headline
Error processing SSI file




ממוצע הנדסי


ממוצע הנדסי הוא ממוצע של מכפלות המספרים המתבצע על-ידי הכפלת כל המספרים זה בזה והוצאת שורש כשמספר השורש הוא כמספר המספרים שהוכפלו. למשל, הנה חישוב ממוצע הנדסי לכמה קבוצות מספרים שונות:

{2.5, 10} = 2√(2.5•10) = 2√25 = 5
{2, 16, 16} = 3√512 = 8
{32, 1, 1, 16, 2} ►5√(32•1•1•16•2) = 5√1,024 = 4

ובאופן כללי:

ממוצע הנדסי = n√(x1•x2•x3•…•xn)

ממוצע הנדסי נמצא בשימוש, למשל, בחישובי ריבית דה-ריבית. ריבית רגילה היא הריבית המשולמת על קרן (סכום) ההשקעה או ההלוואה. ריבית דה-ריבית היא הריבית המשולמת על הסכום המצטבר של הקרן והריבית עד כה. לדוגמה, הנה שימוש בחישוב ממוצע הנדסי לצרכי חישוב ריבית דה-ריבית.

קודם נציג את הדוגמה ללא ריבית דה-ריבית. חוסך מעוניין להפקיד 10,000 שקלים כקרן בתוכנית חיסכון. הבנק מציע לחוסך תוכנית חיסכון בה הריבית בשנה הראשונה היא 3.2% על הקרן והריבית בשנה השנייה היא 5% על הקרן. מהי הריבית השנתית הממוצעת שמציע הבנק בתוכנית חיסכון זו?

ניתן לחשב זו בפשטות לפי ממוצע חשבוני רגיל: (5% + 3.2%) / 2 = 4.1%.

בנק אחר מציע לחוסך תוכנית דומה, אך עם ריבית דה-ריבית. בשנה הראשונה הריבית על הקרן תהיה 3.2%. בשנה השנייה תינתן ריבית דה-ריבית של 5%. כלומר, סכום הריבית בתום השנה הראשונה יתווסף לקרן ועל שניהם תינתן בשנה השנייה ריבית של 5%. זו היא ריבית דה-ריבית (ריבית על ריבית). גם על הסכום המתקבל מהריבית הראשונה של 3.2% תחול ריבית ה- 5% של השנה השנייה.

כעת נשאלה השאלה מה היא הריבית השנתית הממוצעת בתוכנית זו? האם היא זהה לזו של התוכנית של הבנק הראשון?

בוודאי שלא. תוכנית זו עדיפה על התוכנית הראשונה. ההבדל הוא שבתוכנית הראשונה הריבית של השנה השנייה בגובה של 5% לא חלה על סכום הריבית שהחוסך צבר בשנה הראשונה. בתוכנית השנייה כן נחשב ריבית על ריבית והחוסך יקבל ריבית של 5% גם על הקרן הראשונית וגם על הריבית שכבר קיבל.

כבר חישבנו ומצאנו שהריבית השנתית הממוצעת בתוכנית הראשונה היא 4.1%. כדי לחשב את הריבית השנתית הממוצעת בתוכנית השנייה נחשב קודם את הרווח הכולל שיפדה החוסך. סכום זה מורכב מסכום הריבית של השנה הראשונה שכבר חישבנו קודם והוא 320 שקלים ומסכום הריבית של השנה השנייה. סכום הריבית של השנה השנייה הוא 5% על הקרן והריבית שנצברה עד כה, ולכן הוא:

(10,000 + 320)•5% = 516

כלומר, החוסך יקבל בתוכנית השנייה סכום ריביות כולל של:

320 + 516 = 836

ניתן להגיד שבממוצע יקבל החוסך מידי שנה:

836 / 2 = 418

ולכן הריבית השנתית הממוצעת היא:

418/10,000 = 0.0418 = 4.18%

כצפוי הריבית השנתית הממוצעת של התוכנית השנייה היא במעט גבוהה יותר מזו המוצעת בתוכנית הראשונה. לכן התוכנית השנייה טובה יותר לחוסך.

אם נחיל ריבית זו כריבית רגילה (לא ריבית דה-ריבית) על הקרן למשך שנתיים נקבל את סכום הריבית הכולל שיפדה החוסך בתום תקופת החיסכון.

2•(10,000•4.18%) = 2•(10,000•0.0418) = 836

הצלחנו להשוות בין שתי תוכניות החיסכון על-ידי כך שחישבנו מהי הריבית הרגילה השנתית באופן ממוצע של תוכנית החיסכון השנייה שיש לה ריבית דה-ריבית. כך שבסופו של דבר השוונו ריבית רגילה של תוכנית אחת אל מול ריבית רגילה של תוכנית שנייה.

ריבית רגילה היא אינה הריבית האפקטיבית של תוכנית חיסכון. למשל, בדוגמה שלנו הריבית בשנה השנייה אינה חלה על הריבית שניתנה בשנה הראשונה. לכן ניתן להגיד שהריבית בפועל ששולמה בשנה השנייה אינה ריבית אפקטיבית. הריבית האפקטיבית שניתנה למעשה בשנה השנייה היא קטנה יותר. ניתן לחשב ריבית זו על-ידי סכום הריבית שניתן תמורת המשך הפיקדון לשנה השנייה חלקי שווי הפיקדון בתחילת אותה שנה:

10,000•5% / (10,000 + 320) = 500/10,320 = 0.04844961… = 4.845…%

זוהי הריבית של 5% שמוצעת בתוכנית הראשונה כריבית לשנה השנייה אחרי המרתה לריבית דה-ריבית.
זו כמובן ריבית דה-ריבית מעט נמוכה יותר מהריבית דה-ריבית המוצעת בתוכנית השנייה, שהיא תוכנית טובה יותר.

בדוגמה שדנו בה היה קל לראות איזו תוכנית טובה יותר, מבחינת ריבית דה-ריבית, מכיוון ששתיהן מציעות את אותה ריבית לשנה הראשונה. כך שניתן לנו להשוות רק את הריבית עבור השנה השנייה כדי להחליט איזו תוכנית חיסכון עדיפה.

אך כיצד נשווה בין תוכניות חיסכון שונות המציעות ריביות שונות על יותר מתקופה אחת? לשם כך עלינו למצוא מהי הריבית דה-ריבית השנתית הממוצעת לאורך כל תקופת החיסכון.

לדוגמה בנק אחר מציע תוכנית חיסכון של ריבית דה-ריבית של 4% בשנה הראשונה ו- 4.5% בשנה השנייה. האם תוכנית חיסכון זו, שלישית במספר, הינה עדיפה על תוכנית החיסכון השנייה מהדוגמה הקודמת?

כדי לחשב זאת נרצה לדעת מהי הריבית דה-ריבית הממוצעת לכל שנת חיסכון בתוכנית החיסכון. כדי לחשב ממוצע של ריבית דה-ריבית ניעזר בחישוב של ממוצע הנדסי.

את הריבית דה-ריבית השנתית הממוצעת של תוכנית חיסכון ניתן לחשב בעזרת חישוב של ממוצע הנדסי על הריביות.

 (ריבית2 • ריבית1)√ = ריבית דה-ריבית שנתית ממוצעת

√(1.032•1.05) = 1.0409611… ► 4.09611… %

כלומר מידי שנה רווח הריבית היה כ- 4.09611%. בשנה הראשונה 4.09611% מתוך 10,000 שהושקעו הם 409.611 שקלים. בשנה השנייה 4.09611% מתוך 10,409.611 10,000 + 409.611 = שהושקעו בפועל הם 426.389 שקלים. ביחד הרווח למשך כל השנתיים היה 409.611 + 426.389 = 836 שקלים, וזה תואם את החישוב המפורט והארוך שערכנו קודם.

ניתן גם לחשב את הריבית דה-ריבית השנתית הממוצעת אם יודעים מהו הסכום שהושקע ומהו הסכום שנפדה בתום כל תקופת ההשקעה. גם חישוב זה נעשה על-ידי חישוב של ממוצע הנדסי. הנה כך:

(פיקדון/פדיון√( = ריבית דה-ריבית שנתית ממוצעת

בתוכנית החיסכון השנייה הפדיון הצפוי הוא 10,836 שקלים על פיקדון של 10,000 שקלים.

√(10,836/10,000) = 1.0409611… ► 4.09611…%

כעת נוכל לחשב בקלות גם את הריבית דה-ריבית השנתית הממוצעת של תוכנית החיסכון השלישית.

R(1.04•1.0425) = r1.0842 = 1.041249… ► 4.1249%

הריבית השנתית הממוצעת בתוכנית החיסכון השלישית היא מעט גבוהה יותר מזו המוצעת בתוכנית השנייה.

חישוב ממוצע הנדסי עם מספר אפס


אם בקבוצת המספרים מופיע המספר אפס אזי נהוג להחליף את האפס במספר קטן ערך שונה מאפס. לרוב נחליף את אפס באחד. למשל הממוצע ההנדסי של קבוצת המספרים {32, 0, 16, 128}, יהיה:

4√(32•1•16•128) = 4√65536 = 16

אך בקבוצת מספרים של תוצאות מדידה עם ערכים קטנים מאוד נחליף את האפס בחצי מהערך המדיד האפשרי הנמוך ביותר או בכל מספר נמוך מספיק כרצוננו. למשל במד-חום בעל רגישות של 0.5 מעלה נמדדו בחורף הטמפרטורות הנמוכות הבאות {7, 4, 0, 2, 8, 5} במעלות צלסיוס. מהו הממוצע ההנדסי של קבוצת תוצאות מדידה זו?

5√(7•4•0.25•2•8•5) = 5√560 = 3.545…['C]

במקום הערך אפס הצבנו את מחצית הערך המדיד הנמוך ביותר שהוא 0.5/2 = 0.25. ההיגיון שעומד מאחורי בחירה זו היא שרגישות מד-החום היא חצי מעלה, לכן יתכן ובמציאות הטמפרטורה הייתה פחות מחצי מעלה אך יותר מאפס. לכן נוכל לבחור את הערך הממוצע בתחום זה מבלי לאבד דיוק רב במדידות.

אם היינו משאירים את הערך אפס אזי הממוצע ההנדסי שהיה מתקבל הוא אפס וזוהי כמובן תוצאה שגויה. אם היינו מחליפים את האפס באחד במקום במספר המדיד הנמוך ביותר אזי היינו מקבלים ממוצע הנדסי פחות מדויק:

5√(7•4•1•2•8•5) = 5√2240 = 4.677…['C]

ממוצע הנדסי למספרים שליליים


לא ניתן לערוך ממוצע הנדסי לקבוצת מספרים המכילה בערבוביה מספרים חיוביים ומספר שליליים. למשל, בחן את הדוגמה הבאה: דנה מדדה את הטמפרטורות הבאות במשך 7 ימים עוקבים: {2, -4, 1, -2, -4, -2, 1}. מהו הממוצע ההנדסי:

7√[2•(-4)•1•(-2)•(-4)•(-2)•1] = 7√128 = 2['C]

וזוהי כמובן תוצאה שגויה, הרי קל לראות שתוצאות כמעט כל המדידות היו הרבה מתחת ל- +2['C]. לכן לא יתכן שזהו הממוצע ההנדסי.

במקרה של מספרים שליליים נחפש דרך לייצוגם כמספרים חיוביים. למשל, נבחן את המקרה הבא. מדד יוקר המחיה במחצית השנה האחרונה היה בעל הערכים הבאים: {1.5%, 1%, -1.5%, -0.5%, 0.5%, 2%}. מהו הממוצע ההנדסי של מדד יוקר המחיה בחצי שנה האחרונה?

במקרה שלעיל ניתן להפוך את כל המספרים לחיוביים בעזרת ייצוג עשרוני של האחוזים כערכים סביב השלם שערכו אחד. למשל, נקבל את המספרים הבאים: {1.015, 1.01, 0.985, 0.995, 1.005, 1.02} והממוצע ההנדסי יהיה,

6√(1.015•1.01•0.985•0.995•1.005•1.02) = 6√1.0299… = 1.004929…

כלומר הממוצע ההנדסי של מדד יוקר המחיה הוא,

(1.004929-1)•100 = 0.4929%

בכלל כשמדובר בחישוב של אחוזים יהיה שגוי לערוך את הממוצע ההנדסי על הערכים בייצוגם כאחוזים. במקרה של אחוזים חובה להמיר את ייצוגם לייצוג עשרוני. למשל, נחשב את הממוצע ההנדסי של קבוצת האחוזים הבאה המייצגת את גידול מספר העובדים בחברה מידי שנה {100%, 50%, 20%}. קודם נחשב את הממוצע ההנדסי בדרך השגויה ולאחר-מכן בדרך הנכונה,

3√(100% • 50% • 20%) = 46.4…%

זאת תוצאת חישוב שגויה. לא הגיוני שהגידול השנתי הממוצע יהיה פחות מ- 50% כשרוב השנים (בשנתיים מתוך השלוש שנים) הוא היה 50% או יותר. נחשב מחדש את הממוצע ההנדסי, הפעם בדרך הנכונה ונקבל שהממוצע ההנדסי של הגידול הנו,

3√(2•1.5•1.2) = 3√3.6 = 1.532… ► 53.2…%

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | סדרות וממוצעים : סדרה חשבונית | סדרה הנדסית | ממוצע חשבוני | ממוצע חשבוני משוקלל | ממוצע הנדסי | ממוצע הנדסי משוקלל | מספרים ראשוניים | הוכחה באינדוקציה ]