נוסחאות הכפל המקוצר

ישנן מספר נוסחאות שימושיות שיעזרו לנו בהמשך לימודי המתמטיקה. כל אחת מהנוסחאות הללו כוללת פעולת כפל בין ביטויים הכוללים סוגריים ומצריכים פעולה של פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים.

זכירת נוסחאות אלו בע"פ מאפשרת לנו לקצר את תהליך החישוב ולהשתמש בתוצאה הידועה מראש על-פני חישוב בדרך מייגעת של פתיחת סוגריים וכינוס איברים.

ישנם גם מקרים בהם נעדיף לבצע את התהליך ההפוך ומביטוי ללא סוגריים נרצה להגיע לביטוי הכולל מכפלה של ביטויים המוקפים בסוגריים.

את נוסחאות הכפל המקוצר נחלק לשתי קבוצות. הקבוצה הראשונה כוללת שלוש נוסחאות כפל מקוצר לביטויים ממעלה שנייה. הקבוצה השנייה כוללת ארבע נוסחאות כפל מקוצר לביטויים ממעלה שלישית.

נוסחאות כפל מקוצר ממעלה שנייה

הנוסחאות הן:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x - y)² = x² - 2xy + y²
(x + y)•(x - y) = x² - y²

והנה ההוכחה של כל נוסחה בדרך חישוב מייגעת של פתיחת סוגריים וכינוס איברים.

(x + y)² =
(x + y)•(x + y) =
x² + xy + yx + y² =
x² +2xy + y²

(x - y)² =
(x - y)•(x - y) =
x² - xy - yx + y² =
x² -2xy + y²

(x + y)•(x - y) =
x² - xy + yx - y² =
x² - y²

תרגילים לדוגמה

מצא את ערכו של x –

3•(x + √3)² = x√108 + 18

3•(x² + 2x√3 + 3) = x√108 + 18
3x² + 6x√3 + 9 = x√108 + 18
3x² + x√108 + 9 = x√108 + 18
3x² = 9
x = √3

מצא את ערכו של x –

(2x² – 20x + 50) / (5 – x) = x² + 3x + 4

2•(x² – 10x + 25) / (5 – x) = x² + 3x + 4
2•(5 – x)² / (5 – x) = x² + 3x + 4
2•(5 – x) = x² + 3x + 4
10 – 2x = x² + 3x + 4
x² + 5x – 6 = 0
x_1,2 = 1,-6

מצא את ערכו של x –

(x⁴ – 16) / (x² - 4) = x² + 8x

((x²)² – 4²) / (x² - 4) = x² + 8x
(x² + 4)•(x² - 4) / (x² - 4) = x² + 8x
(x² + 4) = x² + 8x
8x = 4
x = 1/2

נוסחאות כפל מקוצר ממעלה שלישית

הנוסחאות הן:

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
(x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³
(x + y)•(x² – xy + y²) = x³ + y³
(x - y)•(x² + xy + y²) = x³ - y³

והנה ההוכחה של כל נוסחה בדרך חישוב מייגעת של פתיחת סוגריים וכינוס איברים (תוך שימוש בנוסחאות הכפל המקוצר מהמעלה השנייה).

(x + y)³ =
(x + y)•(x + y)² =
(x + y)•(x² + 2xy + y²) =
x³ + 2x²y + xy² + yx² + 2xy² + y³ =
x³ + 3x²y + 3xy² + y³

(x – y)³ =
(x – y)•(x – y)² =
(x – y)•(x² – 2xy + y²) =
x³ – 2x²y + xy² – yx² + 2xy² – y³ =
x³ - 3x²y + 3xy² - y³

(x + y)•(x² – xy + y²) =
x³ – x²y + xy² + yx² – xy² + y³
x³ + y³

(x – y)•(x² + xy + y²) =
x³ + x²y + xy² – yx² – xy² – y³
x³ – y³

תרגילים לדוגמה

מצא את ערכו של x –

(x³ + 9x² + 27x + 27) / (x² + 6x + 9) = 13

(x + 3)³ / (x + 3)² = 13
x + 3 = 13
x = 10

מצא את ערכו של x –

(2x + 10)•(x² – 5x + 25) / (500 + 4x³) = 4x

2•(x + 5)•(x² – 5x + 25) / [4•(125 + x³)] = 4x
(x³ + 5³) / [2•(5³ + x³)] = 4x
1/2 = 4x
x = 1/8

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | אלגברה II : נוסחאות הכפל המקוצר | משוואה ממעלה שנייה | חלוקה של פולינום בפולינום | משוואה ממעלה שלישית | מספרים מרוכבים | משוואה ממעלה רביעית | פירוק שבר פולינומי לשברים חלקיים ]