n משוואות עם n נעלמים

דרכנו בעולם המשוואות החלה עם פתרון של בעיה עם נעלם אחד המוצגת בעזרת משוואה אחת. בעיות מורכבות יותר הכוללות שני נעלמים ניתן לפתור אם יש מספיק מידע בהגדרת הבעיה כדי לבנות שתי משוואות בלתי-תלויות.

למעשה, ניתן לפתור בעיות מורכבות עוד יותר המכילות כל מספר של נעלמים בתנאי שיהיה מספיק מידע בבעיה להרכבת מספר משוואות בלתי-תלויות כמספר הנעלמים.

כדי לפתור n משוואות עם n נעלמים ניתן להשתמש בשיטת הצבה. בכל פעם נחלץ ממשוואה אחת את ערכו של נעלם אחד בה ונבטא את ערכו כתלות בנעלמים האחרים. נציב את ערכו בכל שאר המשוואות שטרם הפעלנו עליהם שיטה זו וטרם חילצנו מהם את ערכו של נעלם כלשהו. נעבור למשוואה הבאה באוסף המשוואות ונבחר בה נעלם אחד. שוב נחלץ את ערכו של נעלם זה ונבטא אותו כתלות בשאר הנעלמים. נציב את ערכו בשאר המשוואות שבאוסף וחוזר חלילה.

למשל, עבור אוסף של שלוש משוואות עם שלושה נעלמים, x, y ו- z. נפעל בדרך הבאה.

נחלץ את ערכו של הנעלם z ממשוואה III, למשל, ונציב את ערכו במשוואות I ו- II.
משוואות I ו- II כוללות לאחר ההצבה, רק את הנעלמים x ו- y.

בדרך זו הצטמצמנו מאוסף של שלוש משוואות עם שלושה נעלמים לשתי משוואות עם שני נעלמים.

לדוגמה,

(I) x – 4 = 3z + 4y
(II) (x + 5)/(z + 2y) = 4
(III) (x – y – 1)/2 = x/3 + z

קל יחסית לחלץ את הנעלם x מתוך המשוואה הראשונה,

(I) x = 3z + 4y + 4

נציב את ערכו של הנעלם x כתלות בנעלמים y ו- z בשתי המשוואות הנותרות,

(II) x/(z + 2y) = 3
(3z + 4y + 4 + 5)/(z + 2y) = 4

(III) (x – y – 1)/2 = x/3 + 2z
(3z + 4y + 4 – y – 1)/2 = (3z + 4y + 4)/3 + z

נותרנו עם שתי משוואות עם שני נעלמים. מקרה זה כבר למדנו לפתור בפרק הקודם.

נחלץ את ערכו של הנעלם y מתוך המשוואה השנייה. נקבל,

(3z + 4y + 4 + 5) = 4•(z + 2y)
3z + 4y + 9 = 4z + 8y
9 – z = 4y
y = ¼•(9 – z)

נציב את ערכו של הנעלם y כתלות בנעלם z במשוואה השלישית. קודם נסדר את המשוואה השלישית על-ידי הפעלת פעולות אלגבריות,

(3z + 4y + 4 – y – 1)/2 = (3z + 4y + 4)/3 + z
3•(3z + 3y + 3) = 2•(3z + 4y + 4) + 6z
9z + 9y + 9 = 6z + 8y + 8 + 6z
y + 1 = 3z

כעת נציב את ערכו של הנעלם y במשוואה שלעיל ונקבל,

¼•(9 – z) + 1 = 3z
9 – z + 4 = 12z
13 = 13z
z = 1

מצאנו את ערכו של הנעלם z. כעת נציב אחורה את ערכו של הנעלם z במשוואה השנייה כדי לקבל את ערכו של הנעלם y,

y = ¼•(9 – z)
y = ¼•(9 – 1)
y = 2

כעת ניצב אחורה את ערכם של הנעלמים z ו- y במשוואה הראשונה כדי לקבל את ערכו של הנעלם x. נקבל,

x = 3z + 4y + 4
x = 3•1 + 4•2 + 4
x = 3 + 8 + 4
x = 15

הערה: הבחירה לחץ תחילה דווקא את ערכו של הנעלם x מתוך המשוואה הראשונה היא שרירותית. ניתן לבחור לחלץ תחילה את ערכו של הנעלם y מתוך המשוואה הראשונה, השנייה או השלישית או את ערכו של הנעלם z וכן הלאה...

מומלץ לתרגל ולנסות לפתור את אוסף שלושת המשוואות שבדוגמה גם בסדר פתירה שונה של הנעלמים ואו של המשוואות.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | אלגברה : משוואה עם נעלם אחד | שתי משוואות עם שני נעלמים | n משוואות עם n נעלמים | מספרים אי-רציונאליים ]