headline
Error processing SSI file




הנגזרת - פונקציות טריגונומטריות


להלן טבלה המרכזת את הפונקציות הטריגונומטריות ונגזרותיהן,

פונקציה טריגונומטריתהנגזרת
sin(x)cos(x)
cos(x)-sin(x)
tan(x)sec2(x)
cot(x)-cosec2(x)
sec(x)tan(x)•sec(x)
cosec(x)-cotan(x)•cosec(x)

דוגמה 1

נגזור את הפונקציה הבאה,

y = sin(2x – 6)

נגדיר משתנה מעבר t,

t = 2x – 6

לכן,

y = sin(t)

נשתמש בנוסחת הגזירה של sin(x) ונקבל את הנגזרת של y לפי t,

dy/dt = cos(t)

כעת נגזור את הפונקציה t לפי x ונקבל,

dt/dx = 2

נשתמש בשיטת הגזירה בשרשרת,

dy/dx = dy/dt • dt/dx

ונקבל,

dy/dx = 2•cos(t) = 2•cos(2x – 6)

דוגמה 2

נגזור את הפונקציה הבאה,

y = 1 – cos2(x)

נגדיר משתנה מעבר t,

t = cos(x)

לכן,

y = 1 – t2

נגזור את y לפי t ונקבל,

dy/dt = 2•t = 2•cos(x)

נגזור את t לפי x ונקבל,

dt/dx = -sin(x)

נשתמש בשיטת הגזירה בשרשרת ונקבל,

dy/dx = 2•cos(x) • (-sin(x)) = -2•sin(x)•cos(x)

דוגמה 3

הוכח את הנוסחה של חישוב הנגזרת של פונקצית tan(x).

נחשב את הנגזרת של הפונקציה הבאה,

y = tan(x) = sin(x) / cos(x)

לפני שנשתמש בחוק המנה נגדיר,

u = sin(x); v = cos(x)

נגזור כל אחת מהפונקציות החדשות שלעיל לפי x ונקבל,

du/dx = cos(x)

dv/dx = -sin(x)

כעת נשתמש בחוק המנה,

y = u/v
dy/dx = (v•du/dx – u•dv/dx) / v2

dy/dx = (cos(x)•cos(x) – sin(x)•(-sin(x))) / cos2(x)
dy/dx = (cos2(x) + sin2(x)) / cos2(x)
dy/dx = 1 / cos2(x)
dy/dx = sec2(x)

הערה: בדרך דומה ניתן להוכיח את הנוסחה של חישוב הנגזרת של פונקצית cot(x).

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי : מבוא לתורת הגבול | תורת הגבול | חוקי תורת הגבול | הדיפרנציאל - שיפוע הפונקציה | הנגזרת - נקודות קיצון מקומיות | הנגזרת - נקודת פיתול | הנגזרת - חוק השרשרת | הנגזרת - חוק המכפלה | הנגזרת - חוק המנה | הנגזרת - פונקציות טריגונומטריות | הנגזרת - פונקציה סתומה | אינטגרל - מבוא | אינטגרל - כללי הסכימה | אינטגרל - סכימה בעזרת משתנה ביניים | אינטגרל - סכימה בחלקים | אינטגרל - חישוב שטחים כלואים | אינטגרל - חישוב נפחים כלואים | אינטגרל - פתרון משוואות דיפרנציאליות | אינטגרל - שיערוך בעזרת שיטת הטרפז ]