headline
Error processing SSI file




משוואה ממעלה שנייה


בחלק הראשון של האלגברה דנו במשוואה בה מופיעה הנעלם x. פתרון של משוואה זו מתקבל על-ידי הפעלת פעולות זהות על שני אגפי המשוואה עד לבידודו של x באגף אחד של המשוואה (האגף השמאלי). לא תמיד אפשרי לבודד את x.

למשל, נבחן את הבעיה הבאה. לאיכר שטח קרקע בצורת מלבן ושטח קרקע בצורת ריבוע. צלע הריבוע שווה באורכה לרוחבו של המלבן. אורכו של המלבן הוא 400 מטרים. מה אורכו במטרים של צלע הריבוע אם ידוע שסכום שטחי הקרקע של האיכר הוא 120,000 מ"ר?

נסמן כנעלם x את אורך צלע הריבוע. מכאן ששטח הריבוע הוא x2.
רוחבו של המלבן הוא x ואורכו הוא 400. מכאן ששטחו של המלבן הוא 400x.

סכום השטחים של הריבוע ושל המלבן הוא,

x2 + 400x = 120,000

במשוואה שלעיל לא נוכל לבודד את ערכו של x בעזרת ביצוע פעולות פשוטות על שני אגפי המשוואה.

המשוואה שלעיל מכיל את האיבר x2 "המפריע" לחילוץ של x מתוך המשוואה.

משוואה המכילה איבר של x בחזקה ריבועית (חזקה שנייה) נקראת משוואה ריבועית או משוואה ממעלה שנייה.

משוואה ריבועית תהא משוואה בעלת המבנה הכללי הבא:

ax2 + bx + c = 0

כאשר x הנו הנעלם במשוואה והפרמטרים a, b ו- c הם מקדמי המשוואה. המקדמים יכולים לקבל על עצמם כל ערך מספר. ההגבלה היחידה היא שהמקדם a חייב להיות שונה מאפס, אחרת במקום משוואה ריבועית נקבל משוואה רגילה שאינה ריבועית.

פתרון כללי למשוואה הריבועית:

להצגת פתרון כללי של המשוואה הריבועית נצטרך להשתמש בנוסחת הזהות הבאה:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

משוואה ריבועית היא כאמור משוואה מהצורה,

ax2 + bx + c = 0
a≠0 כאשר

נחלק את שני אגפיה במקדם a (חלוקה זו אפשרית כי לפי ההגדרה a≠0),

x2 + (b/a)x + (c/a) = 0

נרצה להביא משוואה זו לצורה של המשוואה בעלת הזהות

x2 +2xy + y2 = (x + y)2

לשם כך נגדיר,

(b/a) = 2y
(c/a) = (c/b) • (b/a) = 2yc/b

נציב ערכים אלו במשוואה הריבועית וגם נוסיף y2 לשני אגפיה. נקבל,

x2 + 2xy + y2 + 2yc/b = y2

נשתמש בזהות ונקבל,

(x+y)2 = y2 – 2yc/b

נחלץ שורש ונקבל,

x + y = ± √(y2 – 2yc/b)
x = -y ± √(y2 – 2yc/b)

נשים לב שפעולת הוצאת השורש נותנת שני שורשים אפשריים בשלב ביניים זה של פתרון המשוואה. האחד שורש חיובי והשני שורש שלילי. את שני השורשים שוני הסימן יקדים הסימן ±.

במקום y נציב,

y=b/(2a)

ונקבל,

x = -b/(2a) ± √(b2/4a2 – 2bc/2ab)

נמצא מכנה משותף לביטוי החשבוני שבתוך השורש ונקבל,

x = -b/(2a) ± √[(b2 – 4ac)/4a2]

נוציא את המכנה המשותף שמצאנו אל מחוץ לפעולת השורש ונקבל,

x = -b/(2a) ± √(b2 – 4ac)/2a

נחבר את שני השברים עם המכנה המשותף שלהם, 2a, נקבל את הפתרון הכללי,

x1,2 = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a

קיבלנו נוסחה המתארת את הפתרון הכללי של כל משוואה ריבועית כתלות במקדמיה בלבד. כפי שניתן לראות למשוואה הריבועית שני פתרונות אפשריים, x1 ו- x2.

מכאן שבהינתן משוואה ריבועית כללית כלשהי עם המקדמים a, b ו- c, נוכל למצוא את שני פתרונות המשוואה עבור הנעלם x בעזרת נוסחה זו.

מקרים פרטיים של המשוואה הריבועית:

מקרה פרטי 1: אם המקדם b שווה לאפס נקבל את המקרה הפרטי הבא של המשוואה הריבועית,

ax2 + c = 0

במקרה פרטי זה שני הפתרונות האפשריים של המשוואה הריבועית הן

x1,2 = ±√(c/a)

מקרה פרטי 2: אם המקדם c שווה לאפס נקבל את המקרה הפרטי הבא של המשוואה הריבועית,

ax2 + bx = 0

במקרה זה הפתרון x1=0 הוא אחד משני הפתרונות של המשוואה הריבועית. נרשום פתרון זה בצד כאחד משני פתרונות המשוואה ונחלצו מהמשוואה על-ידי חלוקת שני אגפיה ב- x. נקבל את המשוואה המופשטת הבאה,

ax + b = 0

מכאן בקלות ניתן לראות שהפתרון השני של המשוואה במקרה פרטי זה הוא

x2 = -b/a.

מקרה פרטי 3: אם שני המקדמים b ו- c שווים לאפס נקבל את המקרה הפרטי הבא של המשוואה הריבועית,

ax2 = 0

במקרה זה ברור שהפתרון היחיד של המשוואה הריבועית הוא x=0 (כי תנאי התחלתי לקיום משוואה ריבועית הוא ש a שונה מאפס).

דוגמאות

ראשית נפתור את הבעיה בה נפתח פרק זה.

כזכור, לאיכר שני שטחים, ריבוע ומלבן ששטחם הכולל נתון לפי המשוואה הריבועית הבאה,

x2 + 400x = 120,000

בפעולה פשוטה ניתן לסדר משוואה זו למבנה המשוואה הריבועית,

x2 + 400x – 120,000 = 0

במשוואה זו ערכי הפרמטרים הם: a=1, b=400 ו- c=-120,000.

נציב ערכים אלו במשוואה של פתרון ערכו של הנעלם x. נקבל,

x1,2 = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a

x1,2 = [-400 ± √(4002 – 4•(-120,000))]/2

x1,2 = [-400 ± 800]/2

x1 = 200
x2 = -600

קיבלנו שני פתרונות האפשריים מבחינה מתמטית. כלומר אם נציב כל אחד מהם בתורו במקום הנעלם x נקבל פתרון נכון של המשוואה הריבועית.
אך מכיוון שהערכים מייצגים את מימד האורך נוכל לפסול את הפתרון השלילי, שאין לו משמעות פיזיקלית אמיתית.

הפתרון הקביל היחיד הוא שאורכו של צלע הריבוע הוא 200 מטרים.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | אלגברה II : נוסחאות הכפל המקוצר | משוואה ממעלה שנייה | חלוקה של פולינום בפולינום | משוואה ממעלה שלישית | מספרים מרוכבים | משוואה ממעלה רביעית | פירוק שבר פולינומי לשברים חלקיים ]