headline
Error processing SSI file




הכפלת הסתברויות


בחלק הקודם ניתנה לשם הדוגמה בעיה בהסתברות הכוללת רק פעולה אחת – פעולה של שליפת כדור אחד מתוך שק כדורים. זוהי בעיה פשוטה, מקרים מורכבים יותר כוללים בעיות בהסתברות בהן יש יותר מפעולה אחת, מצב אחד, אירוע אחד וכדומה.

הנה דוגמה לבעיה הכוללת שתי פעולות. בשק יש שמונה כדורים ורק שניים מתוכם הם בצבע אדום. מה הסיכוי לשלוף מתוך השק את שני הכדורים האדומים בזה אחר זה בשתי פעולות שליפה בלבד?

כדי ששני כדורים אדומים יישלפו מתוך השק נדרש שגם פעולת השליפה הראשונה תהא של כדור אדום ושגם פעולת השליפה השנייה תהא של כדור אדום. מכאן שהצלחת הפעולה (של שליפת שני כדורים אדומים) תלויה גם בשליפה מוצלחת של כדור אדום ראשון וגם בשליפה מוצלחת של כדור אדום שני.

תלות זו של "גם ... וגם ..." בין הסתברויות שונה מהקשר של "או ... או ..." בין הסתברויות שנדונה בפרק הקודם. בתלות של "גם ... וגם ..." נדרש ששתי הפעולות, כל אחת בעלת הסתברות משלה, יתרחשו בהצלחה זו אחרי זו כדי שהתוצאה הסופית תהיה גם היא של הצלחה. ההסתברות הכוללת של התרחשות שתי פעולות התלויות אחת בשנייה מחושבת על-ידי הכפלת שתי ההסתברויות זו בזו.

שני כדורים מתוך שמונה הכדורים שבשק הם אדומים. לכן ההסתברות שיצא כדור אדום מתוך השק בשליפה הראשונה היא,

2/8 = 1/4

אחרי הצלחת השליפה הראשונה נותרו בשק רק שבעה כדורים, שמתוכם רק אחד הוא בצבע אדום. הסיכוי לשלוף החוצה את הכדור האדום האחר זהה כעת לסיכוי לשלוף כל כדור שהוא מבין אלו שנותרו בשק. סיכוי זה הוא 1/7.

כעת נותר לחשב את ההסתברות ששתי הפעולות העוקבות תצלחנה יחד (נזכיר שהצלחה תחשב כשליפת כדור אדום בכל פעם). אם נערוך ניסוי בו שוב ושוב נשלוף בכל פעם שני כדורים מתוך השק ונחזיר אותם, אז ההסתברות של הצלחת הפעולה הראשונה מגדירה את חלקם של המקרים במהלך הניסוי, מתוך כלל המקרים, בהם הכדור הראשון הנשלף הוא אדום. ההסתברות של הצלחת הפעולה השנייה מגדירה את חלקם של המקרים, מתוך המקרים שעברו בהצלחה את הפעולה הראשונה, שעברו בהצלחה גם את הפעולה השנייה. ההסתברות המשותפת מגדירה את חלקם של המקרים בהם גם הפעולה הראשונה הצליחה וגם הפעולה השנייה הצליחה. לשם קבלת ההסתברות המשותפת יש לחשב את החלק היחסי של המקרים שצלחו את הפעולה השנייה מתוך החלק היחסי של המקרים שצלחו את הפעולה הראשונה.

כדי לחשב חלק יחסי מתוך חלק יחסי אחר יש להכפיל את שני היחסים זה בזה. למשל,

חצי מתוך חצי =
1/2 • 1/2 =
1/4 =
רבע

למשל, אם חצי מבעלי-הכלבים הם גבוהים וחצי מבעלי-הכלבים הגבוהים הם גם רזים, אז מה חלקם של בעלי-הכלבים הגבוהים והרזים מכלל בעלי-הכלבים? תשובה – רבע.

חצי מתוך שליש =
1/3 • 1/2 =
1/6 =
שישית

למשל, שליש מבעלי-החתולים הם עירוניים וחצי מתוך אלו גרים במרכז הארץ. מה חלקם של בעלי-החתולים העירוניים שגרים במרכז הארץ מתוך כלל בעלי-החתולים? תשובה – שישית.

לכן נקבל שהחלק היחסי של שביעית מתוך רבע הוא,

1/4 • 1/7 = 1/28 ≈ 3.57%

לסיכום, ננסח את הכלל לחישוב של הסתברות יחסית כוללת. כדי לחשב את ההסתברות ששתי פעולות (או יותר) תתרחשנה יש להכפיל את הסתברויותיהן.

את הבעיה האחרונה ניתן היה לפתור גם על דרך השלילה. כלומר, חישוב הסיכוי או ההסתברות שמקרה מסוים לא יקרה. נחשב את ההסתברות שלפחות אחד משני הכדורים הנשלפים מתוך השק אינו אדום. לשם כך נחשב שני מקרים. מקרה ראשון הוא המקרה בו הכדור הנשלף הראשון הוא אינו אדום. מקרה זה הוא בעל הסתברות של 6/8 להתרחש כי ישנם שישה כדורים לא אדומים מתוך סך של 8 כדורים בשק. נשים לב, במקרה זה אין זה מעניין מהו צבעו של הכדור השני שנשלף. המקרה השני הוא המקרה בו נשלף כדור ראשון אדום, אך הכדור השני שנשלף אינו אדום. מקרה זה הוא בעל הסתברות של 2/8 כדי לשלוף כדור אדום ככדור הראשון ושל 6/7 כדי לשלוף כדור נוסף בצבע שאינו אדום, כי נותרו 6 כדורים לא אדומים מתוך 7 הכדורים שנותרו בשק.

כדי שהמקרה השני יתקיים נדרש ששתי פעולות יקרו אחת אחרי השנייה. הפעולות הן תלויות אחת בשנייה ומבוצעות בטור. כדי לקבל את ההסתברות הכוללת של המקרה השני יש לכן להכפיל את שתי ההסתברויות. נקבל שהמקרה השני יקרה בהסתברות של,

2/8 • 6/7 = 12/56 = 3/14.

שני המקרים (או התרחישים) בהם פתחנו את הפתרון הם בלתי תלויים אחד בשני, התרחשות תרחיש אחד לא מהווה תנאי להתרחשות התרחיש השני. ההפך הוא הנכון, התרחישים הם מתחלפים, או שמתרחש התרחיש הראשון או שהאחר מתרחש במקומו. לכן, כדי לחשב את ההסתברות הכוללת להתרחשותם יש לבצע פעולת חיבור בין ערכי ההסתברויות שלהם. הנה חישוב ההסתברות לכך שלא ישלפו שני כדורים אדומים,

6/8 + 3/14 = 108/112 = 54/56 = 27/28

תוצאה זו מתיישבת יפה עם התוצאה הקודמת. ההסתברות לשליפה של שני כדורים אדומים היא 1/28 וההסתברות ההפוכה היא כמובן 27/28. סכום שני המקרים נותן תוצאה של 1, כלומר אין עוד אפשרות למקרה אחר שיתרחש.

תיאור הפתרון על דרך השלילה בה לשם הדוגמה בלבד. במקרה זה הפתרון על דרך השלילה ארוך יותר מהפתרון "הרגיל", אך לא תמיד זה כך. לפעמים קל יותר לפתור בעזרת הנחת המקרה ההפוך שבפתרון על דרך השלילה ואז לבצע חישוב של אחד פחות ההסתברות שהתקבלה כדי לקבל את ההסתברות המבוקשת.

כאשר הפתרון של שאלה בנושא הסתברויות הוא מסתעף ומכיל מקרים שונים בעלי הסתברויות שונות ותלויות שונות קל להתבלבל בדרך ולשגות. ציור של עץ הסתברויות עוזר ליצור תמונה ברורה של הבעיה, הוא נוח לשימוש ועוזר להגיע לפתרון בבטחה. מהו עץ הסתברויות? על כך מייד בפרק הבא.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | הסתברות וקומבינטוריקה : ייצוג הסתברות בעזרת שברים | חיבור הסתברויות | הכפלת הסתברויות | עץ הסתברויות | עצרת | סידור n עצמים | בחירה עם חשיבות לסדר וללא החזרות | בחירה עם חשיבות לסדר ועם החזרות | בחירה ללא חשיבות לסדר וללא החזרות | סיכום כללי הקומבינטוריקה | מקדם הבינום | משולש פסקל | הבינום של ניוטון ]