headline
Error processing SSI file




מדידת ערך הזווית


ענף הטריגונומטריה דן בערכה של הזווית ובערכים אחרים, כמו אורכי צלעות, הנובעים ממנה. את ערכה של הזווית ניתן למדוד ולבטא בשתי דרכים שונות: ביחידות של מעלות או ביחידות של רדיאנים.

הזווית


ממש לפני שנדון בדרכים למדידת הזווית נזכיר זווית מה היא. זווית נוצרת בכל מפגש של שני קווים החותכים זה את זה. גודלה של הזווית נקבע לפי מידת ההטיה בין שני הקווים בנקודת המפגש ביניהם. בהתאם למידת ההטיה בנקודת המפגש בין שני הקווים ניתן למתוח שני קווים ישרים. שני הקווים הישרים, הנקראים קרניים, מגדירים את גודלה של הזווית בשרטוט. הקרניים נמתחות מנקודת המפגש שבין שני הקווים, הנקראת קודקוד הזווית, ונמשכות עד לאינסוף.

נוח ומקובל לבחון את אופייה של הזווית כאשר קרן אחת מונחת על הציר האופקי והקרן השנייה מוטה ממנה כנגד כיוון השעון ליצירת גודלה של הזווית.

נשים לב שהתנועה ליצירת הזווית בגדלים שונים היא תנועה סיבובית מעגלית של הקרן השנייה.

חלוקה למעלות


דרך אחת לביטוי ערכה של הזווית הוא על-ידי חלוקת התנועה המעגלית של הקרן הנעה ל- 360 יחידות קטנות. כל יחידה קטנה כזו נגדיר בשם מעלה. את המעלה נסמן בעזרת סימן עיגול קטן עליון, º, מימין למספר המעלות המגדיר את גודלה של הזווית. המרחב המעגלי סביב קודקוד הזווית מחולק, אם כן, ל- 360 מעלות השוות בגודלן. למשל, זווית שגודלה רבע מהמרחב המעגלי שסביב לקודקודה תהיה זווית בגודל של 360º/4=90º, זווית שגודלה חצי מהמרחב המעגלי שסביב לקודקודה תהיה זווית בגודל של 360º/2=180º.

חלוקה זו נקבע באופן שרירותי, כלומר, לא היה שום אילוץ או הכרח לחלק את המרחב המעגלי דווקא ל- 360 חלקים. היתרון היחידי יש למספר 360 על-פני מספרים אחרים הוא העובדה שמספר זה מתחלק בשלמות (ללא שארית) במספרים רבים: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, ... .בתקופה בה לא היה מחשבון היה יתרון ברור בבחירת מספר זה לצורך חישוב ערכיהן של זוויות שונות וקטנות.

בעבר היה נהוג אף לחלק כל מעלה אחת ל- 60 דקות, וכל דקה ל- 60 שניות (בדומה לחלוקה של שעה אחת בשעון). יחידה של דקה אחת מסומנת בעזרת גרש אחד, '. יחידה של שנייה אחת מסומנת בעזרת זוג גרשיים, ".

למשל, זווית של "30 '15 היא זווית של 15 וחצי מעלות. 30 דקות הן 30/60=1/2 מעלה אחת.
לדוגמה נוספת, זווית של "20 '15 º2 היא זווית של ¼2 מעלות ושליש דקה. 45 דקות הן 15/60=1/4 מעלה אחת ו- 20 שניות הן 20/60=1/3 הדקה.

כיום, בעידן המחשבון, אין עוד צורך בחישוב ידני של גדלי זוויות קטנות. מסיבה זו חלוקה זו של המעלה לדקות ולשניות מיותרת. את התוצאה הלא שלמה של חישוב הזווית במעלות נשאיר כמספר עם נקודה עשרונית.

למשל, שתי הזוויות הקודמות ירשמו במעלות בלבד כזווית של 15.5º וכזווית של 2.25555º….

רדיאנים


כפי שראינו בחלק הקודם הבחירה בחלוקת המרחב המעגלית שמסביב לקודקוד הזווית דווקא במספר 360 ליצירת 360 מעלות היא שרירותית ונועדה רק כדי להקל על עריכת חישובים ידניים. את גודלה של הזווית ניתן לייצג גם באמצעות שיטה אחרת.

נגדיר מעגל שרדיוסו,המסומן באות r, הוא יחידה אחת, זהו מעגל היחידה. היקף המעגל מתקבל מהנוסחה 2πr ולכן ערכו עבור מעגל היחידה הוא 2π. כך מחולק המרחב המעגלי שסביב קודקוד הזווית ל- 2π יחידות. כל יחידה אחת נקראת רדיאן, לכן המרחב כולו מחולק ל- 2π רדיאנים. למשל, זווית שגודלה רבע מהמרחב המעגלי שסביב לקודקודה תהיה זווית בגודל של 2π/4=π/4 רדיאנים, זווית שגודלה חצי מהמרחב המעגלי שסביב לקודקודה תהיה זווית בגודל של 2π/2=π רדיאנים.

ניתן להמיר את גודל הזווית מיחידות של מעלות ליחידות של מעלות ולהפך לפי הנוסחאות הבאות:

[º]/180 • π = [rad]
[rad]/π • 180 = [º]

קל לזכור ש- π רדיאנים שווים ל- 180 מעלות.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | טריגונומטריה : מבוא | מדידת ערך הזווית | הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות | ערכים מיוחדים של הפונקציה הטריגונומטרית | קשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות | הרחבת תחום ההגדרה | פונקציות טריגונומטריות הפוכות | זהויות טריגונומטריות מיוחדות | יחסי זווית-צלע במשולש ישר-זווית | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הסינוסים) | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הקוסינוס) | חישוב שטח משולש ]