נגישות
headline
Error processing SSI file




זהויות טריגונומטריות מיוחדות


בפרק חשוב זה נציג זהויות טריגונומטריות חשובות. בעזרת זהויות או נוסחאות אלו ניתן יהיה לפתור משוואות טריגונומטריות. משוואה טריגונומטרית היא משוואה המכילה ביטויים של הפונקציות הטריגונומטריות השונות.

סכום שתי זוויות


sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ

tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα tanβ)

cot(α + β) = (cotα cotβ – 1) / (cotα + cotβ)

הערה: שתי הנוסחאות האחרונות תקפות כל עוד המכנה של השבר אינו מתאפס!

הוכחות

את הנוסחה לחישוב קוסינוס של זווית נוכיח בעזרת השרטוט הבא:

שרטוט עזר

שרטוט ממחברת


כבניית-עזר נעביר קטע ישר BF המקביל לקטע AC והחותך את קטע DE בנקודה F.

נשים לב ש-

זווית ABF שווה לזווית BAC (זוויות מתחלפות בין הישר AB החותך שני ישרים מקבילים, BF||AC.
זווית DEB ועוד זווית EBF שוות יחד לזווית ישרה. זווית ABF ועוד זווית EBF שוות יחד גם כן לזווית ישרה. לכן זוויות ABF ו- BED בהכרח שוות ביניהן.

מתוך משולש ABC ומשולש ABE נקבל,

cos α = AC/AB
cos β = AB/AE

נבטא את AC בעזרת AE,

AC = AB cos α = AE cos α cos β

מתוך משולש ABE ומשולש EBF נקבל,

sin β = BE/AE
sin α = BF/BE

נבטא את BF בעזרת AE,

BF = EB sin α = AE sin α sin β

מתוך משולש ADE נקבל,

cos (α + β) = AD/AE = (AC – BF)/AE =
(AE cos α cos β – AE sin α sin β) / AE =
cos α cos β – sin α sin β

את הנוסחה לחישוב סינוס של חיבור שתי זוויות נקבל מהצבה במשוואת הקוסינוס,

sin(α + β) =
cos (90º – (α + β)) =
cos (α + β – 90º) =
cos α cos (β – 90º) – sin α sin (β – 90º) =
cos α cos(90 – β) + sin α sin (90º – β) =
sin α sin β + cos α cos β

את הנוסחה לחישוב טנגס של חיבור שתי זוויות נקבל מחלוקת נוסחת הסינוס בקוסינוס,

(נזכיר ש- tanα = sinα / cosα)

sin(α + β) / cos(α + β) = (sinα cosβ + cosα sinβ) / (cosα cosβ – sinα sinβ)
tan(α + β) = (sinα cosβ + cosα sinβ) / (cosα cosβ – sinα sinβ)

נחלק את המונה ואת המכנה של השבר שבאגף הימני ב- cosα,

tan(α + β) = (tanα cosβ + sinβ) / (cosβ – tanα sinβ)

נחלק את המונה ואת המכנה של השבר שבאגף הימני ב- cosβ,

tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα tanβ)

את הנוסחה לחישוב קוטנגס של חיבור שתי זוויות נקבל על-ידי הפיכת פונקצית הטנגס,

(נזכיר ש- cotα = 1 / tanα)

tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα tanβ)
cot(α + β) = (1 – tanα tanβ) / (tanα + tanβ)
cot(α + β) = (1 – 1/(cotα cotβ)) / (1/cotα + 1/cotβ)

נחלק את המונה ואת המכנה של השבר שבאגף הימני ב- cotα cotβ,

cot(α + β) = (cotα cotβ – 1) / (cotα + cotβ)

הפרש שתי זוויות


sin(α – β) = sinα cosβ – cosα sinβ

cos(α – β) = cosα cosβ + sinα sinβ

tan(α – β) = (tanα – tanβ) / (1 + tanα tanβ)

cot(α – β) = (cotα cotβ + 1) / (cotα – cotβ)

הערה: שתי הנוסחאות האחרונות תקפות כל עוד המכנה של השבר אינו מתאפס!

נשים לב שהנוסחאות דומות מאוד. ההבדל היחיד באגף הימני של כל משוואה הוא החלפת סימן הפעולה בין כל שני ביטויים בו.

הוכחות

נוסחאות אלו ניתן לקבל על-ידי הצבת –β במקום β בנוסחאות של חיבור זוויות תוך שימוש בשלב ההוכחה בנוסחאות לחישוב ערכה של זווית שלילית.

זווית כפולה


sin(2α) = 2 sinα cosα

cos(2α) = cos2α – sin2α

tan(2α) = 2 tanα / (1 – tan2α)

הוכחות

נוסחאות אלו ניתן להוכיח בקלות בעזרת הנוסחאות של סכום שתי זוויות.

sin(α + α) = sinα cosα + cosα sinα
sin(2α) = 2 sinα cosα

cos(α + α) = cosα cosα – sinα sinα
cos(2α) = cos2α – sin2α

tan(α + α) = (tanα + tanα) / (1 – tanα tanα)
tan(2α) = 2 tanα / (1 – tan2α)

cot(α + α) = (cotα cotα – 1) / (cotα + cotα)
cot(2α) = (cot2α – 1) / 2cotα

חצי זווית


sin½α = ±√((1 – cosα)/2)

cos½α = ±√((1 + cosα)/2)

tan½α = ±√((1 – cosα) / (1 + cosα))

cot½α = ±√((1 + cosα) / (1 – cosα))

הוכחות

נוכיח את הנוסחה לחישוב הסינוס של מחצית הזווית בעזרת הנוסחה לחישוב קוסינוס של זווית כפולה,

cos(2α) = cos2α – sin2α
cos(2α) = (1 – sin2α) – sin2α
cos(2α) = 1 – 2sin2α

ניתן לכתוב אחרת את הנוסחה שלעיל כך שתכיל מחצית זווית,

cosα = 1 – 2sin2½α

sin2½α = (cos2½α – cosα)/2

sin½α = ±√((cos2½α – cosα)/2)

סכום והפרש שתי פונקציות


sinα + sinβ = 2 sin½(α+β) cos½(α–β)

sinα – sinβ = 2 sin½(α–β) cos½(α+β)

cosα + cosβ = 2 cos½(α+β) cos½(α–β)

cosα – cosβ = – 2 sin½(α+β) sin½(α–β)

הוכחות
נוכיח את הנוסחה לחישוב חיבור שתי פונקציות סינוס של שתי זוויות שונות.

את הזוויות α ו- β נוכל לרשום גם כך,

α = ½(α+β) + ½(α–β)
β = ½(α+β) – ½(α–β)

כלומר,

sinα + sinβ =
sin[½(α+β) + ½(α–β)] + sin[½(α+β) – ½(α–β)]

נפרק כל פונקצית סינוס בה מחוברות או מחוסרות שתי זוויות לפי הנוסחה לחיבור או חיסור שתי זוויות. נזכיר קודם מהן שתי הנוסחאות בהן נשתמש,

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
sin(α – β) = sinα cosβ – cosα sinβ

נשתמש בנוסחאות שלעיל לפירוק שתי פונקציות הסינוס ונקבל,

sinα + sinβ =
sin½(α+β) cos½(α–β) + cos½(α+β) sin½(α–β) +
sin½(α+β) cos½(α–β) – cos½(α+β) sin½(α–β)

נצמצם ונקבל,

sinα + sinβ = 2 sin½(α+β) cos½(α–β)

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | טריגונומטריה : מבוא | מדידת ערך הזווית | הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות | ערכים מיוחדים של הפונקציה הטריגונומטרית | קשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות | הרחבת תחום ההגדרה | פונקציות טריגונומטריות הפוכות | זהויות טריגונומטריות מיוחדות | יחסי זווית-צלע במשולש ישר-זווית | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הסינוסים) | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הקוסינוס) | חישוב שטח משולש ]