headline
Error processing SSI file




אינטגרל - פתרון משוואות דיפרנציאליות


משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המכילה בנוסף לנעלם הבלתי-תלוי, x, ולנעלם התלוי, y, גם את הנגזרת של y.

בעזרת הפעלת פעולת אינטגרציה על שני אגפי המשוואה ניתן לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית ולמצוא את ערכו של y כתלות בנעלם x בלבד.

דוגמה 1

נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה,

dy/dx = -8x3y3

נסדר מחדש את המשוואה כך שבאגף אחד יופיעו רק איברים הכוללים את y מוכפלים ב- dy ובאגף השני רק איברים הכוללים את x מוכפלים ב- dx,

1/y3•dy = -8x3•dx

נפעיל את פעולת האינטגרל על שני אגפי המשוואה ונקבל,

∫1/y3•dy = ∫-8x3•dx

נחשב את האינטגרל בכל אגף ונקבל,

-1/(2y2) = -2x4

y2 = 1/(4x4)

y = ±1/(2x2) + c

הערה: בחישוב האחרון נוסף קבוע האינטגרציה c.

דוגמה 2

נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה,

4x3 – 10x – 2xy – (x2 – 1)•dy/dx = 0

משוואה מסוג זה ניתן לפתור תוך שימוש בחוק המכפלה,

dy/dx = u•dv/dx + v•du/dx

בעזרת קצת אלגברה נסדר מחדש את המשוואה הדיפרנציאלית כך שתתאים לצורה של המשוואה של חוק המכפלה. נקבל,

4x3 – 10x = 2xy + (x2 – 1)•dy/dx

נשים לב שהאגף הימני עונה על צורת המשוואה של חוק המכפלה עבור פעולת הנגזרת. אם נגדיר,

u = y
v = x2 – 1

לכן, את האגף הימני של המשוואה שלעיל ניתן לרשום (בעזרת חוק המכפלה) גם כך,

2xy + (x2 – 1)•dy/dx = d[y•(x2 – 1)]/dx

נציב תוצאה זו במשוואה הקודמת ונקבל,

4x3 – 10x = d[y•(x2 – 1)]/dx

נבצע פעולת אינטגרציה לפי x על שני האגפים ונקבל,

∫4x3 – 10x = ∫d[y•(x2 – 1)]/dx

x4 – 5x2 + c = y•(x2 – 1)

y = (x4 – 5x2 + c)/(x2 – 1)

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי : מבוא לתורת הגבול | תורת הגבול | חוקי תורת הגבול | הדיפרנציאל - שיפוע הפונקציה | הנגזרת - נקודות קיצון מקומיות | הנגזרת - נקודת פיתול | הנגזרת - חוק השרשרת | הנגזרת - חוק המכפלה | הנגזרת - חוק המנה | הנגזרת - פונקציות טריגונומטריות | הנגזרת - פונקציה סתומה | אינטגרל - מבוא | אינטגרל - כללי הסכימה | אינטגרל - סכימה בעזרת משתנה ביניים | אינטגרל - סכימה בחלקים | אינטגרל - חישוב שטחים כלואים | אינטגרל - חישוב נפחים כלואים | אינטגרל - פתרון משוואות דיפרנציאליות | אינטגרל - שיערוך בעזרת שיטת הטרפז ]