הקצב בו גדלים דברים

מהפרק הקודם עולה שככל שהלוואה מפוצלת ליותר ויותר הלוואות לפרקי זמן קצרים יותר כך החוב הסופי לתשלום גדל. ראינו שהסיבה לכך היא שהחל מפרק הזמן השני של הלווה המפוצלת והלאה מופעלת הריבית על הקרן ועל סכום הריביות שהצטבר מפרקי-הזמן הקודמים.

ניתן לתאר את גידול החוב בעזרת הפעלת הריבית שוב ושוב, כמספר פרקי-הזמן של ההלוואה המפוצלת, על קרן ההלוואה המקורית.

למשל, עבור המקרה של הלוואה בריבית דריבית של 100% למשך שנה בשני מועדי חישוב חוב, אחרי חצי-שנה ואחרי שנה נקבל שהחוב הסופי לתשלום הוא,

100,000 • (1 + 1/2) • (1+ 1/2) = 225,000

שוב, נזכיר שהשבר 1/2 התקבל מפיצול הריבית השנתית של 100% לשני פרקי-הזמן שהם שני חצאי השנה.

קצב גידול החוב במקרה זה הוא,

(1 + 1/2) • (1+ 1/2) = 2.25

לדוגמה נוספת, עבור המקרה של הלוואה בריבית דריבית של 100% למשך שנה בשני מועדי חישוב חוב, אחרי חצי-שנה ואחרי שנה נקבל שהחוב הסופי לתשלום הוא,

100,000 • (1 + 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) = 261,303.53

כאן, נזכיר שהשבר 1/12 התקבל מפיצול הריבית השנתית של 100% ל-12 פרקי-הזמן שהם 12 חודשי השנה.

קצב גידול החוב במקרה זה הוא,

(1 + 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) • (1+ 1/12) = 2.613…

את המשוואה האחרונה ניתן לרשום בקיצור,

(1+ 1/12)¹² = 2.613…

החסם שקיבלנו שערכו המקורב הוא ...2.71828 קיבל את כסימן את האות האנגלית e.

e = 2.71828…

איך בדיוק התקבל ערך זה?

נסביר זאת בעזרת חישוב קצב הגידול של הלוואה בריבית דריבית.

בחלק הקודם ראינו שקצב הגידול עבור הלוואה בריבית דריבית של 100% שהחוב שלה מתעדכן כל חצי שנה הוא,

(1 + 1/2) • (1+ 1/2) = 2.25

ראינו גם שקצב הגידול עבור הלוואה בריבית דריבית של 100% שהחוב שלה מתעדכן כל חצי שנה הוא,

(1+ 1/12)¹² = 2.613…

באופן כללי עבור חלוקת משך תקופת ההלוואה ל- n תקופות קצרות נוכל לרשום את יחס גידול החוב כך,

יחס הגידול =
(1 + 1/n)ⁿ

ככל שנציב במקום n ערך גדול יותר ויותר כך יתקרב יחס הגידול לערכו של חסם קצב הגידול, e.

לכן, ערכו המדויק של e מתקבל מההגדרה הבאה,

e = (1 + 1/n)ⁿ , כאשר n שואף לאינסוף

חסם זה מצביע על יחס הגידול המרבי שניתן להשיג תוך פרק זמן נתון מכמות שמוגדר שהיא מכפילה עצמה כל אותו פרק זמן נתון. הגדרת פרק הזמן בו הכמות מכפילה את עצמה היא במקרה של חישוב הגידול באופן חד-פעמי, בסוף פרק הזמן, כמו בהלוואה בריבית "רגילה". במקרה זה יחס הגידול הוא פי 2. אך אם נפעיל בפרק זמן זה ריבית דריבית בפרקי זמן קטנים מאוד נוכל להגדיל את יחס הגידול מפי 2 עד לפי ...2.718.

כלומר, אם ניקח שקל אחד בריבית 100% ונבצע עליו מסלול של ריבית דריבית באופן רציף לפרקי זמן קטנים מאוד ולמשך תקופת זמן של יחידה אחת נקבל סכום סופי הגדול פי e לעומת הסכום ההתחלתי.

המשמעות של חישוב ריבית באופן רציף היא שהריבית אינה מחושבת עבור תקופה בדידה, כמו שנה, חודש, שבוע או אפילו שנייה או מיקרו-שנייה. בגידול רציף מתכוונים לגידול המתרחש בפרק זמן קטן ואפסי הקרוב מאוד לאפס זמן.

כיצד ישתנה יחס הגידול המרבי בשינוי של הכמות ההתחלתית?

אם, למשל, נתחיל את התהליך עם שני שקלים, במקום עם שקל אחד, נקבל שהכמות בסוף התהליך היא 2e. ניתן לראות זאת כאילו כל כמות של שקל אחד גדלה בנפרד ובמקביל לכמות האחרת של שקל אחד. לכן סך הכמות היא סכום שתי הכמויות: e + e = 2e.

כיצד ישתנה יחס הגידול המרבי בשינוי קצב הגידול הנקוב עבור גידול חד-פעמי?

אם, למשל, תחול על ההלוואה ריבית של 50%, במקום ריבית של 100%, נקבל שהכמות בסוף התהליך היא e^½, במקום e. נוכיח זאת על-ידי הצבת 50% (כלומר 1/2) במשוואה של יחס הגידול במקום 100% 0כלומר 1),

יחס הגידול =
(1 + ½/n)ⁿ =
[1 + 1/(2n)]ⁿ

את החזקה נכפיל ב- 2 כדי לקבל חזקה של 2n, כדי שזו תהיה שווה למכנה השבר שבסוגריים. כדי לבטל את הכפלת החזקה ב- 2 גם נחלק אותה ב- 2. נקבל,

יחס הגידול לריבית של 50% =
[1 + 1/(2n)]^{2n • ½}

מכיוון שיחס הגדול נכונה לכל n כלשהו היא תהיה נכונה גם עבור 2n. לכן נוכל להחליף את כל הביטוי שבחזקת 2n בערכו של e. נקבל,

יחס הגידול לריבית של 50% = e^½

שיטות שונות לחישוב ערכו של e

בחלק הקודם הוגדר ערכו של e כ-

e = (1 + 1/n)ⁿ
כאשר n שואף לאינסוף

אם כבר למדתם את הפרק הדן בתורת הגבול, אז נציין שניתן לנסח את המשוואה לחישוב ערכו של e גם באופן הכללי הבא,

e = lim(1 + 1/n)^n
n→∞        

הנוסחה לחישוב ערכו של e היא למעשה משוואת בינום של ניוטון מסדר n. נזכיר שמשוואת הבינום של ניוטון היא משוואה מהצורה הבאה,

(a + b)ⁿ

נציב a=1 ו- b=1/n במשוואת הבינום ונקבל את e,

e = (1 + 1/n)ⁿ

את הביטוי בסוגריים המועלה בחזקת n ניתן לפרק לגורמיו. מהפרק הדן בקומבינטוריקה ידוע לנו כיצד ניתן לחשב את מקדמי הבינום של הגורמים. נציב את ערכי המקדמים ונקבל את הנוסחה הבא לחישוב ערכו של e,

e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + … + 1/n!

או בקיצור:
_∞   
e = ∑1/(n!)
ⁿ⁼⁰   

מהנוסחה שלעיל נוכל לחשב את ערכו של e בהתאם לרמת הדיוק הרצויה. ככל שנרצה לדייק יותר בחישוב של e, כך נחבר יותר איברים בנוסחת הסכום. הנה, למשל, ערכו של e ברמות דיוק שונות:

מספר איברים שסוכמו	ערכו של e (מעוגל ל-8 ספרות אחרי הנקודה)
1	1.00000000
2	2.00000000
3	2.50000000
4	2.66666667
5	2.70833333
6	2.71666667
7	2.71805556
8	2.71825397
9	2.71827877
10	2.71828153

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | לוגריתם והמספר הטבעי : לוגריתם | מבוא למספר הטבעי e | קצה קצב הגידול | הקצב בו גדלים דברים | קצב הגידול המרבי בגרף | המספר הטבעי e והלוגריתם הטבעי