הנגזרת - פונקציה סתומה

נזכיר שפונקציה סתומה היא פונקציה בה לא ניתן לבודד את המשתנה הבלתי-תלוי y באגף אחד של המשוואה ולכן הפונקציה עצמה כוללת ערבוביה של x ושל y.

למשל, הפונקציה הבאה היא פונקציה סתומה,

3x² – 5xy + 2y² = 9

הדרך לגזור פונקציה סתומה היא לבצע גזירה על המשוואה כולה לפי x. במהלך ביצוע הגזירה ההתייחסות ל- y תהיה בהתחשב בכך שהוא מכיל את x (הרי y הוא פונקציה של x).

לדוגמה נבצע גזירה על הפונקציה הסתומה שלעיל,

3x² – 5xy + 2y² = 9

6x – (5y + (dy/dx)•5x) + 4y•(dy/dx) = 0

נסביר את הגזירה שבוצעה:

גזירת האיבר 5xy בוצעה בעזרת חוק המכפלה

כאשר u=5x ו- v=y

גזירת האיבר 2y² בוצעה בעזרת שיטת הגזירה בשרשרת

כאשר t=2y² ואז dt/dx = dt/dy•dy/dx

נצמצם ונקבל,

6x – 5y – (dy/dx)•5x + 4y•(dy/dx) = 0
6x – 5y = (dy/dx)•(5x – 4y)
dy/dx = (6x – 5y)/(5x – 4y)

בחזרה לתפריט פרקים לתיכון