נגישות
headline
Error processing SSI file




פעולת שורש



הפעולה ההפוכה לחיבור היא חיסור.
הפעולה ההפוכה לכפל היא חילוק.
גם לפעולת ההעלאה בחזקה קיימת פעולה הפוכה וזו נקראת הוצאת שורש.

פעולת הוצאת השורש מאפשרת למצוא את ערכו של הבסיס מתוך תוצאת העלאתו בחזקה.

למשל, ידוע לנו שתוצאת העלאת בסיס בריבוע היא 16. מהו ערכו של הבסיס?

16 = 2בסיס
סיסב = ?

לפי הגדרתה פעולת הוצאת השורש היא הופכית לפעולת העלאה בחזקה. מסיבה זו נצפה שהוצאת שורש מבסיס שהועלה בחזקה תחזיר את ערך הביטוי לערכו המקורי, כלומר לערך הבסיס. זאת בתנאי כמובן ששתי הפעולות של העלאה בחזקה והוצאת השורש מבוצעות עם אותו מעריך.

את פעולת הוצאת השורש נסמן באותה צורת סימון כמו העלאה בחזקה. ההבדל בין שתי הפעולות הוא שהעלאה בחזקה היא תמיד עם מעריך בערך שלם בעוד שהוצאת שורש היא תמיד עם מעריך בערך שהוא שבר הקטן מאחד בערכו המוחלט.

הביטויים הבאים, למשל, כוללים פעולה של הוצאת שורש,

161/2
81/3
625-1/4

אם נעלה את המספרים שלעיל בחזקה, כל מספר במעריך ההופכי למעריך של פעולת השורש נקבל את הבסיס. הנה כך,

(161/2)2 = 16(1/2)•2 = 161 = 16
(81/3)3 = 8(1/3)•3 = 81 = 8
(625-1/4)-4 = 625(-1/4)•(-4) = 6251 = 625

בחישובים שלעיל השתמשנו בעובדה שניתן להחליף את הסדר בין פעולת העלאה בחזקה לפעולת הוצאת השורש. החלפה זו אפשרית בדומה להחלפה בין הנכפל לכופל בפעולת כפל אשר אינה משנה את תוצאת מנת ההכפלה. השתמשנו גם בכלל שנלמד בפרק על החזקה, הכלל שלפיו בסיס המועלה בחזקה פעמיים ניתן להעלותו בחזקה רק פעם אחד לפי מעריך השווה למכפלת שני המעריכים בשתי העלאות החזקה.

פעולת הוצאת השורש כוללת, אם כן, פעולת חזקה עם מעריך שהוא שבר הקטן מאחד בערכו המוחלט. נשאלת השאלה כיצד ניתן לחשב את ערכו של ביטוי שכזה?

161/2 = ?
81/3 = ?
625-1/4 = ?

התשובה היא שאין שיטה כללית לחישוב הפעולה של הוצאת השורש כמו שקיימת, למשל, בחישוב פעולת העלאה בחזקה.

למרות זאת, ישנה שיטה פרטית בה ניתן להוציא שורש בקלות יחסית במקרים מאוד מסוימים. מקרים אלו הם המקרים בהם ניתן לכתוב את הבסיס כמספר המועלה בחזקה שלמה, כך שמעריך החזקה השלם יצמצם ויבטל כליל את מעריך השורש השבר.

לשם הדוגמה נכתוב מחדש את הביטויים הקודמים. הפעם נמיר את הבסיס במספר המועלה בחזקה. הנה כך,

161/2 = (24)1/2 = 24•(1/2) = 22 = 4
81/3 = (23)1/3 = 23•(1/3) = 21 = 2
625-1/4 = (54)-1/4 =54•(-1/4) = 5-1 = 1/5

אם לא ניתן להמיר את הבסיס למספר המועלה בחזקה עם מעריך שלם המבטל את המעריך של פעולת השורש אז לא ניתן למצוא את ערכו של הביטוי באופן שיטתי. במקרה זה ניאלץ להיעזר במחשבון. המחשבון מוצא את ערכו של הביטוי בעזרת אלגוריתם של חישוב מקורב המתקרב בכל ניסיון אל התוצאה עד שהיא מדויקת לפי אמת דיוק הקבועה במחשבון.

למשל, את ערכי הביטויים הבאים ניתן למצוא רק תוך שימוש במחשבון,

71/2 = ?
91/3 = (32)1/3 = 32•(1/3) = 32/3 = ?

לפעולת השורש קיים גם סימון אפשרי נוסף. הסימון האחר הוא בעזרת קו שבור מיוחד המקיף את המספר שממנו רוצים להוציא שורש בחלקו השמאלי והעליון. ערך הוצאת השורש יופיע בפינה השמאלית העליונה של הקו השבור. למשל,

161/2 = 2√16 = 4

הנה דוגמאות נוספות,
3√8 = 2

3√64 = 3√43 = 4

5√3•10+2 = 5√32= 5√25 = 2

15√825 = 825/15 = 85/3 = (23)5/3 = 235/3 = 25 = 32

אם פעולת הוצאת שורש מופעלת על שבר (השבר חייב להיות מוקף בסוגרים) אז הוצאת השורש תתבצע גם על המכנה וגם על המונה. למשל,

2√(16/25) = 2√16 / 2√25 = 2√42 / 2√52 = 4/5

במקרה ומדובר בשורש ריבועי ניתן לקצר והשמיט את ערך השורש 2. כלומר, ניתן לרשום בקיצור את הביטוי שלעיל גם כך,

√(16/25) = 4/5

פתרונות שליליים לשורש


נזכיר שחזקה, כפי שנלמד בפרק הדן בחזקה, היא בעצם צורת רישום מקוצרת לפעולת כפל החוזרת על עצמה מספר רב של פעמים. למשל,

3•3 = 32 = 9
2•2•2•2 = 24 = 16

אבל, במקרה של חזקה זוגית, ניתן לקבל את אותה תוצאה של פעולת החזקה גם עבור אותו ערך בסיס עם סימן שלילי. למשל,

(-3)•(-3) = (-3)2 = 9
(-2)•(-2)•(-2)•(-2) = (-2)4 = 16

כלומר, במקרה של הוצאת שורש עם מעריך בעל ערך זוגי יתקבלו שני שורשים זהים בערכם המוחלט אך הפוכים בסימניהם. כלומר, שורש אחד יהיה חיובי ושורש אחד יהיה שלילי. השורש החיובי, הנקרא השורש הראשי, הוא המוגדר כפתרון של פעולת הוצאת השורש.

לכן, למרות שישנם שני שורשים, יהיה פתרון יחיד לפועלת הוצאת השורש והוא חיובי. נקבל,

2√9 = +3

4√16 = +2

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשבון | חשבון מתקדם : סוגריים | פתיחת סוגריים | ערך מוחלט | חזקה | שורש | ייצוג חזקות ]