נגישות
headline
Error processing SSI file




סדרה חשבונית


מבוא



סדרה חשבונית הינה רצף של מספרים שההפרש בין כל שני מספרים עוקבים בו הוא קבוע. למשל, הנה דוגמה פשוטה לסדרה חשבונית בה ההפרש בין כל שני מספרים עוקבים הוא קבוע שערכו 2:

1, 3, 5, 7, 9

3-1 = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 2

הרצפים הבאים אינם סדרות חשבוניות, כי ההפרש בין שני מספרים עוקבים אינו קבוע:

1, 3, 6, 8, 11
1, 1, 3, 3, 5, 5
1, -1, 1, -1, 1, -1

הרצפים הבאים הינם סדרות חשבוניות:

1, 4, 7, 10, 13 (הפרש הסדרה הוא 3)
0, -5, -10, -15, -20 (הפרש הסדרה הוא -5)
13, 13, 13, 13, 13 (הפרש הסדרה הוא 0)

נבחר בתור סדרת דוגמה את הסדרה החשבונית אותה הצגנו ראשונה:

1, 3, 5, 7, 9

כל מספר ברצף המספרים של הסדרה נקרא איבר של הסדרה. בסדרת הדוגמה שלנו ישנם 5 איברים. המספר 1 הנו האיבר הראשון בסדרה, המספר 3 הנו האיבר השני בסדרה וכו'. את איברי הסדרה נסמן בעזרת האות a. האיבר הראשון יסומן על-ידי הצמדת האינדקס 1, כלומר יסומן כ- a1. האיבר השני יסומן על-ידי הצמדת האינדקס 2, כלומר יסומן כ- a2, וכו'. בסדרה שלעיל מתקבל ש-

a1 = 1
a2 = 3
a3 = 5
a4 = 7
a5 = 9

הסדרה שלעיל הינה סדרה חשבונית מכיוון שההפרש בין כל שני איברים צמודים בה הנו קבוע. במקרה של הסדרה שלעיל ערכו של ההפרש הקבוע הוא 2:

2 2 2 2
1, 3, 5, 7, 9

סדרה אינסופית



סדרה אינסופית הנה סדרה בה מספר האיברים הוא אינסופי. הנה דוגמה לסדרה חשבונית אינסופית:

(n≥0): 1, 2, 3, 4, …, n

סדרה זו נמשכת עד לאינסוף או עד לכל מספר n גדול כרצוננו. את הסדרה הזו ניתן לרשום גם בצורה הכללית הבאה:

(n≥0): a1, a2, a3, …, an

ואיברי הסדרה הם:

a1 = 1
a2 = 2
a3 = 3

an = n

הפרש הסדרה



את ההפרש הקבוע בין כל שני איברים עוקבים בסדרה נסמן באות d. את ההפרש d ניתן למצוא על-ידי הנוסחה הכללית הבאה:

d = an+1 - an

למשל, לפי הדוגמה של הסדרה הראשונה שלנו נציב ערכים שלמים וחיוביים של n ונקבל:

d = a2 – a1 = 3 – 1 = 2
d = a3 – a2 = 5 – 3 = 2
d = a4 – a3 = 7 – 5 = 2


האיבר ה- n-י של הסדרה



מכיוון שההפרש בין כל שני איברים עוקבים בסדרה הוא קבוע ניתן לחשב את ערכו של האיבר ה- n-י של הסדרה גם מבלי לדעת את ערכם של האיברים שלפניו. מספיק לשם כך לדעת את ערכו של איבר כלשהו בודד בסדרה ואת ערכו של הפרש הסדרה.

האיבר הראשון בסדרה הוא a1.
את האיבר השני בסדרה ניתן לחשב מהאיבר הראשון:

a2 = a1 + d

את האיבר השלישי בסדרה ניתן לחשב באותו אופן מהאיבר הקודם לו, האיבר השני בסדרה:

a3 = a2 + d

ניתן להציב בנוסחה הנ"ל את ערכו של a2 וכך לקבל את a3 כתלות באיבר הראשון:

a3 = a2 + d = (a1+d) + d = a1 + 2d

גם את ערכו של a4 ניתן לבטא כתלות באיבר הראשון ובהפרש הסדרה בלבד:

a4 = a3 + d = (a1+2d) + d = a1 + 3d

מכאן ניתן להסיק שבאופן כללי אפשר לבטא את האיבר ה- n-י כתלות באיבר הראשון בסדרה, a1, ובהפרש הסדרה, d, בלבד באופן הבא:

an = a1 + (n-1)d

את הנוסחה הזו ניתן גם להוכיח בדרך המתמטית הקשיחה הבאה.

ידוע לנו כי הפרש כל שני איברים עוקבים בסדרה הוא d.

a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an-1 = d

נוכל לבנות משוואה בה באגף הימני נרשום את סכום n-1 ההפרשים של כל שני איברים עוקבים עד לאיבר ה- n-י. באגף השמאלי של המשוואה נרשום את סכום של ההפרש d כשהוא מחובר n-1 פעמים:

(a2 – a1) + (a3 – a2) + (a4 – a3) + … + (an – an-1) = d + d + d + … + d

באגף השמאלי של המשוואה מצטמצמים כל איברי הסדרה, למעט האיבר הראשון, a1, והאיבר האחרון, an:

(a2 – a1) + (a3 – a2) + (a4 – a3) + … + (an – an-1) = d + d + d + … + d

באגף ימין של המשוואה ניתן להחליף את הסכום של ההפרש d כשהוא מחובר n-1 פעמים במכפלה:

-a1 + an = (n-1)d

נבצע פעולות לחילוץ an מתוך המשוואה ונקבל:

an = a1 + (n-1)d

ניתן לבדוק נכונות נוסחה זו ולהציב בה ערכים שונים שלמים וחיוביים של n. למשל, הצבה של n=1 תיתן ישירות את האיבר הראשון בסדרה:

a1 = a1 + (1-1)d = a1

הצבה של n=2 תיתן את הנוסחה לחישוב ערכו של האיבר השני בסדרה:

a2 = a1 + (2-1)d = a1 + d

וכך הלאה.

עבור סדרת הדוגמה שלנו ניתן לחשב את ערכו של an באופן כללי על-ידי הצבת ערכם של a1 ושל d בנוסחה של an. נקבל:

an = a1 + (n-1)d = 1 + 2(n-1)

עבור n=5, למשל, נקבל את ערכו של האיבר החמישי בסדרה:

an(n=5) = a5 = 1 + 2(5-1) = 9

סכום הסדרה



ניתן לחבר את איברי הסדרה יחד לידי סכום אחד הנקרא סכום הסדרה. נסמן את סכום הסדרה באות S. סכום n האיברים הראשונים של הסדרה יקרא הסכום ה- n-י של הסדרה. את סכום הסדרה ה- n-י נסמן כ- Sn ואותו ניתן למצוא על-ידי חיבור n האיברים הראשונים בסדרה:

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

נבטא את כל האיברים כתלות ב- a1 ובהפרש הסדרה d ונקבל:

Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + … + [a1+(n-1)d]

נשים לב שהאיבר הראשון של הסדרה, a1, מופיע n פעמים במשוואה כמספר איברי המשוואה שיש לחבר כדי לקבל את הסכום ה- n-י של הסדרה. ניתן לבטא סכום זה כ- na1. בנוסף, נחלץ את הפרש הסדרה, d, כגורם משותף המופיע ב- n-1 האיברים (הוא אינו מופיע באיבר הראשון). נקבל:

Sn = na1 + d[1 + 2 + … + (n-1)]

נסדר את האיברים בתוך הסוגריים המרובעים בזוגות. האיבר הראשון והאחרון בתוך הסוגריים יהיו זוג ראשון. האיבר השני והאיבר הלפני האחרון יהיו זוג שני וכן הלאה...

Sn = na1 + d[1 + (n-1) + 2 + (n-2) + … n/2 + (n – n/2)]

ניתן לצמצם חלק מהמספרים שבתוך הסוגריים המרובעים:

Sn = na1 + d[1 + (n-1) + 2 + (n-2) + … n/2 + (n – n/2)]

מכל זוג איברים נותר לאחר צמצום רק המספר n. נקבל:

Sn = na1 + d(n + n + … n)

מספר הפעמים ש- n מופיע בתוך הסוגריים הוא (n-1)/2 פעמים. נזכור שהמינוס אחד נובע מכך שהאיבר הראשון בסדרה, a1, אינו תלוי בהפרש d ולכן לא נכלל בביטוי שבסוגריים. החלוקה ב-2 נובעת מכך שמכל זוג איברים קיבלנו n בודד. לכן ניתן לבטא את הסכום כמכפלה n(n-1)/2. נקבל:

Sn = na1 + dn(n-1)/2

נוציא את n כגורם משותף ונקבל:

Sn = n[2a1+d(n-1)]/2

זהו סכום ה- n-י של הסדרה כתלות באיבר הראשון, a1, ובהפרש הסדרה, d.

נסדר את הביטוי שבתוך הסוגריים המרובעים קצת אחרת, כדי שנוכל להציב את an, ונקבל:

Sn = n(a1 + a1+(n-1)d]/2

נציב את an תוך שימוש בנוסחה an = a1 + (n-1)d ונקבל:

Sn = n(a1+an)/2

למשל, בסדרה האלגברית בה השתמשנו לדוגמה עד כה ערכו של סכום הסדרה ה-n-י של n האיברים הראשונים בה, אחרי הצבת a1=1 והצבת an= a1 + (n-1)d = 1+2(n-1) הוא:

Sn = n(a1 + an)/2 = n[1 + 1 + 2(n-1)]/2 = n[2 + 2n -2]/2 = 2n2/2 = n2

נציב, למשל, n=3 ונקבל שסכום שלושת האיברים הראשונים בסדרת הדוגמה שלנו הוא:

Sn(n=3) = n2 = 32 = 9

ואכן זהו סכום שלושת האיברים הראשונים בסדרה:

Sn(n=3) = a1 + a2 + a3 = 1 + 3 + 5 = 9

ניתן להציב בנוסחה של Sn את הנוסחה של an כתלות ב- a1 וב- d וכך לקבל נוסחה של סכום הסדרה ה- n-י כתלות באיבר הראשון ובהפרש הסדרה בלבד:

Sn = n[a1 + a1 + (n-1)d]/2 =
n[2a1 + (n-1)d]/2

רישום מקוצר של הסדרה



קיימת צורה אחרת, מקוצרת יותר, לרישום סדרה. ניתן לרשום את חוקיות הסדרה בעזרת האות היוונית סיגמה, ∑ ונוסחת האיבר ה- n-י של הסדרה. באופן כללי יראה הרישום המקוצר כך:

    
∑an
n=1    

פירוש צורת כתיבה זו היא שהסדרה כוללת את סכומם של כל איברי הסדרה החל מ- a1 ועד לאיבר האחרון בסדרה אינסופית. זוהי צורת רישום מקוצרת לצורת הרישום:

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

למשל, את סדרת הדוגמה שלנו ניתן לרשום גם בצורה הבאה:

                                                                
∑[1+2(n-1)] = 1 + 3 + 5 + … [1 + 2(n-1)]
n=1                                                                

עבור סדרה שאינה אינסופית יופיע מספר האיבר האחרון בסדרה במקומו של סימן האינסוף - ∞. למשל, סכום ארבעת האיברים הראשונים בסדרת הדוגמה שלנו יהיה:

4                
∑[1+2(n-1)]
n=1                

לא חייבים לסכום החל מהאיבר הראשון. למשל, הנה צורת כתיבה לסכום האיברים בסדרה הדוגמה שלנו החל מהאיבר השלישי ועד לאיבר העשירי בה:

10                
∑[1+2(n-1)]
n=3                

סכום זה ניתן לחישוב על-ידי הפרש של שני הסכומים:

S10 – S2 = 102 – 22 = 96

הערה: הסדרה החשבונית נקראת גם טור חשבוני.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | סדרות וממוצעים : סדרה חשבונית | סדרה הנדסית | ממוצע חשבוני | ממוצע חשבוני משוקלל | ממוצע הנדסי | ממוצע הנדסי משוקלל | מספרים ראשוניים | הוכחה באינדוקציה ]