אינטגרל - פתרון משוואות דיפרנציאליות

משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המכילה בנוסף לנעלם הבלתי-תלוי, x, ולנעלם התלוי, y, גם את הנגזרת של y.

בעזרת הפעלת פעולת אינטגרציה על שני אגפי המשוואה ניתן לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית ולמצוא את ערכו של y כתלות בנעלם x בלבד.

דוגמה 1

נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה,

dy/dx = -8x³y³

נסדר מחדש את המשוואה כך שבאגף אחד יופיעו רק איברים הכוללים את y מוכפלים ב- dy ובאגף השני רק איברים הכוללים את x מוכפלים ב- dx,

1/y³•dy = -8x³•dx

נפעיל את פעולת האינטגרל על שני אגפי המשוואה ונקבל,

∫1/y³•dy = ∫-8x³•dx

נחשב את האינטגרל בכל אגף ונקבל,

-1/(2y²) = -2x⁴

y² = 1/(4x⁴)

y = ±1/(2x²) + c

הערה: בחישוב האחרון נוסף קבוע האינטגרציה c.

דוגמה 2

נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה,

4x³ – 10x – 2xy – (x² – 1)•dy/dx = 0

משוואה מסוג זה ניתן לפתור תוך שימוש בחוק המכפלה,

dy/dx = u•dv/dx + v•du/dx

בעזרת קצת אלגברה נסדר מחדש את המשוואה הדיפרנציאלית כך שתתאים לצורה של המשוואה של חוק המכפלה. נקבל,

4x³ – 10x = 2xy + (x² – 1)•dy/dx

נשים לב שהאגף הימני עונה על צורת המשוואה של חוק המכפלה עבור פעולת הנגזרת. אם נגדיר,

u = y
v = x² – 1

לכן, את האגף הימני של המשוואה שלעיל ניתן לרשום (בעזרת חוק המכפלה) גם כך,

2xy + (x² – 1)•dy/dx = d[y•(x² – 1)]/dx

נציב תוצאה זו במשוואה הקודמת ונקבל,

4x³ – 10x = d[y•(x² – 1)]/dx

נבצע פעולת אינטגרציה לפי x על שני האגפים ונקבל,

∫4x³ – 10x = ∫d[y•(x² – 1)]/dx

x⁴ – 5x² + c = y•(x² – 1)

y = (x⁴ – 5x² + c)/(x² – 1)

בחזרה לתפריט פרקים לתיכון