משוואה אחת עם נעלם אחד

מלבד חישוב ביטויים חשבוניים המכילים מספרים ופעולות אלגבריות מציעה המתמטיקה גם דרכים לפתרון בעיות. פתרון בעיות מספריות זה מהותו של ענף האלגברה.

כבר נתקלנו בעבר בבעיות אלגבריות כשהכרנו את הפעולות הפשוטות והבסיסיות ביותר של חיבור, חיסור וכו'. רק שאז לא הגדרנו את מושג הבעיה ודרך פתרונה בצורה מסודרת ושיטתית.

הנה דוגמה לבעיה מספרית פשוטה:

לראובן 250 שקלים. אמו של ראובן נתנה לו 50 שקלים כדמי כיס. כמה שקלים יש לראובן עכשיו?
הבעיה היא פשוטה ולכן גם הפתרון הוא פשוט:

250 + 50 = 300

אבל לא תמיד תהינה הבעיות המתמטיות פשוטות כמו זו בדוגמה שלעיל. יש בעיות מורכבות שכדי לפתור אותן יש לערוך חישובים רבים יותר ומורכבים יותר. למשל, נבחן את הבעיה הבאה:

לראובן 250 שקלים. אביו של ראובן נתן לו כדמי כיס רבע ממה שקיבל ראובן מתנה מדודתו. לאחר דמי הכיס והמתנה הוכפל ממונו של ראובן. כמה שקלים קיבל ראובן מתנה מדודתו?

ניתן כמובן, עדיין לפתור בעיה זו בעזרת עריכת חישובים על דף ניר או אף בראש. אך זוהי רק עדיין דוגמה פשוטה לאופן בו בעיות מתמטיות יכולות להיות מורכבות יותר. כדי שניתן יהיה לפתור בעיות מסוג זו בקלות יחסית נכיר שני מושגים חדשים:

• נעלם – נגדיר את הכמות הלא ידועה והנשאלת בשאלה כנעלם של הבעיה. מכיוון שערכו של הנעלם אינו ידוע נסמן את ערכו המספרי באות הלועזית x.
• משוואה – נארגן את כל המידע החשבוני מתוך ההגדרה המילולית של הבעיה בצורה של משוואה. כחלק מהמספרים ניקח גם את הנעלם x.

כדי לפתור את הבעיה נצטרך לפתור את המשוואה. פתירת המשוואה היא מציאת ערכו המספרי של הנעלם. כדי למצוא את ערכו המספרי של הנעלם נפעיל פעולות אלגבריות על המשוואה עד שבצד אחד שלה יוותר הנעלם x לבדו ובצד השני יהיה ערך מספרי. כך נמצא את ערכו של הנעלם המבוקש x.

נסביר דרך זו לפתרון בעיה אלגברית בעזרת הדוגמה שהוצגה קודם.

בשלב ראשון נגדיר את הנעלם x שאת ערכו אנחנו מחפשים,

x = מספר השקלים שקיבל ראובן מדודתו

בשלב השני נרשום את כל הנתונים המספריים הנמצאים במלל של הצגת הבעיה בצורת משוואה. אבל לפני רישום המספרים אולי יהיה קל קודם לכן לרשום את מלל הבעיה בצורת משוואה ורק אח"כ להציגה בעזרת המספרים והנעלם.

לראובן יש כסף + אביו נתן לו רבע מדודתו + דודתו נתנה לו מתנה = לראובן כמות כפולה של כסף

עכשיו נחליף את המלל במספרים ובנעלם x,

250 + 0.25x + x = 2•250

פעולה אלגברית ראשונה שנבצע היא חישובי החיבור וההכפלה הפשוטים שבכל אחד מצידי המשוואה. נקבל,

250 + 1.25x = 500

כמו שאמרנו נרצה לבודד את הנעלם x בצד אחד של המשוואה (המקובל הוא בצד שמאל של המשוואה) ובצד השני להשאיר רק ערך מספרי אחד. לשם כך נצטרך להפעיל פעולות אלגבריות על המשוואה. כדי שהמשוואה עדיין תישאר משוואה, כלומר ששני אגפיה עדיין יהיו שווים זה לזה, נצטרך להפעיל פעולות זהות על שני האגפים.

כדי להישאר רק עם ביטוי של הנעלם x של המשוואה באגף השמאלי נרצה לבטל את המספר 250 המופיע בו. כדי לבטל את המספר 250 שבאגף שמאל פשוט נחסיר 250 מאגף זה. כדי שהשוויון הקיים בין שני אגפי המשוואה יישמר נפחית 250 גם מהאגף הימני של המשוואה. נקבל,

250 + 1.25x – 250 = 500 – 250
250 + 1.25x – 250 = 500 – 250
1.25x = 250

מצאנו את ערכו של הנעלם x ועוד רבע ממנו. כדי למצוא את ערכו של הנעלם x נצטרך להיפטר מהמקדם בו הוא מוכפל. לשם כך נחלק את המשוואה בגורם 1.25. את הגורם 1.25 ניתן לרשום גם בצורת השבר,

1+1/4 = 4/4 + 1/4 = 5/4

נזכיר שפעולת חילוק בשבר זהה לפעולת הכפלה בהופכי שלו, במקרה שלנו בהכפלה ב- 4/5. נכפיל את אגף שמאל של המשוואה ב- 4/5 כדי להיפטר מהמקדם של הנעלם x. חובה עלינו להכפיל גם את אגף ימין של המשוואה כדי שהשוויון הקיים בין שני האגפים יישמר. נקבל,

5/4 x • 4/5 = 250 • 4/5
5/4 x • 4/5 = 250 • 4/5
x = 250 • 4/5
x = 1000/5
x = 200

כלומר ראובן קיבל מדודתו 200 שקלים.

רצוי לוודא שאכן זהו הפיתרון ושלא הייתה טעות חישובית בדרך. נחזור לבעיה המילולית ונגלה שלראובן היו 250 שקלים. הוא קיבל מדודתו 200 שקלים, זהו ערכו של הנעלם. אביו נתן לו רבע מדודתו, כלומר 50 שקלים. סך הכול ראובן קיבל 250 שקלים, כלומר הכפיל את כספו כמו שהבעיה מציינת.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | אלגברה : משוואה עם נעלם אחד | שתי משוואות עם שני נעלמים | n משוואות עם n נעלמים | מספרים אי-רציונאליים ]