headline
Error processing SSI file




בעיות הספק



פתרון בעיות הספק דומה מאוד במהותו לפתרון בעיות תנועה. המהירות מוחלפת בהספק והדרך מוחלפת בכמות. משוואת ההספק היא אפוא,

הספק • זמן = כמות

יחידות ההספק הן כמות (מספר בריכות, מספר חביות וכו') חלקי יחידת זמן (שעה, דקה, יממה וכו').
יחידות הזמן זהות ליחידת הזמן שבשימוש לתיאור יחידת ההספק.
יחידות הכמות זהות ליחידת הכמות שבשימוש לתיאור יחידת ההספק.

ניתן מספר דוגמאות לבעיות הספק במדרג קושי עולה.

1. למשאבה לוקח 5 שעות למלא בריכה אחת. מהו הספק המשאבה?

הספק נמדד ככמות חלקי זמן. אם המשאבה ממלאת בריכה אחת במשך 5 שעות הספקה הוא,

[שעה/בריכה] 5 / 1 = הספק

משמעות הספק זה הוא שהמשאבה ממלאת 1/5 מהבריכה תוך שעה אחת. לכן תוך 5 שעות היא תמלא את הבריכה כולה.

2. שתי משאבות ממלאות יחד בריכה אחת תוך 8 שעות. ידוע שמשאבה א' יכולה למלא את הבריכה לבדה תוך 24 שעות. תוך כמה שעות יכולה משאבה ב' למלא את הבריכה לבדה?

ההספק של משאבה א' ידוע מתוך העובדה שלוקח לה 24 שעות למלא את הבריכה,

1/24 = הספק של משאבה א'

משאבה זו פועלת במשך 8 שעות יחד עם משאבה ב'. במשך זמן פעולה זו חלקה של משאבה א' למילוי הבריכה הוא,

8 • 1/24 = 8/24 = 1/3

כלומר, משאבה א' ממלאת 1/3 מקיבולת הבריכה. מכיוון שהבריכה מלאה כולה בסוף התהליך, משתמע שמשאבה ב' מילאה את 2/3 הבריכה הנותרים.

משאבה ב' הופעלה למשך אותו פרק זמן כמו משאבה א', 8 שעות, לכן הספקה הוא,

(2/3) / 8 = 2/3 • 1/8 = 1/12

כלומר, משאבה ב' יכולה למלא את הבריכה תוך 12 שעות.

3. משאבה הופעלה כדי לרוקן בריכה מלאה מים. המשאבה יכולה לרוקן את הבריכה תוך 4 שעות. מרגע הפעלת המשאבה החל לרדת גשם סוחף. אם הבריכה הייתה ריקה ושום משאבה לא הייתה מופעלת יכול היה הגשם למלא את הבריכה במים תוך 12 שעות. תוך כמה זמן תתרוקן הבריכה מרגע הפעלת המשאבה בהנחה שבמשך כל זמן פעולת המשאבה יורד גשם?

הספק פעולת ריקון המשאבה הוא,

1 / 4

הספק פעולת המילוי של הגשם הוא,

1 / 12

הספק פעולת הריקון גדול יותר מהספק מילוי הבריכה לכן הבריכה תתרוקן בסופו של דבר. שתי הפעולות, של ריקון הבריכה ומילויה, הן מנוגדות אחת לשנייה. לכן, ההספק המשותף של שתי הפעולות יהיה הספק של פעולה אחת בחיסור ההספק של הפעולה המנוגדת לה.

ההספק המשותף המביא בסופו של דבר לריקון הברכה הוא,

1/4 – 1/12 = 2/12 = 1/6

כלומר, תוך 6 שעות תתרוקן הבריכה.

תוצאה זו הגיונית כי ללא הגשם הבריכה הייתה מתרוקנת ממים תוך 4 שעות. הגשם היורד רק מפריע לריקון הבריכה וגורם לכך שפעולת הריקון תארך יותר זמן, שעתיים יותר.

4. פועל א' זריז יותר מפועל ב' ומייצר 10% יותר פריטים ממנו ליחידת זמן. שני הפועלים עבדו במשך 8 שעות וייצרו יחד 48 פריטים יותר מאשר היה פועל ב' מייצר לו היה עובד לבדו במשך 6 שעות. כמה פריטים יוצרו סה"כ על ידי שני הפועלים?

נסמן ב- x את הספק עבודתו של פועל ב'. כלומר, פועל ב' מייצר x פריטים ליחידת זמן (שעה אחת). פועל א' הוא זריז יותר והספק עבודתו גבוה יותר ב- 25% מזה של פועל ב', לכן הספקו של פועל א' הוא 1.25x.

במשך 8 שעות עבודה מספר הפריטים שייצרו שני הפועלים יחד הוא,

8 • (x + 1.25x) = 18x

אילו עובד ב' היה עובד לבדו, אז מספר הפריטים שהוא היה מייצר לבדו הוא,

6 • x = 6x

מספר הפריטים ששני העובדים ייצרו יחד גדול ב- 60 ממספר זה. לכן נקבל,

18x = 6x + 48
12x = 48
x = 4

מכאן שהספקו של פועל ב' הוא 4 פריטים לשעה. הספקו של פועל א' הוא 5 פריטים לשעה. לכן, במשך 8 שעות עבודה ייצרו שני הפועלים 72 פריטים.

5. משאבה א' הופעלה למילוי בריכת-מים. משאבה ב' גם היא הופעלה באותו הזמן, אך בגלל בעיה טכנית היא פעלה לריקון הבריכה במקום למילויה. מפעיל המשאבות חזר לבריכה בדיוק 72 דקות לאחר הפעלתן בציפייה לחזות ברגע מילוי הבריכה. במקום זאת ראה המפעיל כי הבריכה מלאה רק לכדי 3/5. הוא מייד הפסיק את משאבה ב' והשאיר רק משאבה א' להמשיך לעבוד. מהו פרק הזמן הנוסף הנדרש מרגע הפסקת הפעולה של משאבה ב' עד שהבריכה תתמלא כולה?

נסמן את הספק משאבה א' באות x ואת הספק משאבה ב' y.

הספקן המשותף של שתי המשאבות ידוע מהעובדה שיחד הן ממלאות את הבריכה תוך 72 דקות. הספקן המשותף הוא 1/72 בריכה לדקה. לכן,

x + y = 1/72

ההפרש בין הספק שתי המשאבות ידוע מהעובדה שאחרי 72 דקות הצליחה משאבה א' למלא 3/5 מהבריכה זאת למרות הפרעתה של משאבה ב' שפעלה לריקון הבריכה.

x – y = (3/5) / 72
x – y = (3/5) • (1/72)
x = y + 1/120

נציב את ערכו של x מהמשוואה השנייה לתוך המשוואה הראשונה ונקבל,

(y + 1/120) + y = 1/72
2y = 1/72 – 1/120
2y = (120-72)/8640
y = 48/86402
y = 24/8640 = 1/360

x = y + 1/120 = 1/360 + 1/120 = 4/360 = 1/90

הספקה של משאבה א' הוא 1/90 בריכה לדקה. נותר לה למלא עוד 2/5 בריכה. משך הזמן שיידרש לה לשם כך הוא,

(2/5) / (1/90) = (2/5) • (90/1) = 36

כלומר, 36 דקות אחרי הפסקת משאבה ב' תצליח משאבה א' למלא את הבריכה כולה.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | בעיות מילוליות : בעיות תערובת | בעיות שברים | בעיות אחוזים | בעיות תנועה | בעיות הספק ]