם אבל כן זהה של שקי קמח. שמעון הציע שאת ארבעת השקים הראשונים, אלו הממוספרים בין 1 ל-4 יחלקו כמו מקודם. כך לכל בן יהיו בדיוק שני שקי קמח שלמים. את שק הקמח החמישי הוא הציע לחלק בינו ובין הבן הצעיר, כך שלכל בן יחולק רק עוד חצי שק קמח ולא עוד שק קמח אחד שלם.

כך מספר שקי הקמח שקיבל כל בן בסוף החלוקה הוא שני שקים שלמים ועוד חצי שק, כלומר שניים וחצי.

שמעון התלהב מאוד מהרעיון של בנו הבכור ורצה לתעד את החלוקה לדורות הבאים. שמעון ניגש אל פנקס הרישומים שלו ורצה לרשום כיצד חולקו חמשת שקי הקמח העודפים בין שני בניו. הוא רשם את המספר שתיים ולידו רצה להוסיף את המספר חצי. אבל איך רושמים מספר שהוא חצי?

ייצוג של שברים


המספר חצי אינו שלם אלא רק חלק מתוך שלם או שבר מתוכו. ניתן לדמות זאת לאגרטל חרסינה אחד שלם הנופל ארצה ונשבר למספר שברים. מכן שמם העברי של מספרים אלו המהווים שבר (חלק) מתוך השלם.

השבר מייצג את החלק יחסי מתוך השלם.

כתיבה של מספר שהוא שבר היא בעזרת שני מספרים הכתובים אחד מתחת לשני כאשר קו חלוקה אופקי מפריד בינם.

מספר עליון
───────────
מספר תחתון

המספר התחתון מבין השניים יציין את סך מספר השברים/חלקים הכולל אליהם מתחלק השלם. למשל, לכמה שברים/חלקים סך-הכול נשבר האגרטל השלם.

המספר העליון מבין השניים יציין את מספר חתיכות השברים/חלקים שבכמות הנספרת.

מספר החלקים שבכמות הנספרת
───────────────────────────
סך מספר החלקים הכולל שבשלם

למשל, בנו הצעיר של שמעון התרגש מעניין חלוקת שקי הקמח ותוך כדי ריקודו הפיל ושבר בטעות את האגרטל. האגרטל נשבר לארבע שברים. שני הבנים מיהרו לאסוף את השברים שהיו על הרצפה. הבן הצעיר אסף רק שבר אחד מתוך הארבעה. הבן הבכור אסף את שלושת השברים הנותרים.

סך מספר החלקים הכולל שבאגרטל השלם הוא 4.
מספר החלקים בכמות שהבן הצעיר אסף הוא 1.

לכן, מתוך האגרטל השלם הבן הצעיר אסף רבע:

1

4

מספר החלקים בכמות שהבן הבכור אסף הוא 3.

לכן, מתוך האגרטל השלם הבן הבכור אסף שלושה-רבעים:

3

4

נחזור לדוגמה הקודמת עם שמעון, שני בניו וחלוקת שקי הקמח. בדוגמה הקודמת לאחר חלוקת ארבעת השקים הראשונים בין שני הבנים נותר לחלק עוד שק אחד, השק החמישי, בין שניהם. שק בודד אחד שלם זה חולק שווה בשווה בין שני הבנים. התוצאה המתקבלת מהחלוקה היא חצי שק קמח שניתן לכל בן בנפרד. במקרה זה מספר העצמים השלמים שברצוננו לחלק הוא שק קמח אחד, לכן המספר העליון יהיה אחד. את מספר השקים הזה ברצוננו לחלק שווה בשווה בין שני הבנים, לכן המספר התחתון יהיה שניים. התוצאה המתקבלת המייצגת את המילה חצי תראה לכן כך:

1
-
2

בעזרת שני המספרים, 1 ו-2, הצלחנו לבטא מספר חדש שערכו הוא חצי. זהו חצי מתוך שלם.

כעת יכול שמעון לרשום שבשנה מוצלחת זו הוא חילק את חמשת שקי הקמח העודפים בין שני בניו שווה בשווה, כך שמספר שקי הקמח שכל בן קיבל הוא:

2 1/2

השבר מורכב כאמור משני מספרים שקו אופקי מפריד ביניהם.
המספר העליון קרוי "מוֹנֵה".
המספר התחתון קרוי "מְכָנֵה".

מונה
────
מכנה

מטעמי נוחות כתיבה בהדפסה, במסכים אלקטרוניים וכו' מקובל לרשום את השבר כששני המספרים, המונה והמכנה, והקו המפריד ביניהם נמצאים בשורה אחת. הקו המפריד הופך מקו אופקי לקו אלכסוני. למשל,

שבר = מכנה / מונה
    חצי = 1/2
    שליש = 1/3
    רבע = 1/4

כפי שכבר ראינו קודם שבר מתקבל לא רק מחלוקה של שלם אחד למספר חלקים. לפעמים נקבל שבר כשנחלק כמות הגדולה מ-1 למספר חלקים שווים. למשל,

    שני-שליש = 2/3
    שלושה-רבעים = 3/4

הנה דוגמה נוספת לשימוש במספר שהוא שבר. לראובן גם הייתה שנה מוצלחת בה הוא הרוויח 43 שקלים יותר ממה שציפה להרוויח. ראובן רצה לחלק את הרווח הבלתי צפוי בין ארבעת ילדיו: ציפורה, יהונתן, רבקה ובנימין. תחילה הוא חילק עשרה שקלים לכל אחד מילדיו. ציפורה קיבלה עשרה שקלים, יהונתן קיבל עשרה, רבקה קיבלה עשרה שקלים וגם בנימין קיבל עשרה שקלים. בסך הכול קיבלו ארבעת ילדיו של ראובן ארבעים שקלים: 10+10+10+10=40. כעת נותרו בידי ראובן עוד שלושה שקלים כדי לחלק בין ארבעת ילדיו. כיצד הוא יוכל לחלק את שלושת השקלים הנותרים שווה בשווה ביניהם?

שמעון בא ועזר לראובן בחלוקה זו. הכמות שיש לחלק היא 3, כי נותרו 3 שקלים. זה יהיה המספר העליון שבשבר, הוא המונה של השבר. את הכמות הזו יש לחלק ב- 4, כי לשמעון 4 ילדים.

בנוסף ל- 10 השקלים השלמים יקבל כל ילד גם:

3 שקלים
        ────────(לחלק לְ)
4 ילדים

החלוקה תיתן את השבר,

3/4 שקל לילד

כלומר כל ילד מילדיו של ראובן יקבל 10 שקלים ועוד 3/4 משקל אחד.

הערה לסיום: השברים הם מספרים המבוטאים בעזרת יחס בין שני מספרים, המונה והמכנה. כל שבר מייצג חלק יחסי מתוך השלם. מסיבה זו מכונים השברים בלעז "מספרים רָאצְיוֹנַלִיִים" (רָאצְיוֹ = יחס בלעז).

שבר מנוון וצמצומו


לפעמים ייתכן וניתקל בשבר מנוון. שבר מנוון הינו שבר שניתן לחלק את המונה שלו ואת המכנה שלו באותו מספר וכך לקבל שבר בעל מונה ומכנה קטנים יותר השומר על ערכו המקורי. למשל נבחן את הבעיה הבאה:

לרשותה של גלית 4 שקיות הפתעה עודפים מחגיגות יום-ההולדת שלה. גלית רוצה לחלק את אותן שקיות הפתעה עודפות בין 8 חברותיה הקרובות ביותר. כמה שקיות הפתעה תקבל כל חברה קרובה של גלית?

נבנה את השבר מהמספרים שצוינו בבעיה ונקבל כי כל חברה קרובה תזכה ל-

4/8 שקיות הפתעה

בשבר שהתקבל, 4/8, גם המונה וגם המכנה ניתנים לחלוקה ללא שארית במספר השלם 4. לכן ניתן לצמצם את השבר ולהביאו לצורתו הבסיסית ביותר. נצמצם את השבר על-ידי חלוקת המונה ב-4 וחלוקת המכנה באותו מספר 4. חלוקת המונה שערכו 4 ב-4 נותנת את המנה 1 ללא שארית, לכן 1 יהיה ערכו החדש של מכנה השבר המצומצם. חלוקת המכנה שערכו 8 ב-4 נותנת את המנה 2 ללא שארית, לכן 2 יהיה ערכו החדש של מונה השבר המצומצם. נכתוב את השבר המנוון מחדש בצורתו המצומצמת:

4/8 = 1/2

כלומר, כל חברה קרובה של גלית תקבל חצי שקית הפתעה.

נבחן דוגמה נוספת. גלית גילתה שבעצם יש לה 6 שקיות הפתעה עודפות לחלק ל-8 חברותיה הקרובות. כמה שקיות הפתעה תקבל כל חברה קרובה של גלית במקרה זה?

שוב, נבנה את השבר מהמספרים המוזכרים בבעיה. יש לחלק 6 שקיות הפתעה ל-8 חברות. לכן כל חברה תקבל,

6/8 שקיות הפתעה

גם שבר זה ניתן לצמצום לשבר בסיסי יותר. ניתן לחלק את המונה ואת המכנה באותו מספר ולקבל בכל חלוקה מספר שלם ללא שארית. המספר בו ניתן לצמצם את השבר הוא 2. ניתן לחלק את המונה שערכו 6 ב-2 ולקבל את המנה 3 ללא שארית. ניתן לחלק את המכנה שערכו 8 ב-2 ולקבל את המנה 4 ללא שארית. נבנה את השבר המנוון מחדש עם הערכים המצומצמים ונקבל את השבר המצומצם הבא:

6/8 = 3/4

כלומר, במקרה זה כל חברה קרובה של גלית תקבל שלושה-רבעים משקית הפתעה אחת שלמה.

שבר מדומה


נחזור לבעיה הראשונה בה נפתח פרק זה. שמעון רוצה לחלק את חמשת שקי הקמח העודפים מיבול השדה שלו בין שני בניו. אל פתרון הבעיה ניתן היה להגיע גם ישירות על-ידי הצבת שני המספרים לתוך מבנה השבר כמונה וכמכנה שלו. יש לחלק 5 שקי קמח בין 2 בנים,

5 שקי קמח
         ────────── (לחלק לְ)
2 בנים

5/2 שקי קמח לילד

משמעות השבר היא שחמשת השקים שבמונה מחולקים לשני הבנים שבמכנה. אנחנו כבר יודעים כי למעשה כל בן קיבל מהחלוקה שני שקים שלמים ועוד חצי שק. לכן זהו למעשה שבר מדומה המחביא בתוכו גם מספר שלם. כל שבר בו המונה שווה בערכו (המוחלט) למכנה או גדול ממנו הנו שבר מדומה המחביא בתוכו גם מספר שלם.

פירוק שבר מדומה


כאמור, שבר מדומה הנו שבר המחביא בתוכו מספר שלם. כדי למצוא את המספר השלם החבוי בשבר יש לבצע פעולה של פירוק השבר המדומה.

פעולת פירוק השבר המדומה תפרק את השבר למספר שלם ולשבר אמיתי שאינו מחביא יותר מספר שלם בתוכו. פירוק השבר המדומה מתבצע על-ידי חלוקת מונה השבר במכנה השבר. המספר השלם המתקבל מתוצאת החלוקה, כלומר המספר ללא השארית, הוא ערכו של השלם החבוי. השארית המתקבלת בחלוקה היא המונה החדש של השבר האמיתי שנשאר.

במקרה שלנו המונה 5 מתחלק 2 פעמים במכנה 2 ונותרת השארית 1. לכן, המספר השלם החבוי בשבר המדומה הוא 2. את השארית 1 שנותרה מהחלוקה נשאיר במבנה השבר כמונה החדש במקום המונה הקודם שהיה 5. לכן השבר המדומה 5/2 יקבל לאחר פירוקו לשבר אמיתי את הייצוג הבא:

5/2 = 2 1/2

נדגים את מציאת השבר האמיתי מתוך השבר המדומה גם בעזרת הדוגמה השנייה שהובאה בפרק זה. ראובן רוצה לחלק את 43 השקלים העודפים שהרוויח בין 4 ילדיו. נרשום מספרים אלו ישירות לתוך מבנה השבר כמונה השבר וכמכנה השבר בהתאמה:

43/4

גם כאן השבר שהתקבל הנו שבר מדומה המחביא בתוכו מספר שלם כלשהו. נמצא את אותו מספר שלם בעזרת ביצוע פעולת חלוקה בין המונה שערכו 43 לבין המכנה שערכו 4. החלוקה נותנת את המספר השלם 10 ושארית של 3. לכן, המספר 10 הוא המספר השלם החבוי בשבר המדומה והשארית 3 תחליף במבנה השבר את המונה 43 של השבר המדומה. לכן,

43/4 = 10 3/4

לא תמיד תתקבל שארית מחלוקת המונה במכנה. במקרים בהם השארית היא אפס המספר השלם שהיה חבוי בשבר המדומה הוא התוצאה היחידה מפירוק השבר המדומה לשבר אמיתי ואין שבר שיתלווה אליו. למשל, אם לראובן היו 40 שקלים עודפים לחלק בין 4 ילדיו אזי מתקבל השבר המדומה 40/4. במקרה זה חלוקת מונה השבר במכנה השבר נותנת מנה שלמה שערכה 10 וללא כל שארית. לכן,

40/4 = 10

למעשה, מקרה זה הוא מקרה בו הכמות המחולקת מתחלקת באופן שווה בין יעדיה ללא צורך בעירוב שברים.

נשים לב שבמקרה המיוחד בו מונה השבר ומכנה השבר זהים בערכם מתפרק השבר המדומה תמיד למספר השלם 1. למשל, אם לשמעון היו רק 2 שקי קמח עודפים לחלק בין 2 בניו, אז השבר המדומה היה 2/2. חלוקת המונה במכנה נותנת תוצאת מנה של 1 ושארית אפס. לכן,

2/2 = 1

ותוצאה זו נכונה לכל שבר שהמכנה שלו והמונה שלו שווים בערכם.

בניית שבר מדומה


ניתן גם לבצע פעולה הפוכה לפירוק שבר מדומה. כלומר, בהינתן מספר המורכב מחלק שלם ומחלק שהוא שבר ניתן לבנות מהמספר המורכב שבר מדומה. פעולה זו תשמש אותנו מאוחר יותר כאשר נרצה לבצע פעולות חשבון בסיסיות עם שברים.

כדי לבנות שבר מדומה ממספר המכיל שלם ושבר יש להכפיל את החלק השלם במכנה ולהוסיף את מנת ההכפלה למונה השבר. למשל,

3 1/2 = 7/2

המכנה של השבר המדומה זהה למכנה של השבר במספר המורכב שערכו 2. ערכו החדש של המונה של השבר המדומה התקבל מהחישוב 3 x 2 + 1 = 7.

דוגמה נוספת,

10 3/4 = 43/4

המכנה נשאר באותו ערך 4. ערכו החדש של המונה של השבר המדומה התקבל מהחישוב 10 x 4 + 3 = 43.

פעולת חיבור בשברים


גם בין שברים כמו בין מספרים שלמים ניתן לבצע את ארבע פעולות החשבון הבסיסיות. נתחיל קודם בלימוד פעולת חיבור בין שני שברים.

הדרך הכללית ביותר לחבר בין שני שברים היא בעזרת שתי הפעולות הבאות:

    1. המכנה של השבר המחובר יהיה מנת המכפלה של המכנה של השבר האחד במכנה של השבר השני
    2. המונה של השבר המחובר יהיה סכום המכפלות של כל מונה במכנה של השבר האחר

מונה2     מונה1
  ─────── + ─────── =
מכנה2     מכנה1


מונה1 x מונה2 + מכנה2 x מכנה1
───────────────────────────────
מכנה1 x מכנה2

למשל,

1    1
  ── + ── =
2    4

1 x 4 + 1 x 2
  ────────────── =
2 x 4

4 + 2
  ────── =
8

6
  ── =
8

3
  ── =
4

כדי לחבר 1/2 עם 1/4 נחשב קודם את המכנה של השבר המהווה את סכומם. מכנה השבר המחובר הוא מכפלת המכנה של השבר הראשון, 2, במכנה של השבר השני, 4. נקבל שהמכנה של השבר המחובר הוא:

2 x 4 = 8

ערכו של המונה של השבר המחובר מתקבל מסכום של שתי מכפלות. מכפלה ראשונה היא של המונה של השבר הראשון, 1, במכנה של השבר השני, 4:

1 x 4 = 4

מכפלה שנייה היא של המונה של השבר השני, 1, במכנה של השבר הראשון, 2:

1 x 2 = 2

כעת, המונה של השבר המחובר המתקבל מחיבור שתי המכפלות שחושבו לעיל הוא:

1 x 4 + 1 x 2 = 4 + 2 = 6

כך התקבל שסכום שני השברים 1/2 ו- 1/4 הוא:

1/2 + 1/4 = 6/8

שבר זה הנו מנוון כי ניתן לצמצמו לשבר בעל מונה ומכנה קטנים יותר. צמצום השבר לצורתו הבסיסית מתקבל על-ידי חלוקת מונה השבר ומכנה השבר ב- 3:

1/2 + 1/4 = 6/8 = 3/4

נבחן דוגמה נוספת.

מה סכום שני השברים: 2/3 ו- 1/6?

נחשב קודם את מכנה השבר המהווה את סכומם על-ידי הכפלת שני המונים של שני השברים:

3 x 6 = 18

המונה של השבר המהווה את סכום שני השברים מתקבל מסכום שני ההכפלות הצולבות של מונה במכנה:

2 x 6 + 1 x 3 = 12 + 3 = 15

כך שהשבר המתקבל הוא:

15/18 = 5/6

הערה: השבר המנוון צומצם על-ידי חלוקת המונה והמכנה ב-3 לקבלת שבר בסיסי יותר.

גורם משותף

עד עתה הכרנו את הדרך הכללית בה ניתן לחשב את סכומם של שני שברים. אך לא תמיד זוהי הדרך הקלה והמהירה ביותר. לפעמים קל יותר לחבר בין שני שברים אם קודם נצליח למצוא גורם משותף של מכניהם.

לשם כך נסביר קודם מהו גורם משותף של שני שברים.

ישנם מספרים שלמים שניתן לתאר אותם כרצף מכפלות של מספרים שלמים השונים מאחד. למשל,

6 = 2 x 3
22 = 2 x 11
70 = 2 x 5 x 7
714 = 2 x 3 x 7 x 17

את המספרים המכפילים המופיעים ברצף יש לסדר בסדר עולה לשם הנוחות.

כל מספר המופיע ברצף המכפלות נקרא גורם של המספר. ברצף המכפלות יכול הגורם להופיע יותר מפעם אחת. למשל,

18 = 2 x 3 x 3
500 = 2 x 2 x 5 x 5 x 5

ישנם כמובן גם מספרים שלא ניתן לתארם כרצף של שתי מכפלות או יותר. עבור מספרים אלו קיים גורם הכפלה אחד בלבד והוא המספר עצמו. למשל,

1 = 1
2 = 2
3 = 3
13 = 13

כדי לפרק מספר לגורמיו הבסיסיים ביותר אסור שיופיע ברצף המספרים המכפילים מספר שניתן גם אותו לפרק לגורמים. למשל, פירוק בסיסי של המספר 12 לגורמיו יהיה

12 = 2 x 2 x 3
ולא

12 = 4 x 3

גורם משותף של שני מספרים הוא מספר המופיע ברצף מכפלות הגורמים של שני המספרים. למשל למספרים הבאים יש גורם משותף אחד או יותר המסומנים בהדגשה:

51 = 3 x 17; 85 = 5 x 17
24 = 2 x 2 x 3 x 3; 15 = 3 x 5
315 = 3 x 3 x 5 x 7; 42 = 2 x 3 x 7

חיבור בין שני שברים בעלי גורם משותף במכניהם

כדי לחבר שני שברים שלמכניהם גורם משותף ניתן לקצר את תהליך חישוב פעולת החיבור בין שני השברים. למשל נבחן את חיבור שני השברים הבאים,

1/6 + 3/4 = ?

הגורמים של המכנה של השבר הראשון הם,

6 = 2 x 3

הגורמים של המכנה של השבר השני הם,

4 = 2 x 2

בשיטת החיבור הכללית בין שני שברים הכפלנו את המכנה של השבר הראשון במכנה של השבר השני כדי לקבל את המכנה השל השבר המחובר. בשיטת חיבור של מקרה פרטי בו יש לפחות גורם משותף אחד בין שני השברים ניתן לבצע הכפלה קטנה יותר. במקרה הפרטי של גורם משותף די להכפיל מכנה של שבר אחד מתוך השניים בכל הגורמים הנמצאים במכנה השבר האחר ושחסרים בו.

למשל, בדוגמה המספרית הקודמת ניקח את המכנה 6 של השבר הראשון ונכפיל אותו בכל הגורמים המופיעים במכנה של השבר השני שהוא 4 ושחסרים לו. למספר 6 יש שני גורמי הכפלה והם: 2 ו-3. למספר 4 יש גם שני גורמי הכפלה והם 2 ו-2. במספר 6 מופיע הגורם 2 רק פעם אחת, לכן למספר 4 יש גורם אחד שאינו מופיע במספר 6 והוא הגורם 2 השני שלו.

נכפיל את המכנה 6 בגורם 2 החסר לו ונקבל את ערכו של המכנה של השבר המחובר:

6 x 2 = 12

ניתן היה להגיע לערך זה של המכנה המחובר גם אם היינו בוחרים את המכנה של השבר השני 4 ומכפילים אותו בגורמים של השבר הראשון 6 שחסרים לו. במספר 6 מופיע הגורם 3 שאינו מופיע במספר 4, לכן הגורם החסר למספר 4 הוא 3:

4 x 3 = 12

כדי למצוא את ערכו של המונה יש לחבר שתי מכפלות. מכפלה ראשונה מתקבלת מהכפלת המונה של השבר הראשון בכל הגורמים המופיעים במכנה של השבר השני ושחסרים במכנה שלו. הנה כך:

1 x 2 = 2

מכפלה שנייה מתקבלת מהכפלת המונה של השבר השני בכל הגורמים המופיעים במכנה של השבר הראשון ושחסרים במכנה שלו. הנה כך:

3 x 3 = 9

וסכומם:

1 x 2 + 3 x 3 = 11

ולכן השבר המחובר יהיה:

1/6 + 3/4 = 11/12

שיטת חיבור זו נראית מסובכת יותר ולא כדאית לשימוש לעומת שיטת החיבור הכללית, אך יש מקרים בהם בכל-זאת שיטת חיבור זו קלה, יעילה ומהירה יותר. מקרים אלו הם המקרים בהם כל הגורמים של מכנה של שבר אחד משותפים כולם למכנה של השבר השני. למשל,

4/5 + 3/10 = ?

במקרה זה למכנה של השבר הראשון יש רק גורם אחד וערכו 5.
למכנה של השבר השני יש שני גורמים:

10 = 2 x 5

לכן המכנה של השבר המחובר יהיה פשוט 10. את המונה של השבר הראשון יש להכפיל בגורם שחסר לו והוא 2. את המונה של השבר השני אין צורך כלל להכפיל כי כל הגורמים של השבר הראשון (יש רק גורם אחד וערכו 5) מופיעים בין גורמי המכנה שלו. ניתן להתייחס אליו כמו מוכפל בערך אחד בלבד. החיבור בין שתי המכפלות ייתן את ערכו החדש של המונה והוא 4x2 + 3 = 15. לכן ערכו של השבר המחובר הוא:

4/5 + 3/10 = 15/10

קיבלנו שבר מדומה. נחלץ ממנו את הערך השלם החבוי ונקבל:

4/5 + 3/10 = 15/10 = 1 5/10 = 1 1/2

להלן עוד דוגמה המצדיקה את השימוש בגורמים של כל מכנה לשם קביעת המכנה של השבר המחובר. נרצה לחבר את שני השברים הבאים:

3/7 + 5/70 = ?

בדרך הכללית של חיבור בין שני שברים המכנה של השבר המחובר יהיה:

7 x 70 = 490

המונה יתקבל מסכום המכפלות והוא יהיה:

3 x 70 + 5 x 7 = 210 + 35 = 245

והשבר יהיה:

3/7 + 5/70 = 245/490 = 1/2

אם ניעזר בשיטה העושה שימוש בגורמים של כל מכנה נקבל שהמכנה של השבר המחובר הוא 70. ערך המונה יהיה:

3 x 10 + 5 = 35

והשבר המחובר יהיה:

3/7 + 5/70 = 35/70 = 1/2

חוסר גורם משותף

כאשר אין גורם משותף למכנה של השבר הראשון ולמכנה של השבר השני אז אין ברירה אלא לחזור לשיטה הכללית של חיבור בין שני שברים שנלמדה קודם. למשל,

3/10 + 5/21 = ?

הגורמים של המכנה של השבר הראשון הם:

10 = 2 x 5

ושל המכנה של השבר השני הם:

21 = 3 x 7

אין גורם משותף ולכן נחבר בין שני השברים לפי השיטה הכללית לחיבור בין שני שברים:

3/10 + 5/21 = 113/210

פעולת חיסור בשברים


פעולת חיסור בשברים דומה מאוד לפעולת חיבור. ההבדל בין שתי הפעולות הוא שבפעולת חיבור מבצעים חיבור בין מכפלות המונים ואילו בפעולת חיסור מבצעים חיבור בין מכפלות המונים. לדוגמה, נחבר בין שני שברים ומיד לאחר-מכן נחסר בין אותם שני שברים:

3/7 + 2/5 = ?

ערך המכנה של השבר המחובר הוא

7 x 5 = 35

סכום מכפלות המונים הוא

3 x 5 + 2 x 7 = 29

לכן סכום שני השברים הוא:

3/7 + 2/5 = 29/35

כעת נבצע פעולת חיסור בין שני השברים:

3/7 – 2/5 = ?

ערך המכנה של השבר המחוסר הוא כמו שחושב קודם

7 x 5 = 35

הפרש מכפלות המונים הוא

3 x 5 – 2 x 7 = 1

לכן תוצאת פעולת החיסור בין שני השברים היא:

3/7 – 2/5 = 1/35

ודוגמה נוספת:

3/4 – 7/8 = ?

המכנה של השבר החדש המייצג את ההפרש בין שני השברים יהיה 8. בחירתנו לוקחת בחשבון את הגורמים של המכנה של כל שבר. ערך המונה החדש יהיה הפרש מכפלות המונים של השברים אותם יש לחסר:

3x2 – 7 = -1

ולכן הפרש השברים יהיה:

3/4 – 7/8 = -1/8

עד כה עסקנו רק בשברים חיוביים, אך כמו מספרים שלמים גם שברים יכולים לייצג כמות שלילית המסמלת, למשל, חוב.

בכך מתרחבת משפחת המספרים שלנו להכליל גם שברים חיוביים וגם שברים שליליים.

פעולת כפל בשברים


הדרך להכפלת שני שברים היא על-ידי שתי הפעולות הבאות:
    1. מונה השבר המוכפל יהיה מנת ההכפלה בין מונה השבר הראשון במונה השבר השני.
    2. מכנה השבר המוכפל יהיה מנת ההכפלה בין מכנה השבר הראשון במכנה השבר השני.

לשם דוגמה נתחיל קודם בבעיה המערבת הכפלה של שבר במספר שלם. במקרה זה ניתן להתייחס למספר השלם כאל שבר בעל מכנה של אחד. בכיתתה של גלית 30 תלמידים מלבדה. גלית הזמינה שני-שליש מהם למסיבת יום-הולדתה. אך בשל מזג-האוויר הסוער רק שלושה-רבעים מאלו שהוזמנו הגיעו. איזה חלק מכלל ילדי הכיתה (להוציא את גלית) הגיעו בסופו של דבר ליום-הולדתה?

נחשב קודם כמה תלמידים הוזמנו על-ידי גלית למסיבת יום-הולדתה. צריך למצוא כמה הם שני-שליש של שלושים. מילים כמו "של", "מתוך", "מ-" וכדומה מרמזים על כך שמדובר במציאת חלק יחסי ממשהו. כאשר צריך למצוא חלק יחסי ממשהו יש להשתמש בכפל.

אז נחשב קודם כמה הם שני-שליש מ- 30. נשתמש בכפל ונקבל שמספר הילדים שהוזמנו הוא,

30 x 2/3 = 60/3 = 20

כדי להגיע לתוצאה פעלנו לפי שני הכללים שבתחילת הפרק. אל המספר השלם 30 אפשר להתייחס כמו אל שבר מדומה בעל מכנה 1,

30 = 30/1

הכפלנו את מונה השבר, 2, במספר השלם, 30 (שהוא גם מונה השבר המדומה). תוצאת ההכפלה היא 60. המכנה של השבר נותר ללא שינוי, כי מכנה השבר השני מוכפל ב-1 שהוא מכנה השבר המדומה.

קיבלנו שבר מדומה, 60/3, שאותו ניתן לצמצם פשוט למספר שלם, 20, על-ידי חלוקת המונה והמכנה בגורם המשותף שלהם שהוא 3.

מתוך הכמות של 20 תלמידים שהוזמנו רק החלק ה- 3/4 אכן הגיעו למסיבת יום-ההולדת. נמצא בכמה תלמידים מדובר כשחלקם הוא 3/4 מתוך 20:

3/4 x 20 = 60/4 = 15

נשים לב שאין זה משנה אם השבר הוא המוכפל השני כמו בחישוב הקודם או המוכפל הראשון כמו בחישוב שבוצע עתה. בכל מקרה אותם שני כללי חישוב נשמרים. במקרה של הכפלה במספר שלם ניתן פשוט להכפיל את המונה של השבר במספר השלם בעוד שהמכנה נותר ללא שינוי.

קיבלנו שמספר התלמידים שהגיעו למסיבה הוא 15. אבל השאלה בבעיה לא שאלה כמה תלמידים הגיעו למסיבה, אלא איזה חלק מכלל ילדי הכיתה (להוציא את גלית) הגיעו בסופו של דבר למסיבת יום-ההולדת?

כדי לחשב את מהו החלק היחסי של 15 מ- 30 נחלק את שני המספרים כדי לקבל את השבר:

15/30 = 1/2

כלומר הפתרון לבעיה שהוצגה הוא שחלקם היחסי של הילדים שהגיעו בסופו של דבר למסיבה מתוך כלל הילדים בכיתה (להוציא את גלית) הוא חצי.

בדרך החישוב שלעיל חישבנו בכל שלב את הכמות המספרית של הילדים ולא הסתפקנו רק בידיעת החלק היחסי שלהם.
השאלה שכעת נשאלת היא האם באמת היה צורך לערוך את כל החישוב הארוך הזה?
ושאלה יותר קשה היא האם היה באמת צריך לדעת מהו בכלל מספר הילדים בכיתה כדי לחשב זאת?

התשובה לשתי השאלות היא "לא!". נראה כעת את הדרך לפתור את אותה הבעיה בעזרת שימוש בחלק היחסי המיוצג בשברים. קודם לכן, נציג שוב את הבעיה, הפעם מבלי לגלות אפילו מהו מספר הילדים בכיתה.

גלית הזמינה למסיבת יום-הולדתה שני-שליש משאר ילדי הכיתה, כלומר להוציא את עצמה כמובן. אך בשל מזג-האוויר הסוער רק שלושה-רבעים מאלו שהוזמנו הגיעו. איזה חלק מכלל ילדי הכיתה (להוציא את גלית) הגיעו בסופו של דבר ליום-הולדתה?

החלק היחסי של מספר המוזמנים מילדי הכיתה הוא 2/3. מתוכם רק 3/4 הגיעו בסופו של דבר. כלומר, למסיבה הגיעו רק 3/4 מתוך 2/3. נוכל לחשב את החלק היחסי של אלו שהגיעו למסיבה מתוך כלל ילדי הכיתה על-ידי הכפלה פשוטה של שני השברים זה בזה, כך:

3/4 x 2/3 = 3x2 / 4x3 = 6/12 = 1/2

אל התוצאה הגענו על-ידי הכפלת שני המונים של שני השברים זה בזה, 3x2=6, ועל-ידי הכפלת המכנה של השבר הראשון במכנה של השבר השני, 4x3.

קיבלנו את אותה תוצאה כמו בחישוב הארוך והמייגע שביצענו קודם-לכן. נשים לב שגם לא הזדקקנו כלל לדעת מהו מספר הילדים הכולל בכיתה. אין לנו בכלל שום מידע ושום דרך לדעת את מספר הילדים בכיתה, את מספרם של אלו שהוזמנו ואו את מספרם של אלו שבסופו של דבר הגיעו. ידוע לנו רק חלקם היחסי בכל שלב ושלב וזה מספיק.

כך הדגמנו גם את הצורך בהכפלת שברים וגם את הדרך בה ההכפלה מתבצעת. הנה עוד מספר דוגמאות להכפלה בין שני שברים:

4/7 x 9/10 = 36/70 = 18/35

-2/3 x 4/5 = -8/15

5/3 x 7/8 = 35/24 = 1 11/24

-4/9 x -2/5 = 8/45

מסקנות:
אם אחד השברים בעל ערך שלילי, אז תוצאת המכפלה תהיה שלילית גם היא.
אם שני השברים שליליים, אז תוצאת המכפלה תהיה חיובית.
כדי לסמן ששבר הוא שלילי יסומן המונה שלו כבעל ערך שלילי ולא המכנה. אם מהגדרת הבעיה מכנה השבר הוא שלילי, אז נעביר את סימן השלילה למונה ופעולה זו לא תפגע בערך השבר.

שבר ייקרא "שבר הופכי" של שבר אחר אם המונה שלו שווה לערך המכנה של השבר האחר והמכנה שלו שווה לערך המונה של השבר האחר. למשל, הנה מספר שברים והשבר ההופכי שלהם:

3/7 ; 7/3
5/8 ; 8/5
-12/7 ; -7/12
1/2 ; 2/1 = 2
1/4; 4/1 = 4

מכפלה של שבר בשבר ההופכי לו לעולם תיתן תוצאה של 1. למשל,

3/7 x 7/3 = 21/21 = 1
1/2 x 2 = 1

בשביל מה צריך לדעת מהו שבר הופכי?
התשובה לכך בסעיף הבא העוסק בפעולת חילוק בין שני שברים.

פעולת חילוק בשברים


עד כה הכרנו בצורך לחבר בין שני שברים, לחסר בין שני שברים ואף להכפיל שבר בשבר. מדוע בכלל נרצה לחלק שבר בשבר?

את הצורך בחלוקת שבר בשבר נבין דרך דוגמה מספרית. אך לפני שנציג בעיה הכוללת חלוקה של שבר אחד בשבר אחר נציג קודם בעיה הכוללת חלוקה של מספר שלם במספר שלם אחר, ולאחר מכן חלוקה של מספר שלם בשבר.

נפתח בדוגמה של חלוקה של מספר שלם במספר שלם אחר.

אימא של גלית נתנה לגלית 60 שקיות הפתעה וביקשה ממנה שתחלק אותן בין כל ילדי 4 הכיתות שבבית-ספרה. כמה שקיות הפתעה על גלית לתת לכל כיתה וכיתה במידה והכיתות מכילות כולן מספר שווה של תלמידים?

הפתרון לבעיה שהוצגה הוא פשוט. ישנם 60 שקיות הפתעה שאותם יש לחלק בין 4 כיתות. לכן, מספר שקיות ההפתעה שכל כיתה תקבל בחלוקה הוא:

60 / 4 = 15

זוהי חלוקה של מספר שלם במספר שלם אחר. כדי למצוא את מספר שקיות ההפתעה שיש לחלק לכיתה אחת נחלק את סך שקיות ההפתעה שחולקו במספר הכיתות.

פתרון הבעיה הוא שכל כיתה תקבל 15 שקיות הפתעה.

כעת נציג דוגמה לחלוקה של מספר שלם בשבר.

גלית שינתה את דעתה והחליטה לחלק בבית-הספר רק 30 מתוך 60 שקיות ההפתעה שבילקוט שלה ואת השאר לשמור לעצמה. גלית רצתה לחלק את 30 שקיות ההפתעה רק לחבריה הקרובים ביותר בכיתה שלה. חבריה הקרובים מהווים מחצית מכלל ילדי הכיתה. לאחר שגלית חילקה ביניהם את שקיות ההפתעה התרעמו שאר ילדי הכיתה וחגית החליטה בלית ברירה לחלק שקיות הפתעה גם להם, כך שבסופו של דבר כל ילד בכיתה קיבל את אותו מספר שקיות הפתעה. כמה שקיות הפתעה סך-הכול נאלצה גלית לחלק בכיתתה?

במקרה זה הפתרון הוא פשוט על דרך ההיגיון גם ללא פעולת חילוק כלשהי. אם גלית חילקה 30 שקיות הפתעה למחצית ילדי הכיתה היא תאלץ לחלק עוד 30 שקיות הפתעה גם למחצית השנייה של הכיתה. כך כולם יקבלו בסופו של דבר את אותו המספר של שקיות הפתעה. הפתרון הוא שגלית נאלצה בסופו של דבר לחלק בכיתתה:

שלושים לחצי כיתה + שלושים לעוד חצי כיתה = שישים

או בקיצור

30 + 30 = 60

אבל כדי ללמוד את פעולת החילוק בין מספר שלם לשבר נגיע לפיתרון הבעיה גם בדרך חישובית קצת שונה.

בדוגמה הקודמת, הדוגמה של מספרים שלמים, כדי למצוא כמה שקיות הפתעה יש לחלק לכיתה אחת חילקנו את סך השקיות שחולקו במספר הכיתות שלהן הן חולקו.

בבעיה החדשה גלית חילקה 30 שקיות הפתעה לחצי מילדי הכיתה. כלומר, חולק סך של 30 שקיות הפתעה ל- 1/2 כיתה. כדי למצוא כמה שקיות הפתעה יש לחלק לכיתה שלמה אחת נחלק את סך השקיות שחולקו במספר הכיתות שלהן הן חולקו.

מספר הכיתות הוא השבר 1/2.
לכן מספר שקיות ההפתעה שעל גלית לחלק לכיתה אחת הוא:

30 ÷ 1/2 = ?

כיצד יש לחלק את המספר השלם בשבר?

הדרך לחישוב הפעולה הוא על-ידי הפיכת פעולת החלוקה לפעולת הכפלה.
במקום לבצע חלוקה בשבר ניתן לבצע הכפלה בהופכי של השבר.

נזכיר שהופכי של שבר מתקבל מהחלפה של המונה במכנה ושל המכנה במונה. למשל, הנה מספר דוגמאות לשבר ולהופכי שלו מייד אחריו:

37/42, 42/37

-6/11, -11/6

29/30, 30/29

4, 1/4

-1/9, -9

נחזור כעת לבעיה שלנו.

30 ÷ 1/2 = ?

ההופכי של השבר 1/2 הוא השבר המדומה 2/1 שהוא בעצם המספר השלם 2.

30 ÷ 1/2 = 30 x 2 = 60

כמובן שהגענו לאותו פתרון שהגענו אליו קודם בדרך ההיגיון. על גלית לחלק 60 שקיות הפתעה בכיתתה.

כמובן שלא תמיד יהיה קל להגיע לפתרון בדרך הגיונית כמו בבעיה שלעיל. נציג כעת דוגמה לבעיה בה קל יותר להגיע לפתרון דווקא בעזרת חלוקה בשבר.

גלית שוב שינתה את דעתה והחליטה לחלק בבית-הספר רק 24 מתוך כלל שקיות ההפתעה שבילקוט שלה ואת השאר לשמור לעצמה. גלית רצתה לחלק את 24 שקיות ההפתעה רק לחבריה הקרובים ביותר בכיתתה שלה. חבריה הקרובים מהווים 2/5 מכלל ילדי הכיתה. לאחר שגלית חילקה ביניהם את שקיות ההפתעה התרעמו שאר ילדי הכיתה וחגית החליטה בלית ברירה לחלק שקיות הפתעה גם להם, כך שבסופו של דבר כל ילד בכיתה יקבל את אותו מספר שקיות הפתעה. כמה שקיות הפתעה סך-הכול נאלצה גלית לחלק בכיתתה?

גלית חילקה 24 שקיות הפתעה ל- 2/5 מילדי הכיתה. כדי לחלק לכיתה אחת שלמה כך שכל ילד בכיתה יקבל את אותו מספר שקיות הפתעה כמו בחלוקה הראשונה מספר השקיות שעליה לחלק בסך-הכול הוא:

24 ÷ 2/5 = ?

24 ÷ 2/5 = 24 x 5/2 = 120/2 = 60

כלומר, גם במקרה זה על גלית לחלק בסופו של דבר את כל 60 שקיות ההפתעה שברשותה לכל ילדי כיתתה.

בשתי הדוגמאות האחרונות חילקנו מספר שלם בשבר. כעת נבחן דוגמה בה יש לחלק שבר בשבר.

גלית שוב שינתה את דעתה פעם נוספת והחליטה לחלק בבית-הספר 2/5 מתוך כלל שקיות ההפתעה שבילקוט שלה ואת השאר לשמור לעצמה. גלית רצתה לחלק את שקיות ההפתעה רק לחבריה הקרובים ביותר בכיתתה שלה. חבריה הקרובים מהווים 5/3 מכלל ילדי הכיתה. לאחר שגלית חילקה ביניהם את שקיות ההפתעה התרעמו שאר ילדי הכיתה וחגית החליטה בלית ברירה לחלק שקיות הפתעה גם להם, כך שבסופו של דבר כל ילד בכיתה יקבל את אותו מספר שקיות הפתעה. איזה חלק מסך שקיות ההפתעה נאלצה גלית לחלק בכיתתה?

נחשב זאת בעזרת חלוקה של שבר בשבר:

2/5 : 3/5 = ?

2/5 : 3/5 = 2/5 x 5/3 = 2x5 / 5x3 = 2/3

הפתרון לבעיה הוא שגלית חילקה בסופו של דבר 2/3 מסך שקיות ההפתעה שבילקוטה לכלל תלמידי הכיתה.

נשים לב שכדי להפוך את פעולת החילוק לפעולת כפל יש להחליף את השבר הימני בלבד בשבר ההופכי שלו.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשבון | חשבון בסיסי II : שברים | ייצוג עשרוני | אחוז | השוואות | עיגול מספרים ]