headline
Error processing SSI file




מבוא לפונקציה


עד כה הכרנו את המשוואה האלגברית וכיצד ניתן לפתור אותה ולמצוא את ערכו של הנעלם המבוקש. למשל, לשמעון חנות רהיטים בה הוא מייצר ומוכר מערכות ישיבה. כל מכירה של מערכת ישיבה מניבה הכנסה של 1,000 שקלים. כל חודש ראובן מוכר 30 מערכות ישיבה. ראובן רוצה למכור יותר מערכות ישיבה על-מנת להרוויח יותר כסף. כדי למכור יותר ולהרוויח יותר מוכן ראובן להוריד את המחיר של מערכות הישיבה שהוא מוכר, ובכך להקטין את הרווח מכל מערכת ישיבה. מסקר שראובן ערך הוא מצא שעל כל הנחה של 100 שקלים הוא ימכור עוד 20 מערכות ישיבה. מה יהיה רווחו של ראובן אם יהיה מוכן להוריד 300 שקלים ממחיר כל מערכת ישיבה?

ראובן מוכן לתת הנחה של 300 שקלים מתוך ציפייה שכמות מערכות הישיבה שהוא מוכר תגדל ב-

20•300/100 = 60

סך הכול מספר מערכות הישיבה שימכור ראובן יהיה,

30 + 60 = 90

המחיר החדש בשקלים של כל מערכת ישיבה יהיה,

1,000-300=700

נסמן ב- x את הנעלם של הבעיה שהוא הרווח של ראובן ונבנה את המשוואה הבאה,

מחיר מערכת ישיבה • מספר מערכות ישיבה = רווח כולל של ראובן
x = (30+20•300/100) • (1,000-300)
x = (30+60) • 700
x = 90 • 700 = 63,000

ללא ההנחה היה מוכר ראובן רק 30 מערכות ישיבה ברווח של 1,000 מכל מכירה. לכן סה"כ היה מרוויח 30•1,000 = 30,000, הרבה פחות לעומת הרווח הצפוי עם הענקת ההנחה.

ראובן שמח מאוד על חישובו שצפוי להניב לו רווח גדול. אך לא עבר זמן רב והטרידה אותו מחשבה חדשה. אולי הנחה של 400 ₪ תניב לו רווח יותר גדול? או אולי הנחה רק של 200 ₪ תיתן את הרווח המרבי?

כעת הטרידה את מנוחתו של ראובן כיצד יוכל לדעת מהו גובה ההנחה הרצוי כך שיניב לו את הרווח המרבי?

ראובן החליט לחשב מה יהיה רווחו אם ההנחה שייתן תהיה 400 שקלים. הוא חישב זאת כך:

x = (30+20•400/100) • (1,000-400)
x = (30+80) • 600
x = 110 • 600 = 66,000

להפתעתו מצא ראובן כי למרות ההנחה היותר גדולה רווחו עדיין גדל. ראובן הראה לשמעון את חישוביו ותהה כיצד יוכל למצוא את גובה ההנחה בו הוא ישיג את הרווח המרבי.

שמעון שם לב כי יש בבעיה זו בעצם שני נעלמים שערכם לא ידוע: גובה ההנחה וגודלו של הרווח. יש כאן שני נעלמים התלויים אחד בשני. גודלו של הרווח תלוי בגובה ההנחה, ולחילופין ניתן להגיד שגובה ההנחה תלוי בגודלו של הרווח.

למרות שיש תלות דו-כיוונית בין שני הנעלמים ניתן שרירותית לקבוע אחד מהם כנעלם שאת ערכו נציב כרצונו ולקבוע את האחר כנעלם שערכו יחושב לפי תלותו בנעלם הקודם. כך נכנה את הנעלם הראשון כבלתי תלוי ואילו את הנעלם השני כתלוי. למשל, בדוגמה שלנו ראובן שינה בכל פעם את ערך גובה ההנחה כרצונו וחישב עבור כל ערך אחר את גודלו של הרווח.

שמעון הציע לבחור את גובה ההנחה כנעלם הראשון, הנעלם הבלתי תלוי, שיסומן כ- x. את גודלו של הרווח הוא הציע כנעלם השני התלוי בנעלם הראשון, שיסומן כ- y.

כך שינה שמעון את המשוואה של ראובן למשוואה כללית יותר המבטאת את היחס בין שני הנעלמים שערכם לא ידוע:

y = (30+20x/100) • (1,000-x)

משוואה זו מבטאת את היחס בין שני הנעלמים. משוואה זו מציגה את גודל הרווח, המסומן כ- y, כשהוא תלוי בגובה ההנחה, המסומנת כ- x.

משוואה זו מתארת כיצד משתנה או כיצד מתנהג ערכו של הנעלם y כתלות בנעלם x. מכאן שמה המיוחד של משוואה זו – פונקציה (function – מתנהג/מתפקד באנגלית).

כמו בכל משוואה גם במשוואת הפונקציה ניתן להפעיל פעולות על-מנת להביאה לצורה פשוטה יותר. כך תהפוך הפונקציה המורכבת שלעיל לפונקציה הפשוטה יותר הבאה:

y = (30+20x/100) • (1,000-x)
y = (30+x/5) • (1,000-x)
y = 30,000 – 30x + 200x – x2/5
y = -x2/5 + 170x + 30,000

כדי למצוא את גודל הרווח עבור גובה הנחה מסוים פשוט נציב את ערך ההנחה במקומו של הנעלם x המייצג אותה. למשל, הצבה של x=400 תיתן את גודלו של הרווח שכבר חושב על-ידינו קודם לכן:

y = -4002/5 + 170•400 + 30,000
y = 66,000

נוכל להציב בפונקציה ערך שונה לגובה ההנחה במקומו של x ולקבל את גודל הרווח הצפוי לכל גובה הנחה.

סימון משוואה כפונקציה הוא על-ידי הכתיב f(). בסוגריים יופיע הנעלם הבלתי-תלוי. למשל, את המשוואה הקודמת נסמן כפונקציה כך:

y = f(x) = -x2/5 + 170x + 30,000

לסיכום, פונקציה היא משוואה המציגה את התלות בין שני נעלמים. נעלם אחד, המיוצג על-ידי x, נבחר להיות הנעלם הבלתי-תלוי והוא יופיע אך ורק בצד ימין של המשוואה. הנעלם האחר, המיוצג על-ידי y, נבחר להיות הנעלם התלוי והוא יופיע אך ורק בצד שמאל של המשוואה.

הערה כללית: לפונקציה יכול להיות גם יותר מנעלם בלתי-תלוי אחד.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | פונקציה וגרף : מבוא לפונקציה | הגדרת הפונקציה ותכונותיה | מבוא לגרף | גרף של פונקציה | תצורות גרף נפוצות | אסימפטוטה ]