headline
Error processing SSI file




בעיות תנועה



כל בעיות התנועה (בענף המתמטיקה) מתבססות על משוואה אחת בלבד:

מהירות • זמן = דרך

ממשוואה פשוטה יחידה זו ניתן לבנות בקלות בעיות תנועה קשות ומסובכות.

ניתן כאן כמה דוגמאות במדרג קושי עולה.

1. מכונית נוסעת במהירות של 50 קמ"ש (קילומטר לשעה) במשך שעתיים. מה הדרך שנסעה המכונית?

דרך = 50 [קמ"ש] • 2 [שעות] = 100 [ק"מ]

מכאן שהדרך שנסעה המכונית במשך השעתיים היא 100 ק"מ.

2. מטוס טס במהירות של 550 קמ"ש. על המטוס לעבור דרך של 1925 ק"מ. כמה זמן תימשך הטיסה?

זמן = 550 [קמ"ש] / 1925 [ק"מ] = 3.5 [שעות]

3. שתי רכבות יוצאות בו-זמנית זו לקראת זו. האחת נעה במהירות של 120 קמ"ש והשנייה במהירות של 80 קמ"ש. איזה דרך תעבור הרכבת הראשונה עד לנקודת המפגש בין השתיים אם המרחק ההתחלתי ביניהן הוא 600 ק"מ?

שתי הרכבות נוסעות למשך אותו פרק-זמן עד לנקודת המפגש. משך פרק-זמן זה הוא נעלם ונסמן אותו באות t.

כל אחת מהרכבות נעה במהירות שונה ולכן גם עוברת מרחק שונה. הדרך שהרכבת הראשונה עוברת הוא 120t והדרך שהרכבת השנייה עוברת הוא 80t.

סכום המרחקים ששתי הרכבות עוברות הוא 600 ק"מ. מכאן נקבל את המשוואה הבאה עם הנעלם t,

120t + 80t = 600
200t = 600
t = 600/200
t = 3

כלומר, משך זמן הנסיעה של כל רכבת הוא 3 שעות. משידוע זמן הנסיעה נוכל לחשב את הדרך שעברה הרכבת הראשונה,

דרך שעברה רכבת ראשונה = 3 [שעות] • 120 [קמ"ש]
דרך שעברה רכבת ראשונה = 360 [ק"מ]

4. איתי יוצא מביתו ב- 7:30 בבוקר ומתחיל ללכת לכיוון בית חברו, אייל, במהירות של 5 קמ"ש. אחרי 15 דקות יוצא גם אייל מביתו ומתחיל ללכת לכיוון בית חברו, איתי, במהירות של 4 קמ"ש. באיזו שעה ייפגשו השניים אם המרחק בין שני הבתים הוא 3.5 ק"מ?

נסמן את משך ההליכה של איתי בעזרת הנעלם t. המרחק בק"מ שעובר אייל הוא 5t. איתי לעומת זאת יצא מביתו 15 דקות מאוחר יותר. לכן משך זמן ההליכה של איתי בשעות הוא t-15/60, כלומר t-1/4. המרחק בק"מ שעובר איתי במשך זמן זה הוא 4(t-1/4).

הדרך שעברו שניהם יחד הוא 3.5 ק"מ. לכן נוכל לבנות את המשוואה הבאה,

5t + 4(t-1/4) = 3.5
5t + 4t – 1 = 3.5
9t = 4.5
t = 0.5

משך זמן ההליכה של איתי הוא 0.5 שעות, כלומר חצי שעה.

השניים ייפגשו בשעה 8:00 בבוקר.

5. אייל יוצא חזרה לביתו מביתו של איתי במהירות קבועה. אחרי 5 דקות איתי יוצא מביתו להשיג את אייל במהירות הגדולה ב- 20% ממהירותו של אייל. 15 דקות אחרי שאיתי יצא מביתו עוד נותרו לו 150 מטרים כדי להשיג את אייל. מה היה הפרש המהירויות בקמ"ש ביניהם לטובת איתי?

איתי הולך במהירות v קמ"ש. אייל הולך במהירות הגדולה ב- 20%, לכן מהירותו היא 1.2v קמ"ש.

אייל הלך סה"כ 20 דקות. לכן הדרך שהוא עבר היא v•20/60.
איתי הלך רק 15 דקות. לכן הדרך שהוא עבר היא 1.2v•15/60.

הפרש הדרכים ביניהם הוא 150 מטרים, או 0.15 ק"מ, לטובת אייל. נקבל את המשוואה הבאה,

v/3 – 1.2v/4 = 0.15
v/3 – 0.3v = 0.15
v – 0.9v = 0.45
0.1v = 0.45
v = 4.5

מהירות ההליכה של אייל היא 4.5 קמ"ש.
מהירות ההליכה של איתי גדולה ב- 20% והיא לכן 1.2•4.5, שהם 5.4 קמ"ש.
הפרש המהירויות ביניהם הוא 5.4-4.5, כלומר 0.9 קמ"ש.

6. רכבת אחת יוצאת מתחנה באשקלון ונוסעת צפונה. באיחור מה לאחר-מכן יוצאת צפונה רכבת שנייה מהתחנה בחיפה. הרכבת השנייה מגיע לתחנה בנהרייה עוצרת שם למשך 15 דקות ואז חוזרת באותו מסלול דרומה. הרכבת שיצאה מאשקלון האטה בחצי את מהירות התקדמותה אחרי חצי שעה של נסיעה. הרכבת השנייה נסעה כל הזמן במהירות קבועה הנמוכה ב- 25% ממהירות הרכבת הראשונה בעת יציאתה מאשקלון. אחרי שעה וחצי מרגע יציאתה של הרכבת מאשקלון הדרך שעברה הרכבת מאשקלון הייתה בדיוק כפולה מזו של הרכבת שיצאה מחיפה. בכמה דקות איחרה הרכבת שיצאה מחיפה לעומת זו שיצאה מאשקלון?

נסמן ב- v (וביחידות של קמ"ש) את מהירות הרכבת שיצאה מאשקלון בעת יציאתה מאשקלון. במשך חצי השעה הראשונה לנסיעתה עברה רכבת זו דרך של 0.5v ק"מ. בשעת הנסיעה הנוספת האטה הרכבת את מהירותה בחצי, כלומר מהירותה הייתה 0.5v קמ"ש. במשך שעת הנסיעה הנוספת עד לעצירתה עברה הרכבת דרך נוספת של 1•0.5v ק"מ, כלומר עוד 0.5v ק"מ. סך הדרך שעברה הרכבת מאשקלון הוא,

0.5v+0.5v = v [ק"מ]

הרכבת השנייה שיצאה מחיפה עברה חצי מהדרך שעברה הרכבת שיצאה מאשקלון, לכן הדרך שהיא עברה היא (1/2)•v ק"מ. דרך זו עברה הרכבת במהירות קבועה הנמוכה ב- 25% ממהירות v, כלומר במהירות של 3/4)• v) קמ"ש.

לכן משך זמן בו הייתה הרכבת שיצאה מחיפה בנסיעה הוא,

(1/2)v / (3/4)v =
(1/2) / (3/4) =
(1/2) • (4/3) =
4/6 =
2/3 [שעה]

2/3 משעה הם 40 דקות. במשך 40 דקות הייתה הרכבת בנסיעה במהירות של (3/4)v. אבל רכבת זו גם יצאה באיחור וגם עצרה למשך 15 דקות בנהרייה. נסמן ב- t את משך זמן איחור יציאת הרכבת בדקות. נחבר את שלושת פרקי הזמנים השונים ונשווה אותם למשך זמן (בדקות) נסיעת הרכבת שיצאה מאשקלון. הרכבת שיצאה מאשקלון נסעה במשך שעה וחצי, כלומר 90 דקות. נקבל ש-

40 + t + 15 = 90
t = 90 – 40 – 15
t = 35

הרכבת שיצאה מחיפה יצאה מהתחנה 35 מאוחר יותר מהרכבת שיצאה מאשקלון.

נשים לב שכדי לפתור את הבעיה סימנו את מהירות הרכבת שיצאה מאשקלון באות v, אך למרות שפתרנו את הבעיה ערכה של מהירות זו אינו ידוע לנו ואינו נדרש לפתרון הבעיה. סימון זה נדרש רק כדי לתאר את יחסי המהירויות והזמנים של שתי הרכבות.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | בעיות מילוליות : בעיות תערובת | בעיות שברים | בעיות אחוזים | בעיות תנועה | בעיות הספק ]