נגישות
headline
Error processing SSI file




יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הקוסינוס)


בפרק זה נציג ונוכיח את משפט הקוסינוס.

משפט הקוסינוס הוא,

c2 = a2 + b2 – 2ab•cosγ

גם כאן כמו בהוכחת משפט הסינוסים, נפצל את תהליך ההוכחה לשלושה מקרים. הפעם נבדיל בין סוגי זוויות במקום סוגי משולשים. בכל מקרה נוכיח את תקפות המשפט עבור סוג מסוים של זווית עבור הזווית המופיעה במשפט.

עבור זווית קהה במשולש נוריד אנך מקודקוד צלע אחת של הזווית-הקהה לכיוון הצלע השנייה של הזווית.

שרטוט

משולש קהה-זווית


במשולש מתקיים,

cos(180º-γ) = d/b

ידוע הקשר

cos x = -cos(180º-x)

נשתמש בקשר שלעיל ונמצא את ערכו של d,

cos γ = -d/b
d = -b • cos γ

נשתמש במשפט פיתגורס ונקבל,

b2 = d2 + h2

נשתמש שוב במשפט פיתגורס ונקבל,

c2 = h2 + (a+d)2
c2 = h2 + a2 + 2ad + d2
c2 = b2 + a2 + 2ad
c2 = a2 + b2 + 2a•(-b • cos γ)
c2 = a2 + b2 – 2ab•cos γ

עבור זווית ישרה במשולש כבר הוכח שהמשפט מתקיים בפרק הדן ביחסי זווית-צלע במשולש ישר-זווית. נזכיר שעבור משולש ישר-זווית מתקבל משפט פיתגורס שהוא מקרה פרטי של משפט הקוסינוס.

c2 = a2 + b2 – 2ab•cos γ

במשולש ישר זווית γ=90º. נקבל,

c2 = a2 + b2 – 2ab•cos 90º

c2 = a2 + b2

עבור זווית חדה ייתכנו שלושה אפשרויות. יתכן והמשולש הוא קהה-זווית, חד-זווית או ישר-זווית.

במשולש קהה-זווית נוריד אנך מהקודקוד שממול לזווית החדה שנבחרה להיות במשפט הקוסינוס אל עבר המשך הצלע שמול קודקוד זה.

שרטוט

משולש קהה-זווית


cos γ = (a+d)/b
d = b•cos γ – a

c2 = h2 + d2
h2 = c2 – d2

b2= h2 + (a+d)2
b2 = h2 + a2 + 2ad + d2
b2 = c2 – d2 + a2 + 2ad + d2
b2 = c2 + a2 + 2ad
c2 = b2 – a2 – 2a•(b•cos γ – a)
c2 = b2 – a2 + 2a2 – 2ab•cos γ
c2 = b2 + a2 – 2ab•cos γ

גם עבור זווית-חדה שבמשולש חד-זווית מתקיים המשפט.

שרטוט

משולש חד-זווית


cos γ = a1/b
b2 = h2 + a12
c2 = h2 + a22
c2 = b2 – a12 + a22
c2 = b2 – a12 + (a-a1)2
c2 = b2 + a2 – 2aa1
c2 = b2 + a2 – 2ab•cos γ

גם עבור זווית-ישרה שבמשולש חד-זווית מתקיים המשפט. הוכיחו זאת!

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | טריגונומטריה : מבוא | מדידת ערך הזווית | הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות | ערכים מיוחדים של הפונקציה הטריגונומטרית | קשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות | הרחבת תחום ההגדרה | פונקציות טריגונומטריות הפוכות | זהויות טריגונומטריות מיוחדות | יחסי זווית-צלע במשולש ישר-זווית | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הסינוסים) | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הקוסינוס) | חישוב שטח משולש ]