headline
Error processing SSI file




קצה קצב הגידול המרבי בגרף


נבחן את המקרה של הלוואה בריבית דה-ריבית הנלקחת בריבית שנתית של 100% עם זמני חישוב ריבית שונים. ככל שזמני חישוב הריבית הם צפופים יותר נקבל מסלול חישוב ריבית הקרוב יותר למסלול חישוב ריבית רציפה.

נרכז בטבלה אחת את מסלולי ההלוואה השונים ונחשב עבור כל אחד מהם את יחס הגידול של הסכום הסופי לתשלום לעומת סכום קרן ההלוואה ההתחלתי:

חודששנתיחצי-שנתירבעוניחודשישבועי
01.00001.00001.00001.00001.0000
1   1.08331.0860
2   1.17361.1795
3  1.25001.27141.2810
4   1.37741.3912
5   1.49211.5109
6 1.50001.56251.61651.6409
7   1.75121.7821
8   1.89711.9354
9  1.95312.05522.1020
10   2.22652.2828
11   2.41202.4793
122.00002.25002.44142.61302.6926

יחס הגידול של סכום החוב בסוף תקופת ההלוואה לבין קרן ההלוואה ההתחלתית מחולקת לפי קצבי עדכון חוב שונים


מתוך נתוני הטבלה שלעיל נקל לראות שככל שקצב עדכון חישוב החוב הוא גדול יותר (למשל, שבועי במקום שנתי) כך היחס בין החוב הסופי לבין קרן ההלוואה ההתחלתית הוא גדול יותר ומתקרב יותר לערכו של e.

השיפוע של ex



משוואה מעריכית פשוטה היא משוואה מהצורה ax כאשר a הוא מספר כלשהו. גרף של משוואה זו נקרא גרף מעריכי או אקספוננציאלי. למשל, עבור a=2 נקבל את הביטוי 2x. ניתן לראות בגרף המובא למטה את צורתו של הגרף. צורתו של הגרף היא קו מתעקל העולה באיטיות רבה עבור ערכים קטנים של x עד לנקודה בה הוא עולה במהירות למעלה. צורה זו של הגרף (קו המתעקל כלפי מעלה) היא צורה אופיינית לגרפים "אקספוננציאלים".


שיפוע הגרף של הביטוי 2x הוא 0.693•2x. כלומר, בכל נקודה על הגרף בה נבחר לצייר משיק לגרף הנוגע בגרף רק בנקודה אחת יהיה ערכו של שיפוע של המשיק מחושב לפי 0.693•2x.

למשל, בנקודה x=1 שיפוע המשיק הוא 0.693, בנקודה x=2 שיפוע המשיק הוא 2.772 וכו'.

עבור כל פונקציה מעריכית מהצורה ax קיימת נוסחה לחישוב השיפוע של המשיק של הפונקציה. הנוסחה לחישוב שיפוע המשיק היא תמיד מן הצורה,

b•ax

כאשר b הוא מספר ממשי כלשהו.

האם קיים ערך של a עבורו הנוסחה לחישוב שיפוע המשיק שווה לפונקציה עצמה?

כלומר, האם קיים ערך של a עבורו המקדם b יהיה שווה לאחד (b=1)?

התשובה היא כן. עבור הפונקציה המעריכית ex, המשיק לגרף בכל נקודה ונקודה הוא בעל שיפוע של ex.
זוהי עוד תכונה מיוחדת של המספר e.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | לוגריתם והמספר הטבעי : לוגריתם | מבוא למספר הטבעי e | קצה קצב הגידול | הקצב בו גדלים דברים | קצב הגידול המרבי בגרף | המספר הטבעי e והלוגריתם הטבעי