headline
Error processing SSI file




מבוא למספר הטבעי e


המספר הטבעי e הוא מספר ממשי אי-רציונאלי בדומה למספר π המוכר משיעורי הגיאומטריה. נזכיר שהמספר π, שערכו בקירוב הוא 3.141, מבטא את היחס בין קוטר המעגל להיקפו. למספר הטבעי e יש משמעות מיוחדת בעולם המתמטיקה, הכלכלה, הטבע ועוד. אז איך התגלה המספר הטבעי e? מה משמעותו? היכן בדיוק הוא מופיע וכמובן מהו ערכו?

כדי להבין את משמעות המספר e נדון תחילה בהלוואה כספית ובחישובי ריבית על ההלוואה.

מהי בכלל ריבית? ריבית הינה תשלום תמורת שרות של הלוואה כספית. אדם הלווה כסף לתקופת זמן מסוימת מחויב להחזיר את סכום ההלוואה שהלווה, זו נקראת "קרן ההלוואה", בתוספת של ריבית מוסכמת מראש כתמורה על השימוש שעשה בכסף במשך תקופת ההלוואה.

למשל, אדם לווה סכום של 100,000 שקלים בריבית שנתית של 100% למשך תקופה של שנה אחת בלבד. בתום שנה אחת ישלם הלווה את כל סכום קרן ההלוואה, שהוא 100,000 שקלים, ובתוספת גם את הריבית. גובה הריבית בשקלים זהה, במקרה של ריבית של 100%, לסכום הקרן,

100,000 • 100% = 100,000 • 100/100 = 100,000

כלומר, הלווה ישלם למלווה סכום של 200,000 שקלים המורכב מ- 100,000 שקלים גובה קרן ההלוואה ומ- 100,000 שקלים סכום תשלום הריבית. היחס בין עלות ההלוואה ללווה לבין הכסף שקיבל כהלוואה הוא,

200,000 / 100,000 = 2

משמעות יחס זה היא שהלווה יצטרך להחזיר פי 2 יותר ממה שקיבל.

הערה: ריביות בנקאיות הן משמעותית נמוכות יותר מריבית שנתית של 100%. אך למטרת הבנת המשמעות של e נלקחה דוגמה של ריבית של 100%, כפי שיובן מייד בהמשך.

ומהי ריבית דה-ריבית? כאשר הריבית על ההלוואה משולמת רק על סכום ההלוואה בלבד זוהי ריבית "רגילה", כמו בדוגמה הקודמת. בריבית "הרגילה" הריבית מחושבת פעם אחת בלבד על סכום קרן ההלוואה שנלקחה.

בריבית דה-ריבית הריבית מחושבת יותר מפעם אחת לאורך תקופת ההלוואה. בפעם הראשונה שהריבית דה-ריבית מחושבת היא מחושבת על כל סכום קרן ההלוואה (כמו בהלוואה "רגילה"). אך עבור כל פרק זמן נוסף בחיי ההלוואה מחושבת הריבית על הסכום החדש של קרן ההלוואה יחד עם סך הריבית מפרקי הזמן הקודמים.

למשל, אדם לווה סכום הלוואה של 100,000 שקלים במסלול הלוואה מסוג ריבית דה-ריבית בגובה של 100% בחישוב שנתי. חישוב תשלומי הריבית מתבצע פעמיים, בפעם הראשונה אחרי חצי שנה ובפעם השנייה אחרי חצי שנה נוספת, כלומר, בתום תקופת ההלוואה. כמה ישלם הלווה למלווה בתוכנית הלוואה זו?

הריבית המצוינת בתנאי ההלוואה היא ריבית שנתית של 100%. כדי לחשב את גובה הריבית עבור פרק הזמן הראשון, שהוא חצי השנה הראשונה, יש לחלק את הריבית השנתית הנקובה של ההלוואה בשניים. החלוקה בשניים נובעת מכך שפרק הזמן הראשון הוא חצי שנה וישנם שני חצאי שנה בשנה אחת. נקבל שהריבית עבור פרק הזמן הראשון היא,

100% / 2 = 50%

בחצי השנה הראשונה יתקבל שסכום הריבית שהצטבר עד לתום פרק זמן זה הוא,

100,000 • 50% = 50,000

כלומר, בתום חצי השנה הראשונה חובו של הלווה גדל והוא כולל כעת גם את קרן ההלוואה, בסך של 100,000 שקלים, וגם את הריבית עבור פרק הזמן הראשון שערכה הוא 50,000 שקלים. סך הכול, חובו בשקלים של הלווה בתום פרק הזמן הראשון הוא,

100,000 + 50,000 = 150,000

פרק הזמן השני של ההלוואה, חצי השנה השנייה, מתחילה כאשר חובו של הלוואה עומד על 150,000 שקלים. אל חוב חדש זה ניתן להתייחס כמו אל הלוואה חדשה.

גם עבור פרק הזמן השני של ההלוואה חלה ריבית בגובה של 50%. את גובה ריבית זו יש להחיל על כל סכום החוב החדש. כך נקבל שתשלום הריבית בשקלים על חצי השנה השנייה הוא,

100,000 + 50,000) • 50% = 75,000)

מכאן התקבל שסך הריבית שעל הלווה לשלם למלווה בהלוואה מסוג ריבית דה-ריבית עבור שני חצאי השנה הוא,

50,000 + 75,000 = 125,000

סך הקרן והריבית שייאלץ הלווה לשלם למלווה בהלוואה מסוג ריבית דה-ריבית יהיה,

100,000 + 125,000 = 225,000

התשלום הוא 25,000 שקל יותר מתוכנית בריבית "רגילה". היחס בין התשלום עבור ההלוואה לגובה ההלוואה שניתנה עלה מיחס של 2 ל-

225,000 / 100,000 = 2.25

מסקנה: בהלוואה מסוג ריבית דה-ריבית גדל סכום הריבית שהלווה חייב למלווה.

האם הוא יכול לגדול עוד? האם הוא יכול לגדול עד אין קץ?
על כך מייד בפרק הבא.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | לוגריתם והמספר הטבעי : לוגריתם | מבוא למספר הטבעי e | קצה קצב הגידול | הקצב בו גדלים דברים | קצב הגידול המרבי בגרף | המספר הטבעי e והלוגריתם הטבעי