headline
Error processing SSI file




המספר הטבעי e והלוגריתם הטבעי


המספר e מייצג את קצב הגידול האפשרי שניתן להחיל על כמות כלשהי, שבגידול חד-פעמי הייתה גדלה פי 2 באותו פרק זמן.

הדוגמה שהובאה בחלק הראשון כללה הלוואה בנקאית בריבית שנתית של 100% המחושבת באופן רציף. דוגמה זו הובאה לצורך הדגמה בלבד של מושג יחס הגידול המרבי, e. במציאות הריבית על הלוואות נמוכה הרבה יותר ועדכונה נעשה בד"כ פעם בשנה, חצי-שנה או רבעון ולא כל שנייה או מיקרו-שנייה.

דווקא בעולם הטבע הסובב אותנו מופיע יחס הגידול הטבעי שוב ושוב בתהליכים שונים. למשל, קצב התרבותה של מושבת חיידקים, דעיכה של קרינה רדיואקטיבית, טעינה ואו פריקה של מטען חשמלי וכדומה. בזכות הופעתו הרבה של יחס הגידול המרבי e בעולם הטבע זכה ערך זה גם לכינוי המספר הטבעי e.

דוגמה א'

נניח שבתוך צלוחית מעבדה נמצאת מושבת חיידקים. החיידקים מתרבים במהירות ובאופן רציף. בבדיקה שנערכה אחרי שעה התגלה שמושבת החיידקים הכפילה את עצמה פי 2.718 בקירוב. בכמה תכפיל את עצמה אוכלוסיית החיידקים בסוף שעה נוספת?

בשעה הראשונה הכפילה אוכלוסיית החיידקים את גודלה לפי קצב הגידול המרבי e. קצב זה ימשך גם בשעה השנייה וגם בה תוכפל שוב אוכלוסיית החיידקים לפי e.

דוגמה ב'

עבור צלוחית מעבדה אחרת, בבדיקה שנערכה אחרי שעה התגלה שמושבת החיידקים הכפילה את עצמה פי e½. בכמה תכפיל את עצמה אוכלוסיית החיידקים בסוף שעה נוספת? בסוף שעתיים נוספות? כמה שעות צריכות לעבור סך הכול עד שאוכלוסיית החיידקים תחצה את קו הגידול של פי עשר?

אחרי שעה גדלה אוכלוסיית החיידקים פי e½. קצב זה נשמר ובשעה הנוספת תגדל אוכלוסיית החיידקים פי e½ פעם נוספת. לכן בסוף שעה נוספת תגדל אוכלוסיית החיידקים פי e לעומת זמן ההתחלה.

אחרי שלוש שעות למן נקודת ההתחלה תגדל אוכלוסיית החיידקים פי e=4.637 לעומת גודלה בהתחלה.

אחרי ארבע שעות ההתחלה תגדל אוכלוסיית החיידקים פי e2=7.734 לעומת גודלה בהתחלה.

אחרי חמש שעות ההתחלה תגדל אוכלוסיית החיידקים פי e=12.897 לעומת גודלה בהתחלה.

דוגמה ג'

גוש חומר רדיואקטיבי פולט קרינה. שתי מדידות נערכו בהפרש של שעה אחת מהשנייה. המדידה השנייה הראתה ירידה של 80% בקרינה הנפלטת מהגוש הרדיואקטיבי. כמה זמן יש עוד לחכות עד שעוצמת הקרינה הנפלטת תרד ל- 4% לעומת ערכה במדידה הראשונה?

ירידה של 80% משמעה שלפי המדידה השנייה הקרינה הוכפלה ב- 1/5 לעומת המדידה הראשונה. כדי שהקרינה תרד עד ל- 4% היא צריכה לרדת ב- 96%. כדי להגיע לירידה של 96% בקרינה יש להכפיל את כמות הקרינה הראשונית ב- 1/25. כלומר, יש לחכות שעה נוספת. כי,

1/5 • 1/5 = 1/25

כל שעה מקטינה את כמות הקרינה הנפלטת פי 1/5.

דוגמה ד'

עבור צלוחית מעבדה נוספת, בבדיקה שנערכה אחרי שעה התגלה שמושבת החיידקים הכפילה את עצמה פי 3. כמה דקות מנקודת ההתחלה הוכפל גודלה של אוכלוסיית החיידקים לעומת גודלה המקורי?

אחרי שעה גדלה אוכלוסיית החיידקים פי 3. נבטא גודל זה באמצעות e בחזקת נעלם כלשהו,

ex = 3

בעזרת הפעלת פעולת לוגריתם לפי בסיס e על שני אגפי המשוואה נוכל למצוא את ערכו של x,

logeex = loge3

x•logee = loge3

x = loge3 = 1.0986…

כלומר, קצב הגידול לשעה הוא לפי הערך,

e1.0986

נרצה למצוא מתי הכפילה אוכלוסיית החיידקים את עצמה לעומת גודלה המקורי. כלומר, נרצה למצוא מתי קצה הגידול הגיע לערך 2. נייצג את הערך 2 בעזרת העלאה של e בחזקת ערך נעלם.

ey = 2
y = loge2 = 0.693

כדי למצוא את הזמן בו קצב הגידול הגיע לערך 2 ניאלץ לחלק את x ב- y,

x/y = 0.693 / 1.0986 = 0.631

נמיר את המספר שמצאנו לדקות ונקבל,

0.631 • 60 ≈ 38

כלומר, אחרי כ-38 דקות אוכלוסיית החיידקים שבצלוחית הכפילה את גודלה.

הלוגריתם הטבעי


בדוגמאות שהראנו נפוצה פעולת הלוגריתם לפי בסיס e בדרך הפתרון. כדי לייחד את פעולת הלוגריתם לפי בסיס e הומצא לה סימון מיוחד – ln (מבוטא lan). למשל, הנה מספר דוגמאות ללוגריתם לפי בסיס e ואחריהם צורת הכתיבה המקוצרת,

loge5x = ln5x
loge2xt = ln2xt

ציון הבסיס של פעולת ln מיותר, כח פעולת ln היא פעולת לוגריתם המבוצעת תמיד לפי אותו בסיס, בסיס e.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | לוגריתם והמספר הטבעי : לוגריתם | מבוא למספר הטבעי e | קצה קצב הגידול | הקצב בו גדלים דברים | קצב הגידול המרבי בגרף | המספר הטבעי e והלוגריתם הטבעי