יחס הזהב

יחס חלוקה של קטע ישר

בהינתן אורך של קטע ישר, נקודה על הקטע הישר והיחס בין שני הקטעים המופרדים על-ידי הנקודה ניתן למצוא את אורכי שני הקטעים.


במקרה זה נכפיל את אורך הקטע AB ביחס של כל אורך קטע חלקי סכום היחסים של שני הקטעים כדי לקבל את אורך הקטע.

למשל, אם נתון קטע AB באורך 14 ס"מ וידוע שנקודה C מחלקת את הקטע לשני קטעים שאורכיהם הם ביחס של 5 ל- 2 (AC/CB=5/2), אז אורכי הקטעים הם:

AC = 14 • 5/(5+2) = 14 • 5/7 = 10
CB = 14 • 2/(5+2) = 14 • 2/7 = 4

ניתן לוודא את התוצאה על-ידי אימות היחס בין AC ל- CB,

AC/CB = 10/4 = 5/2

וזהו אכן היחס שנתון וידוע בין AB ל- CB.

ייתכן והנקודה C אינה נמצאת על הקטע AB (בין A ל- B), אלא על המשך הקטע מצד A או מצד B. במקרה זה נכפיל את אורך הקטע AB בכל מידת יחס של קטע כדי לקבל את אורך הקטע.


למשל,

נתון קטע AB באורך 15 ס"מ. על המשך הקטע מצד B מסומנת נקודה C המחלקת את הקטע לשני חלקים AC ו- BC הנמצאים ביחס של 4 ל- 3. מצא את אורכי שני הקטעים.

AC/BC = 4/3
AC = 15 • 4 = 60
BC = 15 • 3 = 45

יחס הזהב

בטבע קיים יחס טבעי ומיוחד של חלוקת קטע לשני קטעים. יחס חלוקה זה יוצר סימטריה מיוחדת בעת החלוקה.


נחלק את הקטע AB כך שמתקיים היחס,

AB/AC = AC/CB

כלומר הסימטריה המיוחדת בחלוקה מתקבלת מכך שהיחס בין AB ל- AC זהה ליחס שבין AC ל- CB. נסמן את ערכו של יחס זה בעזרת הנעלם x.

AB/AC = AC/CB = x

ממשוואת יחסים זו נקבל ש-

AB • CB = AC2

הקטע AB הוא סכום שני הקטעים AC ו- CB. כלומר,

AB = AC + CB

נציב ונקבל,

(AC+CB)•CB = AC²
AC•CB + CB2 = AC²

נחלק ב- CB2 את שני אגפי המשוואה שלעיל ונקבל,

AC/CB + 1 = (AC/CB)²

אבל AC/CB=x. נציב ונקבל,

x + 1 = x²
x² – x – 1 = 0

פתרונות אלגבריים למשוואה הריבועית הם,

x_1,2 = 1.618… , -0.618…

שני הפתרונות הם מספרים אי-ראציונלים.

הנעלם x מייצג יחס בין שני אורכים, לכן הפיתרון השלילי הוא אינו הגיוני ואינו אפשרי.

נשאר רק פתרון אפשרי אחד, הפתרון החיובי.

משמעות הפתרון שהתקבל הוא שיש נקודה על קטע ישר החותכת אותו לשני חלקים ביחס הזהה ליחס בין הקטע כולו לחלק הגדול מבין שני החלקים.

לחיתוך זה יש משמעות הרבה מעבר לעולם המתמטיקה. ערך יחס מיוחד זה (של 1.618…) נקרא מספר הזהבו גם יחס הזהב. יחס הזהב, כפי שנקרא לו מעתה והלאה, מסומן על-ידי האות היוונית פִי – Φ. יחס הזהב מופיע במקומות רבים ובלתי-צפויים.

למשל, בעולם האומנות מופיע יחס הזהב בציורים רבים בהם יש גדלים בעלי יחס פרופורציוני. כדי להבין את המשמעות האסתטית שמבטא יחס זה נבחן את הדוגמה הפשוטה הבאה:

איזה מרובע מבין ארבעת המרובעים הבאים נתפס בעין האנושית הכי "נעים" ופרופורציוני במידה "הנכונה"?


אם המרובע מתשובה ג' היה התשובה שלכם, אז אין זה מפתיע. במרובע זה, שהנו מלבן, היחס בין האורך לרוחב הוא יחס הזהב. כלומר האורך גדול פי 1.618 בקירוב מהרוחב. מלבן בו מתקיים יחס זה בין האורך לרוחב נקרא מלבן הזהב.

נמצא כי יחס זה נמצא כאסתטי בעיני המתבונן ונראה כמושלם ומתאים. מסיבה זו זכה יחס הזהב גם לכינוי הפרופורציה האלוהית. יחס הזהב נמצא כנכון ומתאים לא רק באומנות מעשה ידי אדם, אלא גם ואף קודם בטבע עצמו. מן הנכון להגיד שמעולם הטבע הגיע מספר זה אל תוך עולם האומנות.

אבל היכן מופיע מספר זה בטבע?

יחס הזהב מופיע במקומות רבים בהם נדרשת בנייה של צורות גיאומטריות. למשל, במבנה הקונכייה של שבלול, בעקמומיות קרניהם של איילים, במבנה מערבולות האוויר ומערבולות המים ועד למבנה וסידור הכוכבים בגלקסיות אשר ביקום. את כל אלה מאפיין מבנה לולייני מיוחד.

המבנה הלולייני בו מדובר הוא לוליין לוגריתמי. זהו קו עקום ומעגלי המתחיל מנקודה אחת ומסתחרר כלפי חוץ בצורה מעגלית שרדיוסה הולך וגדל.


אל צורה זו של הלוליין הלוגריתמי ניתן להגיע במספר דרכים. אחת הדרכים היא בעזרת בנייה של משולשי יחס-הזהב.

משולש יחס הזהב הוא משולש שווה-שוקיים בו מתקיים יחס הזהב בין השוק לבסיס. בתוך משולש יחס-הזהב נוכל לבנות משולש יחס-זהב קטן יותר ששוק אחת שלו מונחת על בסיס משולש יחס-הזהב הגדול.

על תהליך זה של בניית משולש יחס-זהב בתוך משולש יחס-זהב נחזור שוב ושוב למשולשים הולכים וקטנים. כעת אם נחבר בעקום לולייני את כל קודקודי משולשי יחס-הזהב שהתקבלו, אזי נקבל לוליין לוגריתמי.

דרכים שונות לאותו מספר של יחס-זהב

ליחס הזהב, אם כן, יש תפקיד מיוחד וחשוב בטבע. הוא מופיע גם באופן סידור עלי הפרחים סביב ציר הגבעול הנושא אותם, באופן סידור זרעי פרות, גרעיני חמנייה ועוד.

ליחס הזהב גם קסם מתמטי מיוחד בפני עצמו. למשל, נחשב את סכומה של הסדרה האינסופית הבאה,

x = √(1+√(1+√(1+√(1+…))))

נוכיח זאת על-ידי העלאת שני אגפי המשוואה שלעיל בריבוע. נקבל,

x² = 1 + √(1+√(1+√(1+…)))

במקום הביטוי של השורש שבאגף הימני במשוואה שלעיל נוכל להציב פשוט את x. נקבל,

x² = 1 + x

זוהי כמובן המשוואה הריבועית שפתרונה הוא יחס הזהב.

דוגמה אחרת לחישוב יחס הזהב היא בעזרת חישוב סכומה של הסדרה האינסופית הבאה,

        1
x = 1 + ────────
             1 + 1/(1+…)

נציב במקום מכנה השבר שבאגף הימני במשוואה שלעיל את הנעלם x. נקבל,

x = 1 + 1/x

בהנחה ש- x≠0 נוכל להכפיל את שני אגפי המשוואה ב- x ולקבל שוב את אותה משוואה ריבועית שפתרונה הוא יחס הזהב,

x² = 1 + x

ולסיום חידה.

נבחר שני מספרים שונים כלשהם, הראשון קטן והשני גדול ממנו. נחברם יחד ונקבל מספר שלישי. את המספר השלישי נחבר למספר השני ונקבל כך מספר רביעי. את המספר הרביעי נחבר למספר השלישי כדי לקבל את המספר החמישי וכך הלאה... בכל פעם נחבר את שני המספרים האחרונים שברשימה כדי להוסיף לרשימה מספר חדש נוסף. נמשיך כך עד שנקבל רשימה ובה 15 מספרים.

כעת נחלק את המספר האחרון ברשימה במספר שלפניו.
מהו בקירוב היחס שהתקבל בין שני המספרים?

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | הנדסת המישור : מבוא | מושגים בסיסיים | היסודות של הנדסת המישור | חיתוך שני ישרים | שני ישרים מקבילים | המצולע | המשולש | משפחת המרובעים | חישובי היקף ושטח | המעגל והעיגול | משולשים חופפים | יחס ופרופורציה של קטעים | משפט תאלס | יחס הזהב | דמיון משולשים | רשימת משפטים בהנדסה ]