headline
Error processing SSI file




הגדרת הפונקציה ותכונותיה


תחום וטווח הפונקציה

בפרק הקודם הכרנו את צורת ההצגה של משוואה עם שני נעלמים כפונקציה. את שני הנעלמים נהוג לכנות גם בשם משתנים.

יתרונה של הפונקציה בכך שהיא מציגה באופן ברור את ערכו של המשתנה התלוי (y) כתלות בערכו של המשתנה הבלתי-תלוי (x). כך ניתן להציב ערכים שונים של המשתנה x ולקבל את ערכי y המתאימים להם.

y = f(x)

הפונקציה מתאימה לכל ערך של x מתוך קבוצת ערכים אפשריים של x ערך של y מתוך קבוצת ערכים אפשריים של y. ניתן לתאר זאת בעזרת האיור הבא,

איור תחום וטווח של פונקציה

תחום וטווח של פונקציה


קבוצת הערכים האפשריים של המשתנה הבלתי-תלוי x נקראת "תחום".
קבוצת הערכים האפשריים של המשתנה התלוי y נקראת "טווח".

הפונקציה מתאימה בין ערכי התחום לערכי הטווח, כך שלכל ערך בתחום יתאים ערך אחד בלבד בטווח.

הערה: יתכן והפונקציה תתאים ערך אחד משותף בטווח y לשני ערכי תחום x שונים, אך אסור שלערך אחד בתחום x יותאמו שני ערכי טווח y שונים. אחרת לא מדובר בפונקציה.

פונקציה חד חד-ערכית

כאשר לכל ערך של x בתחום מוגדר ערך שונה של y בטווח נקבל פונקצית התאמה חד חד-ערכית (בקיצור חח"ע) בין x ל- y.

כלומר, פונקציה מוגדרת חח"ע אם אין שני ערכים שונים של x מהם מתקבל אותו ערך של y.

לדוגמה, הפונקציות הבאות הן חח"ע עבור x המוגדר בתחום המספרים הממשיים,

y(x) = x
y(x) = 1/x

כדוגמה נגדית, הפונקציות הבאות אינן חח"ע עבור x המוגדר בתחום המספרים הממשיים,

y(x) = x2
y(x) = 1/x2

כי, למשל, עבור x = +1 וגם עבור x = -1 נקבל את אותו ערך של y, שהוא +1, בשתי הפונקציות שלעיל.

אך אם נגביל את המשתנה x להיות מוגדר רק בתחום המספרים החיוביים, אז נקבל ששתי הפונקציות האחרונות הן חח"ע תחת הגבלה זו.

פונקצית-על

פונקציה נקראת פונקצית-על אם לכל הערכים בטווח y מותאם ערך בתחום x.

כלומר, אם ניתן לקבל כל ערך של y כפי שמוגדר בטווח מהצבת ערך כלשהו של x מתוך התחום, אזי הפונקציה היא פונקצית-על.

לדוגמה, הפונקציה הבאה המוגדרת לכל תחום המספרים הממשיים היא פונקצית-על,

y = x + 1

הטווח בו מוגדר y הוא תחום המספרים הממשיים, לכן y יכול להיות כל ערך ממשי כלשהו.
התחום בו מוגדר x הוא גם תחום המספרים הממשיים, ומהצבה של כל ערך ממשי של x בפונקציה שלעיל ניתן יהיה לקבל כל ערך ממשי של y.

לדוגמה נגדית, אם נגדיר לפונקציה שלעיל שהתחום והטווח מוגדרים להיות רק קבוצת המספרים הממשיים האי-שליליים בלבד, אזי נקבל שהפונקציה היא כבר איננה פונקצית-על. קיימים ערכים של y אליהם לא ניתן להגיע מתוך הצבה של ערך של x. למשל, הערך אפס מוגדר בטווח אך שום ערך בתחום האי-שלילי של x לא ייתן y=0.

פונקציה הופכית

אם פונקציה מוגדרת כחח"ע וכפונקצית-על, אזי היא מוגדרת כפונקציה הפיכה. פונקציה הפיכה היא פונקציה שניתן למצוא לה פונקציה הופכית שבהפעלתה על תוצאת הפונקציה מחזירה את ערך משתנה הפונקציה המקורית.

הפונקציה ההופכית מגדירה בכיוון ההפוך לכל ערך בטווח y ערך בתחום x. כדי שניתן יהיה להגדיר מעבר זה ללא כפילויות נדרש שהפונקציה תהיה חח"ע. כדי שניתן יהיה להגדיר מעבר זה לכל ערך בטווח y נדרש שהפונקציה תהיה גם פונקצית-על. פונקציה שעונה על שתי דרישות אלו היא פונקציה הפיכה.

רק לפונקציה שהיא הפיכה ניתן למצוא פונקציה הופכית. הפונקציה ההופכית מחזירה כתוצאה מהפעלתה את המשתנה הבלתי-תלוי x של הפונקציה המקורית.

לדוגמה הפונקציה f1 הבאה היא חח"ע וגם פונקצית-על, לכן היא פונקציה הפיכה,

y = f1(x) = x + 1

הפונקציה ההופכית לפונקציה זו היא הפונקציה f2 הבאה,

y = f2(x) = x - 1

למשל, עבור הצבה של x=4 נקבל בפונקציה המקורית את התוצאה,

y = x + 1
y = 4 + 1
y = 5

אם נפעיל על התוצאה שהתקבלה, 5, את הפונקציה ההופכית נקבל בחזרה את הערך שהוצב בפונקציה המקורית,

y = x - 1
y = 5 - 1
y = 4

כדי להוכיח את נכונות תוצאה זו עבור כל ערך של x נפעיל את הפונקציה ההופכית על הפונקציה המקורית,

y = f1(x) = x + 1
y = f2(x) = x - 1

f2(f1(x)) = f2(x+1) = (x+1) - 1 = x

נשים לב, הפונקציה ההופכית f2 הופעלה על הביטוי x+1 ולא על x. לכן, בכל מקום בו מופיע המשתנה x בהגדרת הפונקציה f2 נציב x+1 במקום x.

פונקציה סתומה

פונקציה סתומה היא משוואה אשר לא ניתן לחלץ ולבודד בה באגף אחד של המשוואה את הנעלם הבלתי-תלוי y.

למשל, המשוואה הבאה מתארת פונקציה סתומה,

xy + 1 = y•(x - 2)

פונקציה זוגית

פונקציה היא פונקציה זוגית אם לכל ערך והערך ההופכי לו בסימן המוגדרים בתחום מתקבל אותו ערך בטווח. כלומר, עבור פונקציה זוגית מתקיים התנאי הבא,

y = f(x) = f(-x)

לדוגמה הפונקציות הבאות הן פונקציות זוגיות,

y = x2
y = |x|
y= cos(x)

נוכיח זאת עבור הפונקציה הראשונה,

f(x) = x2
f(-x) = (-x)2 = x2

פונקציה אי-זוגית

פונקציה היא פונקציה אי-זוגית אם לכל ערך בתחום קיים ערך הופכי לו בסימן שעבורו מתקבלת אותו ערך, אבל בסימן הפוך, בטווח. כלומר, עבור פונקציה אי-זוגית מתקיים התנאי הבא,

y = f(x) = -f(-x)

לדוגמה הפונקציות הבאות הן פונקציות אי-זוגיות,

y = x3
y = x
y= sin(x)

נוכיח זאת עבור הפונקציה הראשונה,

f(x) = x3
f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x)

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | פונקציה וגרף : מבוא לפונקציה | הגדרת הפונקציה ותכונותיה | מבוא לגרף | גרף של פונקציה | תצורות גרף נפוצות | אסימפטוטה ]