סדרה הנדסית

מבוא

סדרה הנדסית הינה רצף של מספרים שהמנה בין כל שני מספרים עוקבים בו היא קבועה. למשל, הנה דוגמה פשוטה לסדרה הנדסית:

1, 2, 4, 8, 16

הרצפים הבאים אינם סדרות הנדסיות:

1, 1, 2, 2, 4, 4
1, 0.5, 1, 0.5, 1, 0.5
-2, -4, 8, 16, -32, -64
1, 2, 4, 9, 16, 25

הרצפים הבאים הינם סדרות הנדסיות:

3, -3, 3, -3, 3, -3
4, 4, 4, 4, 4
6, 3, 1, 1/3, 1/9

נבחר בתור סדרת דוגמה את הסדרה ההנדסית אותה הצגנו ראשונה:

1, 2, 4, 8, 16, 32

גם כאן כל מספר ברצף המספרים של הסדרה נקרא איבר של הסדרה. בסדרת הדוגמה שלנו ישנם 6 איברים:

a₁ = 1
a₂ = 2
a₃ = 4
a₄ = 8
a₅ = 16
a₆ = 32

הסדרה שלעיל הינה סדרה הנדסית מכיוון שהמנה בחלוקת כל שני איברים צמודים בה היא קבועה. במקרה של הסדרה שלעיל ערכה של המנה הקבועה היא 2:

2/1 = 4/2 = 8/4 = 16/8 = 32/16 = 2

סדרה אינסופית

כמו סדרה חשבונית גם סדרה הנדסית יכולה להיות סדרה אינסופית. הנה דוגמה לסדרה הנדסית אינסופית:

(n≥0): 1, 2, 4, 8, …, n

סדרה זו נמשכת עד לאינסוף או עד לכל מספר n גדול כרצוננו. את הסדרה הזו ניתן לרשום גם בצורה הכללית הבאה:

(n≥0): a₁, a₂, a₃, …, a_n

ואיברי הסדרה הם:

a₁ = 1
a₂ = 2
a₃ = 4
…
a_n = 2^n-1

מנת הסדרה

את המנה הקבועה בין כל שני איברים עוקבים בסדרה ההנדסית נסמן באות q. את המנה q ניתן למצוא על-ידי הנוסחה הכללית הבאה:

q = a_n+1 / a_n

למשל, לפי הדוגמה של הסדרה שלנו נציב ערכים שלמים וחיוביים של n ונקבל:

q = a₂ / a₁ = 2 / 1 = 2
q = a₃ / a₂ = 4 / 2 = 2
q = a₄ / a₃ = 8 / 4 = 2
…

האיבר ה- n-י של הסדרה

מכיוון שהמנה בין כל שני איברים עוקבים בסדרה היא קבועה ניתן לחשב את ערכו של האיבר ה- n-י של הסדרה גם מבלי לדעת את ערכם של האיברים שלפניו. מספיק לשם כך לדעת את ערכו של איבר כלשהו בודד בסדרה ואת ערכה של מנת הסדרה.

האיבר הראשון בסדרה הוא a₁.
את האיבר השני בסדרה ניתן לחשב מהאיבר הראשון:

a₂ = a₁ ∙ q

את האיבר השלישי בסדרה ניתן לחשב באותו אופן מהאיבר הקודם לו, האיבר השני בסדרה:

a₃ = a₂ ∙ q

ניתן להציב בנוסחה הנ"ל את ערכו של a₂ וכך לקבל את a₃ כתלות באיבר הראשון:

a₃ = a₂ ∙ q = (a₁∙q) ∙ q = a₁ ∙ q₂

גם את ערכו של a₄ ניתן לבטא כתלות באיבר הראשון ובמנת הסדרה בלבד:

a₄ = a₃ ∙ q = (a₁∙q₂) ∙ q = a₁ ∙ q₃

מכאן קל לראות ולהסיק שבאופן כללי אפשר לבטא את האיבר ה- n-י כתלות באיבר הראשון בסדרה, a₁, ובמנת הסדרה, q, בלבד באופן הבא:

a_n = a₁ ∙ q^n-1

נוסחה זו ניתנת גם להוכחה מתמטית קשיחה בדרך הבאה.

ידוע לנו כי מנת כל שני איברים עוקבים בסדרה היא q:

a₂ / a₁ = a₃ / a₂ = a₄ / a₃ = … = a_n/a_n-1 = q

נוכל לבנות משוואה בה באגף הימני נרשום את n-1 המכפלות של כל המנות של שני איברים עוקבים עד לאיבר ה- n-י. באגף השמאלי של המשוואה נרשום את מכפלת המנה n-1 פעמים:

a₂ / a₁ ∙ a₃ / a₂ ∙ a₄ / a₃ ∙ … ∙ a_n/a_n-1 = q ∙ q ∙ q … ∙ q

נשים לב שבאגף השמאלי כל האיברים מצטמצמים, למעט האיבר הראשון והאיבר האחרון:

a₂ / a₁ ∙ a₃ / a₂ ∙ a₄ / a₃ ∙ … ∙ a_n/a_n-1 = q ∙ q ∙ q … ∙ q

ואת האגף הימני ניתן לרשום את n-1 המכפלות של q בכתיב חזקה מקוצר:

a_n / a₁ = q^n-1

נחלץ את a_n מתוך המשוואה, על-ידי הכפלת שני אגפיה ב- a₁, ונקבל:

a_n = a₁ ∙ q^n-1

ניתן לבדוק נכונות נוסחה זו ולהציב בה ערכים שונים שלמים וחיוביים של n. למשל, הצבה של n=1 תיתן ישירות את האיבר הראשון בסדרה:

a₁ = a₁ ∙ q^1-1 = a₁ ∙ 1 = a₁

הצבה של n=2 תיתן את הנוסחה לחישוב ערכו של האיבר השני בסדרה:

a₂ = a₁ ∙ q^2-1 = a₁ ∙ q

וכך הלאה.

עבור סדרת הדוגמה שלנו ניתן לחשב את ערכו של a_n באופן כללי על-ידי הצבת ערכם של a₁ ושל q בנוסחה של a_n. נקבל:

a_n = a₁ ∙ q^n-1 = 1 ∙ 2^n-1

עבור n=5, למשל, נקבל את ערכו של האיבר החמישי בסדרה:

a_n(n=5) = a₅ = 1 ∙ 2^5-1 = 1 ∙ 2⁴ = 1 ∙ 16 = 16

סכום הסדרה

ניתן לחבר את איברי הסדרה יחד לידי סכום אחד הנקרא סכום הסדרה. נסמן את סכום הסדרה באות S. סכום n האיברים הראשונים של הסדרה יקרא הסכום ה- n-י של הסדרה. את סכום הסדרה ה- n-י נסמן כ- S_n ואותו ניתן למצוא על-ידי חיבור n האיברים הראשונים בסדרה:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n

נבטא את כל האיברים כתלות ב- a₁ ובמנת הסדרה q ונקבל:

S_n = a₁ + a₁q + a₁q² + … a₁q^n-1

נוציא את a₁ כגורם משותף באגף הימני של המשוואה ונקבל:

S_n = a₁(1 + q + q² + … + q^n-1)

כעת נכפיל את שני אגפי המשוואה במנת הסדרה, q, ונקבל:

qS_n = a₁(q + q² + q³ + … + qⁿ)

נוסיף לשני אגפי המשוואה את האיבר הראשון בסדרה, a₁, ונקבל:

qS_n + a₁ = a₁(q + q² + q³ + … + qⁿ) + a₁

באגף הימני של המשוואה נכניס את a₁ לתוך הסוגריים ונקבל:

qS_n + a₁ = a₁(1 + q + q² + q³ + … + qⁿ)

באגף הימני של המשוואה נוציא את qⁿ מחוץ לסוגריים ונקבל:

qS_n + a₁ = a₁(1 + q + q² + q³ + … + q^n-1) + a₁qⁿ

נשים לב שהביטוי המודגש באגף ימין של המשוואה שווה ל- S_n כפי שהוגדר בהתחלה. נציב את S_n במקום הביטוי ונקבל:

qS_n + a₁ = S_n + a₁qⁿ

נבצע פעולות לחילוץ S_n ונקבל את ערכו:

qS_n – S_n = a₁qⁿ – a₁

S_n(q – 1) = a₁(qⁿ – 1)

S_n = a₁(qⁿ – 1)/(q – 1)

הערה: מכיוון שחילקנו את שני אגפי המשוואה בביטוי (q-1) אין הנוסחה הכללית עבור S_n נכונה עבור q=1. מכיוון שלחלוקה באפס אין משמעות.

למשל, בסדרה ההנדסית בה השתמשנו לדוגמה עד כה ערכו של סכום הסדרה ה-n-י של n האיברים הראשונים בה הוא:

S_n = a₁(qⁿ – 1)/(q – 1) = 1(2ⁿ – 1)/(2 – 1) = 2ⁿ – 1

נציב, למשל, n=3 ונקבל שסכום שלושת האיברים הראשונים בסדרת הדוגמה שלנו הוא:

S_n(n=3) = 2ⁿ – 1 = 2³ – 1 = 7

ואכן זהו סכום שלושת האיברים הראשונים בסדרה:

S_n(n=3) = a₁ + a₂ + a₃ = 1 + 2 + 4 = 7

סדרה המתכנסת לאינסוף

כאשר מנת הסדרה, q, קטנה בערכה המוחלט מאחד, |q|<1, מתקבלת סדרה המתכנסת לאינסוף. משמעות הדבר היא שהאיבר ה- n-י של הסדרה כאשר n שואף לאינסוף הוא אפס. עובדה זו נובעת מהנוסחה לחישוב האיבר ה- n-י של הסדרה:

a_n = a₁ ∙ q^n-1

אם |q|<1 נקבל שהביטוי q^n-1 ישאף לאפס כאשר n שואף לאינסוף. המכפלה של המספר a₁ (בעל ערך סופי) בערך השואף לאפס נותנת מנה השואפת לאפס גם כן.

בנוסף לכך, עבור |q|<1, ניתן יהיה לחשב את הערך אליו סכום הסדרה מתכנס:

S_n = a₁(qⁿ – 1)/(q – 1)
S_n=∞ = a₁(q^∞ - 1)/(q-1)
S_n=∞ = -a₁/(q-1)
S_n=∞ = a₁/(1-q)

משמעות הביטוי הסכום אליו הסדרה מתכנסת הוא שככל שנוסיף ונחבר יותר איברים לסדרה כך סכומם יתקרב יותר ויותר אל הביטוי שלעיל. אם נחבר אינסוף איברים, כלומר n שואף לאינסוף, נקבל את ערך הביטוי.

רישום מקוצר של הסדרה

גם את סכום איבריה של הסדרה ההנדסית ניתן לרשום בכתיב מקוצר הזהה לכתיב המקוצר של סכום הסדרה ההנדסית. באופן כללי יראה הרישום המקוצר כך:

_∞     
∑a_n
ⁿ⁼¹    

הערה: הסדרה ההנדסית נקראת גם טור הנדסי.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | סדרות וממוצעים : סדרה חשבונית | סדרה הנדסית | ממוצע חשבוני | ממוצע חשבוני משוקלל | ממוצע הנדסי | ממוצע הנדסי משוקלל | מספרים ראשוניים | הוכחה באינדוקציה ]