headline
Error processing SSI file




מספרים אי-רציונליים



עד כה למדנו את קיומם של המספרים השלמים ואת קיומם של השברים. את השבר ניתן לתאר גם כיחס בין המונה למכנה. אכן בלעז נקראים השברים כמספרים יחסיים (רציו = rationals = ratio, יחס באנגלית).

המספרים האי-רציונאליים (משמע, לא יחסיים) הם מספרים שלא ניתן לתאר אותם כיחס בין מונה למכנה. קבוצת מספרים זו היא קבוצה נוספת ואינסופית של מספרים. כל מספר בקבוצה זו ניתן להציג או בייצוג עשרוני בעל אינספור ספרות מימין לנקודה העשרונית שאינן בעלות מחזוריות כלשהי או בעזרת סדרה אינסופית של שברים.

דוגמאות למספרים כאלה הם למשל:

3.14159265359…
(ערכו של פאי π)

אחרי הנקודה העשרונית מופיעות אינספור ספרות ללא כל מחזוריות.

ייצוג אחר של המספר π הוא בעזרת סכום של הטור הבא המכיל אינסוף איברים,

π = 4 • (1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …)

הוכחת קיומם של המספרים האי-רציונאליים


קיומם של המספרים האי-רציונאליים התגלתה עוד בתקופתה של יוון העתיקה. המלומדים היוונים עסקו בעיקר בגיאומטריה אשר היווה את הענף המרכזי והחשוב ביותר של מדעי המתמטיקה עבורם. הוכחת קיומם של המספרים האי-רציונאליים באה דווקא מדוגמה גיאומטרית פשוטה.

במשולש ישר זווית ששני הניצבים בו הם שווים ובאורך אחד יהיה אורכו של היתר (לפי משפט פיתגורס):

√(12+12) = √2

היוונים ניסו לחפש ייצוג של מספר זה כשבר אך ללא הואיל. למעשה, ניתן להוכיח ש- 2√ הוא מספר אי-רציונאלי על דרך השלילה. כלומר, נניח ש- 2√ הוא דווקא כן מספר רציונאלי ונגיע לסתירה לוגית, ומכאן מתחייב שהנחתנו הראשונית שגויה. נניח אם כן ש- 2√ הוא מספר רציונאלי שניתן לבטאו בעזרת x/y. נבחר את הייצוג בעל x ו- y כאלה שאינם ניתנים עוד לצמצום על-ידי חלוקה בגורם משותף. כלומר אין זה יכול להיות 14/35 כי ניתן לצמצם שבר זה על-ידי חלוקת המונה והמכנה בגורם משותף שהנו 7 ולקבל: 2/5.

נניח אם כן כי ניתן לייצג את 2√ ע"י מכנה ומונה מינימאליים חסרי גורם חלוקה משותף. כלומר,

x/y = √2
x2/y2 = 2
x2 = 2y2

המספר x הוא כפולה של מספר כלשהו ב- 2, לכן הוא ניתן לחלוקה ב-2 ללא שארית. מכאן ש- x, המונה של השבר, הינו מספר זוגי. מכיוון ש- x הוא מספר זוגי וניתן לחלוקה ב-2 הרי שניתן לייצגו גם כך:
x = 2z

ונקבל:

(2z)2 = 2y2
4z2 = 2y2
2z2=y2

קיבלנו שגם y הוא כפולה של מספר ב- 2, ולכן גם y, שהוא המכנה של השבר הינו מספר זוגי.
אם גם המונה וגם המכנה הינם מספרים זוגיים הרי יש להם גורם חלוקה משותף שערכו 2. עובדה זו סותרת את העובדה כי x ו- y הנם שני מספרים חסרי גורם חלוקה משותף. לכן הנחתנו הראשונית כי ניתן לייצג את 2√ בעזרת שבר רציונאלי אינה נכונה.

הוכחנו אם כן כי 2√ הנו מספר אי-רציונאלי. אך האם יש סיכוי כי ניתקל במציאות במספר שכזה. התשובה היא כן. אורכו של היתר במשולש ישר-זווית ששני ניצביו זהים באורך 1 הוא כפי שכבר ראינו 2√.

זוהי רק דוגמה אחת לקיומו של מספר אי-רציונאלי אחד. אך למעשה קבוצה זו של מספרים היא גם אינסופית.
למשל, גם 3√ הוא מספר אי-רציונאלי.

את המספר האי-רציונאלי ניתן גם להציג כסכום אינסופי של שברים. למשל e הלוגריתם הטבעי, שהוא גם מספר אי-רציונאלי יוצג כך:

e =1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + …. = 2.71828…

גורם רציונאליזציה


לפעמים נוכל למצוא גורם אשר אם נכפיל את המספר האי-רציונאלי בו נקבל מספר רציונאלי. למשל,

√2 • √2 = 2

קיבלנו מהמכפלה לעיל מספר רציונאלי, 2, לכן 2√ הוא גורם הרציונאליזציה של 2√.

דוגמה נוספת,

(√2 + 1)•(√2 - 1) = 2 - √2 + √2 - 1 = 1

גם כאן קיבלנו מהמכפלה מספר רציונאלי, 1, לכן- 1 2√ הוא גורם רציונאליזציה של המספר האי-רציונאלי 2√ + 1

רציונאליזציה של מכנה השבר


עבור שבר בעל מכנה אי-רציונאלי נרצה לפעמים להפעיל רציונאליזציה על המכנה כדי לקבל שבר פשוט יותר שמכנהו רציונאלי. פעולה זו נקראת רציונאליזציה של המכנה. הפעלת רציונאליזציה על מכנה השבר היא על-ידי הכפלת השבר בשבר חדש שהמונה והמכנה שלו שווים לגורם הרציונאליזציה של מכנה השבר המקורי. למשל,

1/√2 = 1/√2 • (√2/√2) = √2/2

◄ להעשרה נוספת ניתן לקרוא את הפרק באתר זה הדן בדרך גילוי המספרים האי-רציונאליים.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | אלגברה : משוואה עם נעלם אחד | שתי משוואות עם שני נעלמים | n משוואות עם n נעלמים | מספרים אי-רציונאליים ]
  
[ חזרה לראש העמוד ]



tail gif