headline
Error processing SSI file




פירוק שבר פולינומי לשברים חלקיים


ביטוי חשבוני שהוא שבר המכיל פולינום במונה ופולינום במכנה ניתן לפרק ולבטא כסכום של שברים חלקיים. כל שבר חלקי יהיה מורכב ממונה בעל דרגה אחת פחות מהמונה המקורי וממכנה המכיל את אחד הגורמים בפולינום של המכנה המקורי.

דוגמה ראשונה - מכנה ממעלה ריבועית פריקה


פרק לשברים חלקיים את הביטוי החשבוני הבא,

x + 9
───────
x2 - 3x - 10

קודם נמצא את הגורמים של הפולינום במכנה,

x2 - 3x - 10 = (x + 2)•(x - 5)

נפרק את הביטוי החשבוני לשברים חלקיים. הביטוי שלעיל מתפרק לשני שברים חלקיים - כמספר הגורמים אליהם התפרק המכנה. לכל שבר-חלקי המכנה הוא אחד מהגורמים של הפולינום והמונה הוא בדרגת מעלה אחת פחות מהמכנה של כל שבר-חלקי. נקבל,

x + 9    
──────── =
(x + 2)•(x - 5)   


A            B
──── + ────
(x + 2)      (x - 5)

מונה כל שבר חלקי חייב להיות בדרגה אחת פחות מהמכנה שלו. במקרה שלעיל המכנה של כל שבר חלקי הוא בדרגה אחת (הנעלם x מופיע בו רק בחזקת אחד לכל היותר), לכן המונה חייב להיות מדרגה אפס. דרגה אפס משמעה שבמונה יכול להופיע הנעלם x לכל היותר בחזקת אפס. כאשר x מועלה בחזקת אפס מתקבל קבוע (זה נכון לגבי כל מספר המועלה בחזקת אפס). כך מתקבל שעבור המקרה שלעיל A ו- B הינם קבועים שאינם תלויים בנעלם x. דרך אחת למציאת ערכי הקבועים A ו- B היא על-ידי הכפלת שני אגפי המשוואה שלעיל בגורמי המכפלה של הפולינום שבמכנה השבר המקורי.

במקרה של הדוגמה שלעיל נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-

(x + 2)•(x - 5)

נקבל,

x + 9 = A•(x - 5) + B•(x + 2)
x + 9 = Ax - 5A + Bx + 2B
x + 9 = (A + B)x + (2B - 5A)

במשוואה שלעיל נשווה את החלק הכולל את המשתנה x המופיע בשני אגפי המשוואה. בנפרד נשווה גם את החלק הקבוע (שאינו כולל את המשתנה x) המופיע בשני אגפי המשוואה. כך נקבל מערכת של שתי משוואות עם שני הנעלמים A ו- B,

1 = A + B
9 = 2B - 5A

נפתור את שתי המשוואה ונקבל את ערכיהם של A ו- B,

A = -1
B = 2

נקבל,

  x + 9               -1             2
──────── = ──── + ────
(x + 2)•(x - 5)     (x + 2)     (x - 5)

דוגמה שנייה - מכנה ממעלה ריבועית בלתי פריקה


פרק לשברים חלקיים את הביטוי החשבוני הבא,

4x2 + 3x - 1
─────────
x3 + x2 - 8x - 6

קודם נמצא את הגורמים של הפולינום במכנה,

x3 + x2 - 8x - 6 = (x + 3)•(x2 - 2x - 2)

את הפולינום הריבועי x2 - 2x - 2 לא ניתן לפרק לגורמים ממשיים. לכן נפרק את השבר לשני שברים חלקיים (כמספר הגורמים או החלקים שאליו התפרק המכנה). לכל שבר-חלקי המכנה הוא אחד מהגורמים של הפולינום. המונה של כל שבר-חלקי הוא בדרגה אחת פחות מהמכנה שלו. לכן נקבל את הפירוק הבא,

4x2 + 3x - 1
  ──────────── =
(x + 3)•(x2 - 2x - 2)


A            Bx + C
──── + ────────
(x + 3)        (x2 - 2x - 2)

נשים לב שעבור השבר החלקי שמכנהו הוא ממעלה שנייה יהיה המונה דרגה אחת פחות מכך, כלומר ממעלה ראשונה. ביטוי ממעלה ראשונה מכיל את הנעלם x בחזקת אחד לכל היותר, כלומר את x. לכן יהיה המונה מהצורה Bx + C, כאשר B ו- C הם קבועים.

גם כאן נכפיל את שני אגפי המשוואה בגורמי הפירוק של המכנה של השבר המקורי ונקבל,

4x2 + 3x - 1 = A•(x2 - 2x - 2) + (x + 3)•(Bx + C)

ניתן לחלץ מתוך המשוואה שלעיל מערכת של שלושה משוואות בשלושה נעלמים בדרך דומה למה שהוצג כבר בחלק הקודם. אך זוהי דרך פיתרון ארוכה ומייגעת.

דרך שנייה, קצרה יותר, למציאת ערכיהם של הקבועים הנעלמים A, B ו- C היא על-ידי איפוס הביטוי החשבוני הנובע מאחד השברים החלקיים.

למשל, נוכל לאפס את הביטוי (x + 3)•(Bx + C) אם נציב x=-3,

4•(-3)2 + 3•(-3) - 1 = A•((-3)2 - 2•(-3) - 2) + 0
26 = 13A
A = 2

את ערכו של הקבוע C נוכל לקבל בקלות יחסית אם נחליט להציב x=0 במשוואה שלעיל וגם את ערכו של A. נקבל,

-1 = -2A + 3C
-1 = -4 + 3C
C = 1

את ערכו של הקבוע B נוכל לקבל בקלות יחסית אם נחליט להציב ערך קל לחישוב במקום הנעלם x. נבחר, למשל, להציב x=1 ונקבל,

4x2 + 3x - 1 = A•(x2 - 2x - 2) + (x + 3)•(Bx + C)
4 + 3 - 1 = 2•(1 - 2 - 2) + (1 + 3)•(B + 1)
6 = -6 + 4B + 4
8 = 4B
B = 2

דוגמה שלישית - חזרה של גורם במכנה


מקרה מיוחד הדורש טיפול מיוחד הוא מקרה בו המכנה של הביטוי כולל גורם החוזר על עצמו יותר מפעם אחת. במקרה זה בעת פירוק השבר לשברים חלקיים יופיעו שברים חלקיים בעלי מכנה של הגורם החוזר על עצמו פעם אחת, ופעמיים וכך הלאה עד למספר המלא של פעמים.

למשל, פרק לשברים חלקיים את השבר הבא,

2x2 + 5x - 10
──────────────
x4 - x3 - 9x2 - 12x + x - 4

קודם נמצא את הגורמים של הפולינום במכנה,

x4 - x3 - 9x2 - 12x + x - 4 = (x - 4)•(x + 1)3

הגורם x+1 מופיע שלוש פעמים במכנה הפונקציה. נדרשת התייחסות מיוחדת לגורם זה. פירוק השבר יהיה לארבעה שברים חלקיים כדלקמן,


5x2 + 8x + 13
────────────── =
x4 - x3 - 9x2 - 12x + x - 4

A            B            C            D
──── + ──── + ──── + ────
 (x - 4)    (x + 1)    (x + 1)2    (x + 1)3


מציאת ערכיהם של הקבועים A, B, C ו- D תתבצע באופן דומה לתהליך שתואר כבר בשני הדוגמאות הקודמות.

נכפיל את שני אגפי המשוואה במכנה של השבר המקורי ונקבל את המשוואה,

5x2 + 8x + 13 = A(x + 1)3 + B(x - 4)(x + 1)2 + C(x - 4)(x+1) + D(x - 4)

נציב בה ערכים פשוטים לחישוב. עבור x = 4 נקבל,

125 = 125A
A = 1

עבור x = -1 נקבל,

10 = -5D
D = -2

עבור x = 0 ועבור x = 1 בנפרד, עם הצבת ערכיהם של A ושל D נקבל את שתי המשוואות הבאות,

13 = 1 - 4B - 4C + 8
26 = 8 - 12B - 6C + 6

נצמצם את המשוואות שלעיל ונקבל,

B + C = -1
2B + C = -2

פתרון מערכת שתי המשוואות שלעיל ייתן את התוצאה,

B = -1
C = 0

ופירוק השבר לשברים חלקיים יהיה,

5x2 + 8x + 13
 ─────────────── =
x4 - x3 - 9x2 - 12x + x - 4

1           1           2
──── - ──── - ────
  (x - 4)    (x + 1)    (x + 1)3

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | אלגברה II : נוסחאות הכפל המקוצר | משוואה ממעלה שנייה | חלוקה של פולינום בפולינום | משוואה ממעלה שלישית | מספרים מרוכבים | משוואה ממעלה רביעית | פירוק שבר פולינומי לשברים חלקיים ]