נגישות
headline
Error processing SSI file




אינטגרל - סכימה בהחלפה


בסכימה בהחלפה יש לסדר את הביטוי שבאינטגרל כך שיהיה מהצורה הבאה,

f(g(x))•g'(x) dx∫

באינטגרל שניתן לבטאו בצורה זו ניתן להגדיר משתנה ביניים u באופן הבא,

u = g(x)

ואז לפשט את האינטגרל המקורי לאינטגרל לפי משתנה הביניים u, כך,

∫f(u) du

אחרי מציאת הפתרון לאינטגרל המופשט שלעיל ניתן יהיה להציב בפתרון את u ולקבל את פתרון האינטגרל המקורי לפי הנעלם x.

הערה: נתעלם ונשמיט בפרק זה את הוספת הקבוע c המתלווה לתוצאת האינטגרל.

דוגמה 1

נחשב את הסכימה הבאה,

∫(2x-5)/(x2-5x+3) dx = ?

קודם נפריד בין המונה ובין המכנה. עצם הימצאותו במכנה הופכת את הביטוי שבמכנה כמתאים לביטוי שבתוך פונקציה f, כאשר הפונקציה f היא פשוט מוגדרת כפעולת העלאה בחזקת מינוס אחד. המונה, שהוא בעצם ביטוי הנמצא בפעולת כפל בשאר האינטגרל, יהיה צריך להתאים לנגזרת של הביטוי שבמכנה כדי שנוכל להשתמש בכלל הסכימה בהחלפה.

נרשום את האינטגרל בצורתו החדשה,

∫1/(x2-5x+3)•(2x-5) dx = ?

לשם בדיקה אם ניתן לחשב את האינטגרל שלעיל בעזרת כלל הסכימה בהחלפה נבצע גזירה של הביטוי שעליו מופעלת הפונקציה f. כלומר נגזור את הביטוי שבמכנה,

g(x) = x2-5x+3
g’(x) = 2x-5

תוצאת הנגזרת נמצאה מתאימה בדיוק למונה של השבר, לכן נוכל לכתוב את האינטגרל שלעיל גם כך,

∫f(g(x))•g’(x) dx

נגדיר את u להיות שווה ל- g(x),

u = g(x) = x2-5x+3

ואחרי שימוש בהחלפה נקבל את האינטגרל המופשט הבא,

∫f(u) du

במקרה של הדוגמה הפונקציה f שאנו מפעילים על g(x) היא פעולה של "אחד חלקי" (או העלאה בחזקת מינוס 1). נפעיל את הפעולה f על u ונקבל את האינטגרל,

∫f(u) du =
∫1/u du =
ln(u)

נציב חזרה את g(x) במקום u ונקבל שהפתרון של האינטגרל המקורי הוא,

ln(u) =
ln(g(x)) =
ln(x2-5x+3)

דוגמה 2

לא תמיד יהיה קל ומיידי לזהות שניתן להשתמש בכלל הסכימה בהחלפה, כפי שהדוגמה הזו מראה.

נחשב את הסכימה הבאה,

∫(2–x)/√[(x–2)(x–6)] dx = ?

שוב נפריד בין המונה ובין המכנה,

∫1/√[(x–2)(x–6)]•(2–x) dx = ?

הפעם ניתן לזהות שהפונקציה f היא גם העלאה בחזקה שלילית וגם הוצאת שורש (כלומר העלאה בחזקת -0.5).

נגדיר את הביטוי שבשורש שבמכנה כפונקציה g(x) ונחשב את הנגזרת שלו,

g(x) = (x–2)(x–6) =
x2–6x–2x+12 =
x2–4x+12

g’(x) = 2x–4

הביטוי (2-x) אינו זהה לנגזרת g’(x), אבל נוכל להכפיל אותו בקבוע -2 כך שישתווה לו. את השפעת ההכפלה בקבוע נבטל בחלוקה של האינטגרל כולו (מחוץ לאינטגרל) באותו קבוע. נכתוב את האינטגרל בצורתו החדשה ונקבל,

[1/(–2)] • ∫1/√(x2–4x+12)•[–2•(2–x)) dx = ?
–0.5 • ∫1/√(x2–4x+12)•(2x–4) dx = ?

נגדיר את u,

u = g(x) = x2–4x+12

נבצע את ההחלפה תוך הפעלה של הפעולה f, שהיא כזכור העלאה בחזקת -0.5 (או אחד חלקי הוצאת שורש),

–0.5 • ∫f(g(x))•g’(x) dx =
–0.5 • ∫f(u) du =
–0.5 • ∫1/√(u) du =
–0.5 • [√(u)/(-0.5)] =
√(u) =

תזכורת: בחישוב האינטגרל שלעיל השתמשנו בכלל הסכימה הבא (בהצבת n=–0.5),

∫xn = xn+1/n

נחליף את u בפונקציה g הכוללת את הנעלם x ונקבל,

∫(2–x)/√[(x–2)(x–6)] dx =
√[(x–2)(x–6)]

דוגמה 3

הפונקציה הפועלת על g(x) (ואחר-כך גם על u(x)) יכולה להיות כל פונקציה, גם פונקציה טריגונומטרית למשל, כפי שמראה זאת הדוגמה הנוכחית.

נחשב את הסכימה הבאה,

∫6x2•cos(x3) dx = ?

שוב, נפריד קודם בין הפונקציה המקשה יותר על חישוב האינטגרל מבין השתיים, שהיא הפונקציה cos ובין ביטוי שפשוט מוכפל בה ושיצטרך להתאים לנגזרת של הביטוי שבתוך הפונקציה,

∫cos(x3)•6x2 dx = ?

נגדיר את g(x),

g(x) = x3
g’(x) = 3x2

נכתוב מחדש את האינטגרל תוך שימוש בפונקציה g(x) והנגזרת שלה. נקבל,

∫cos(x3)•6x2 dx = ?
∫cos(g(x))•[2•g’(x)] dx = ?

נוציא את הקבוע המיותר באינטגרל החוצה ונבצע את הסכימה בהחלפה,

2•∫cos(g(x))•g’(x) dx =
2•∫cos(u) du =
2•sin(u)

נציב חזרה את הפונקציה g(x) ונקבל שהפתרון לאינטגרל המקורי הוא,

2•sin(x3)

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי : מבוא לתורת הגבול | תורת הגבול | חוקי תורת הגבול | הדיפרנציאל - שיפוע הפונקציה | הנגזרת - נקודות קיצון מקומיות | הנגזרת - נקודת פיתול | הנגזרת - חוק השרשרת | הנגזרת - חוק המכפלה | הנגזרת - חוק המנה | הנגזרת - פונקציות טריגונומטריות | הנגזרת - פונקציה סתומה | אינטגרל - מבוא | אינטגרל - כללי הסכימה | אינטגרל - סכימה בעזרת משתנה ביניים | אינטגרל - סכימה בהחלפה | אינטגרל - סכימה בחלקים | אינטגרל - חישוב שטחים כלואים | אינטגרל - חישוב נפחים כלואים | אינטגרל - פתרון משוואות דיפרנציאליות | אינטגרל - שיערוך בעזרת שיטת הטרפז ]